Rayon, diamètre et longueur d'un cercle

Nous avons tous déjà vu des cercles auparavant. Ils ont cette forme parfaitement ronde qui les rendent parfaits pour jouer au cerceau !

Tout cercle a un centre qui est le point qui se situe exactement au... centre du cercle ! Et tous les points du cercle sont à la même distance de ce centre.

Cette distance est le rayon du cercle. Le cercle de centre $O$‍ et de rayon $r$‍ est formé de tous les points situés à $r$‍ unités de $O$‍.

Par commodité de langage, on appelle aussi "un rayon" un segment de droite qui joint le centre d'un cercle et l'un des points du cercle. Donc le même mot désigne soit une longueur, soit un segment de droite. Si on parle d'un segment de droite, on dit "un rayon", et si on parle de la distance entre un point d'un cercle et son centre, on dit "le rayon".

Une corde est un segment de droite qui joint deux points d'un cercle. Une corde qui passe par le centre du cercle est un diamètre du cercle.

On appelle aussi diamètre la longueur d'une corde qui passe par le centre du cercle. Comme pour le rayon, si on parle d'une corde qui passe par le centre du cercle, on dit "un diamètre", et si on parle de sa longueur, on dit "le diamètre".

Si $r$‍ est le rayon du cercle et si $d$‍ est son diamètre, $d$‍ est le double de $r$‍ :

La longueur d'un cercle est le périmètre de ce cercle :

Le diamètre du cercle $1$‍ est égal à $1$‍ unité, celui du cercle $2$‍ est égal à $2$‍ unités. La longueur du cercle $1$‍ est environ égale à $\mathrm{3,141}59$‍, celle du cercle $2$‍ est environ égale à $\mathrm{6,283}18$‍ :

On calcule le quotient de la longueur par le diamètre de chaque cercle :

Fascinant ! Le quotient de la longueur $C$‍ par le diamètre $d$‍ des deux cercles est égal à $\mathrm{3,141}59$‍. Le nombre $\mathrm{3,141}59$‍ est la valeur approchée d'un nombre qui a une infinité de chiffres après la virgule. Il est donc impossible de les écrire tous. On représente toutes les décimales qu'il n'est pas possible d'écrire par trois points de suspension. On démontre que si la longueur d'un cercle est $C$‍ et si son diamètre est $d$‍, alors :

Le nom que l'on a donné à ce nombre $\mathrm{3,141}59\text{…}$‍ que l'on ne peut pas écrire en entier est $\pi$‍ qui se lit pi. $\pi$‍ est la première lettre du mot périmètre en grec. On peut donc écrire :

Si on multiplie les deux membres de l'égalité par $d$‍, on obtient :

La longueur d'un cercle est égale au produit de son diamètre par $\pi$‍.

Quelle est la valeur exacte de la longueur du cercle ci-dessous ?

Le diamètre est $10$‍ unités, donc on remplace $d$‍ par $10$‍ dans la formule $C=\pi d$‍ :

On demande la valeur exacte de $C$‍ et non une valeur approchée, donc il ne faut pas remplacer $\pi$‍ par une de ses valeurs approchées. La valeur exacte de la longueur du cercle est $10\pi$‍ unités.

À vous !