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Cours : 1re année secondaire > Chapitre 10 

Leçon 3: Équations à résoudre en plusieurs étapes
Mathématiques
1re année secondaire
Algèbre : Équations et problèmes
Équations à résoudre en plusieurs étapes
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Expressions littérales, équations et inéquations FAQ

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Foire aux questions sur les expressions littérales, les équations et les inéquations

Comment réduire une expression littérale ?

L'addition est commutative : on peut intervertir l'ordre des termes de l'addition sans modifier la somme. Cette propriété est vraiment utile lorsque nous voulons combiner (mettre ensemble et calculer) des termes dans une expression littérale.
Par exemple, soit l'expression :
3x+2y−5x−6y
On peut écrire la soustraction comme l'addition du nombre opposé. 3x+2y−5x−6y s'écrit alors 3x+2y+(−5x)+(−6y). On regroupe ensuite les termes semblables :
3x−5x+2y−6y
On additionne alors les termes en x et on additionne les termes en y.
−2x−4y
Et nous avons réduit l'expression !
À vous ! Réduire une expression littérale.

Comment développer une expression littérale ?

La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition reste vraie avec des nombres négatifs et des variables. Elle nous permet de distribuer un facteur à un ensemble de termes entre parenthèses.
La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition permet de développer une expression littérale. Par exemple, on a l'expression : 2−3(x+4). D'après les règles de priorité, il faudrait d'abord additionner x et 4, mais ce n'est pas possible, comme ces deux termes ne sont pas semblables. On peut par contre distribuer le (−3), c'est à dire multiplier chacun des deux termes dans les parenthèses par (−3) :
2−3(x+4)=2+(−3)(x+4)=2+(−3)×x+(−3)×4=2−3x−12
Remarquez que nous avons distribué −3, et non juste 3. On peut à présent réduire l'expression :
2−3x−12=−3x−10
La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition nous permet de simplifier une expression, même si une variable est impliquée dans une opération entre parenthèses.
À vous ! Développer une expression ou reconnaître si deux expressions sont égales.

Comment traduire un problème en une expression du premier degré à une variable ?

Mettre en langage mathématique un problème, c'est traduire son énoncé par une variable, un coefficient (nombre par lequel la variable est multipliée) et une constante, chacune de ces trois parties ayant une signification propre.
La variable est l'inconnue. Par exemple, dans l'expression 19−2x, x est la variable. Dans une situation concrète, nous pourrions utiliser cette expression pour représenter la longueur totale, en centimètres, d'un crayon après l'avoir taillé pendant x minutes si le crayon a une longueur initiale de 19 centimètres et que le taille-crayon raccourcit le crayon de 2 centimètres par minute.
Le coefficient est le nombre qui multiplie une variable. Dans l'expression 19−2x, −2 est le coefficient. Dans notre situation concrète, il indique que la longueur du crayon diminue de 2 centimètres chaque minute.
La constante est, comme son nom l'indique, le nombre qui ne change pas, quelle que soit la valeur de la variable. Dans l'expression 19−2x, la constante est 19. Dans notre situation concrète, la constante est la longueur initiale du crayon de 19 centimètres.
Ainsi, lorsque nous utilisons une expression du premier degré à une variable pour représenter une situation concrète, il est important de faire attention aux différentes parties de l'expression et à leur signification dans ce contexte.
À vous ! Décoder les expressions du premier degré à une variable.

Comment résoudre une équation du type ax + b = c ou a(x+b) = c ?

Une équation du type ax+b=c ou a(x+b)=c est une équation dans laquelle l'inconnue se trouve dans un seul membre de l'équation et que l'on résout en 2 étapes. En général, on résout une équation en utilisant les opérations inverses de celles qui sont indiquées dans l'ordre inverse de celui des opérations.
Par exemple, on doit résoudre l'équation 8=0,75b−1. On repère l'ordre des opérations pour calculer 0,75b−1.
  1. On multiplie 0,75 par la valeur de b.
  2. On enlève 1 au produit obtenu.
Pour résoudre l'équation, nous "inversons" l'ordre et les opérations.
  1. On ajoute 1 aux deux membres de l'équation.
  2. On divise les deux membres de l'équation par 0,75.
Essayons ensemble.
8=0,75b−18+1=0,75b−1+19=0,75b90,75=0,75b0,7512=b
Comment résoudre une équation qui comporte des parenthèses ? Par exemple, on doit résoudre l'équation 57(w+11)=5. Repérons l'odre des opérations pour calculer 57(w+11).
  1. On additionne w et 11 car l'addition est entre parenthèses.
  2. On multiplie par 57.
Pour résoudre l'équation, nous "inversons" l'ordre et les opérations.
  1. On divise les deux membres de l'équation par 57 (c'est-à-dire que l'on multiplie par 75).
  2. On enlève 11 au produit.
Essayons ensemble.
57(w+11)=575×57(w+11)=75×5w+11=7w+11−11=7−11w=−4
Nous le savons tous, les mathématiques sont flexibles et magnifiques ! Nous avons résolu ces équations en utlisant l'ordre des opérations. Mais nous aurions pu aussi multiplier chaque terme mis entre parenthèses par 57, puis résoudre une équation qui ne comporte plus de parenthèses.
À vous ! Équations du type ax + b = c ou a(x+b) = c.

Comment résoudre une inéquation ?

On résout une inéquation du premier degré de la même façon que l'on résout une équation du premier degré, sauf qu'il faut faire attention au sens de l'inégalité. On se rappelle que si on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre négatif non nul, on change le sens de l'inégalité.
Pourquoi change-t-on le sens de l'inégalité ? On sait que 5<8. On multiplie les deux membres par −1. −5 est-il inférieur à −8 ? Non ! −5>−8 car −5 a la plus petite distance à 0 (ou −5 est à droite de −8 sur la droite graduée). On change donc le sens de l'inégalité.
Par exemple, on doit résoudre −2x+1>7. D'abord, on soustrait 1 aux deux membres. Ensuite, on multiplie les deux membres par −2 en changeant le sens de l'inégalité. Les solutions sont tous les nombres inférieurs à −3.
À vous ! Inéquations de la forme ax + b < c ou ax + b > c.

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