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Descartes et les coordonnées cartésiennes

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo nous allons parler de rené descartes et de l'une de ses contributions aux mathématiques ce qu'on appelle les coordonnées cartésienne sur la gauche qui situe à un portrait de rené descartes qui était un mathématicien est un philosophe français c'était un contemporain de galilée qui est aussi connu pour ses travaux en mathématiques et en physique en philosophie des cartes est notamment connu pour un de ses ouvrages qui s'appelle le discours de la méthode dans le discours de la méthode il parle notamment du raisonnement scientifique est l'une des citations les plus célèbres de descartes c'est celle ci je pense donc je suis nous nous allons parler d'eux des contributions mathématiques de rené descartes dans cette vidéo est l'une de ses plus grandes contributions c'est d'avoir établi un lien entre le monde de l'algèbre et le monde de la géométrie qu'est ce que le monde de l'algèbre l'âge est bon on l'a étudié un petit peu dans les vidéos précédentes dans le monde de la gemme ce qu'on fait c'est notamment étudié des équations c'est à dire des relations entre eux des variables par exemple un exemple d'équations ça pourrait être y est égal 2 6 - 1 ça c'est ce qu'on appelle une équation c'est une relation ici entre deux variables la variable y est la variable x qu'est ce que c'est que des variables et bien des variables ce sont des symboles qui peuvent prendre des valeurs par exemple ici on peut dire que x va être égal à un demi ou à deux et dans ce cas là on va calculer le y qui correspond à ces valeurs là de x c'est ce que je te propose de faire pour comprendre un peu mieux à quoi correspond cette équation là on va calculer quelques valeurs de y qui correspondent à des valeurs de x qu'on va choisir donc on va dessiner ici un tableau avec à gauche les x et à droite les vallone y qui correspondent on pourrait prendre n'importe quelle valeur pour x mais pour simplifier les calculs je te propose comprennent des valeurs entière par exemple on peut calculer y pour x égal à -2 6 x était égal à moins 2 que vaut y vient pour calculer y il faut remplacer x ici par moins deux donc c'est ce qu'on va faire si je remplace x par -2 que vaut cette expression je vais avoir deux fois moins deux ça fait combien oui ça fait moins 4 et - 4 - 1 ça fait combien c'est ça ça fait moins 5 donc quand xv au moins deux y vaut moins 5 on va continuer imaginons qu'on prenne x est égal à moins que vous y êtes dans ce cas là mais ainsi xv au moins 1 y va valoir aux deux fois moins 1 ça fait moins 2 - 1 - 2 - 1 ça fait moins 3 donc si xv au moins 1 y vaut moins 3 on va continuer on va prendre x est égal à zéro dans ce cas là que vaut y deux fois 0 ça fait 0 0 - 1 ça fait moins 1 on va continuer imaginons qu'on a il c'est égal à 1 6x est égal à 1 que vaut y vient deux fois 1 ça fait 2 - 1 ça fait combien ça fait 1 on va continuer un dernier on va calculer par exemple y pour x est égal à 2 6 x vo2 y vaut deux fois 2 4 4 - 1 ça fait combien c'est bien ça ça fait 3 4 - 1 ça fait 3 est donc l'une des contributions de été quinte c'est justement de se dire que cette relation là on peut peut-être la concrétiser un petit peu on peut essayer de rendre cette relation là visualisables et comment est ce qu'il propose de faire ça eh bien il propose de représenter chacune des pertes de valeurs ici par des points dans l'espace je vais t'expliquer un peu plus de quoi il s'agit ce qu'il propose de faire en fait c'est se dire que chaque paire de valeurs ici on va là représenté sous la forme d'un point dans l'espace c'est à dire de faire le lien entre le monde de la jem est ce qu'on appelle le monde de la géométrie la géométrie on en a aussi un peu parlé dans les vidéos précédentes et avant des cartes ce qu'on appelait la géométrie c'était essentiellement la géométrie euclidienne c'est-à-dire l'étude des formes et des relations entre les formes par exemple en géométrie euclidienne on étudie les propriétés des triangles les propriétés des triangles des angles des triangles ou alors les propriétés des cercles donc ici on a un cercle avec un son centre est là le segment là correspond à un rayon on étudie aussi les relations entre les différentes formes par exemple relations entre les cercles et les triangles inscrits dans les cercles tout ça on a un petit peu vu dans les blocs précédent et bien des cartes proposent de faire de construire un pont entre le monde de la jem et le monde de la géométrie et pour faire ça il propose d'étudier ce qu'on appelle les plans qu'est ce que c'est qu'un plan est bien concrètement tu pourrez visualiser un plan comme une feuille de papier une feuille de papier dans l'espace une feuille de papier c'est un morceau de l'espace qui a deux dimensions une dimension horizontale qu'on peut représenter par un axe horizontal comme ça et on peut dire que ces taxes est orienté de la gauche vers la droite par exemple et l'autre dimension d'une d'un plan c l'acce verticale par exemple orienter du bas vers le haut pourquoi est ce qu'on décide d'orienter ces axes danser sans cela ce sont simplement des conventions ou des signes que pour plus de simplicité on oriente l' axe horizontal de la gauche vers la droite et laïcs verticale du bas vers le haut et avec ces deux axes là j'ai créé en fait un plan un plan à deux dimensions pourquoi deux dimensions parce que j'ai deux axes et c'est particulièrement facile à dessiner sur un écran parce que justement ton écran à deux dimensions une dimension horizontale et une dimension verticale est ce que des cadres propose c'est de faire le lien entre ces a sion la et ce plan là c'est avec des cartes qu'on a commencé à nommer cet axe là l'acce des abscisses connaught lax des x et cet axe là l'acce désordonnée qu'on va noter l'accès y est c haque cela on peut les gratuits pour pouvoir mieux mieux se repérer dans le plan donc à l'endroit où se croisent l' axe vertical et l'axé horizontal on va dire qu'on place leur père l'origine pardon du repaire l'origine du repère c'est ce point là et on peut graduée chacun de ces axes donc on met une graduation ici une autre ici une autre ici la dgrad des radiations pas dans régulière et on les numérote et on me prend comme convention que ce qui se trouve à droite ici de la verticale sur l'axé des abscisses ce sont les nombres positif 1 2 3 4 5 6 et à gauche on a les nombres négatifs moins en moins 2 - 3 - 4 et cetera on peut faire pareil pour l'ex verticale avec les nombres positif au dessus de l'axé des abscisses 3 4 5 et les nombres négatifs en dessous de l'axé des abscisses - 4 - 5 donc maintenant qu'on a ce repère là on peut essayer de comprendre comment représenter chacun chacune des pertes de valeurs ici par un point dans ce repaire là ce que propose des cannes c'est de dire que ses pairs de cordes ses pairs de point là on peut les prendre pour représenter ces valeurs là sur le plan ici comment est-ce qu'on procède et bien on va dire que la valeur x va correspondre à un point sur cette dimension là la dimension horizontale et que la valeur y va correspondre à un point sur cette valeur verticales et que justement on peut représenter une paire de valeur par un point dans l'espace on va commencer par celui ci on a x et dallas - 2 et y est égal à moins 5 donc on est sur cet axe là si on prend x et des galas -2 et bien on se place au niveau de la graduation moins deux sur l'axé des x ensuite on trouve que pour x égal à moins 2 on a y est égal à moins 5 qu'est ce que ça veut dire bien ça veut dire que sur la dimension verticale l'axé vertical ici on va se placer au niveau de - 5 - ça que ça se trouve ici et donc à l'intersection entre eux l'acce x est égal à -2 et lax y est illégal à moins 5 on a le point ce point là qui va représenter cette perle à deux valeurs donc ce point là il a pour coordonner cartésienne pourquoi est ce qu on appelle ça des coordonnées cartésienne parce que ce sont des valeurs qui permettent de se repérer dans l'espace et pourquoi cartésienne parce que c'est des cartes qui les a inventés donc ce point là a pour coordonner cartésienne - 2 - 5 ces points-là ces valeurs là permettent de retrouver ce point là dans l'espace et ce point-là représente bien la paire de valeur qu'on a ici on va continuer on va essayer de représenter ses pairs de valeur la moins 1 et -3 6 gx est égal à -1 où est ce que je vais me placer sur cet axe là l'acce dx bien oui je vais me placer au niveau 2 - 1 et si j' y est égal à moins 3 ou est-ce que je vais me placer oui je vais me placer au niveau de y ait des galas -3 donc à ce niveau là ce point-là correspond à la perte de valeur - 1 - 3 - 1 - 3 ce sont les coordonnées cartésienne de ce point là on va continuer en essayant de placer cette perle à 0 - 1 6 g 0 sur l'axé des abscisses la kz2 x ou est ce que je me trouve oui je me trouve ici ici j' y est égal à -1 où est ce que je me trouve sur l'axé vertical oui je me trouvais à ce niveau là à ce niveau là et le point de coordonner cartésienne 0 - 1 on va continuer avec ce point là le point pour lequel on a x égal 1 et y est égale aussi à 1 donc je me place sur l'axé x au niveau 2 1 et sur l'axé y aussi au niveau de 1 donc le point de coordonnées 1 1 se trouve là 1 1 maintenant pour ce point là on a y est égal à 3 et x est égal à 2 on va commencer cette fois-ci par y si j' y égale à 3 ça veut dire que je me trouve à ce niveau là et si gx est égal à 2 ça veut dire qu'il faut que j'avance de deux graduation vers la droite à ce niveau là juste à la verticale de la graduation de son live dx ce point là pour coordonner 2 3 ce sont ses coordonnées cartésienne et des cartes s'est rendu compte d'autres choses il s'est dit mais en fait tous ces points là si on les regarde bien aimés ils sont alignés regarde on peut tracer une droite qui passe par tous ces points là je vais essayer de la trace est aussi bien que possible tu vois on a une droite ici elle n'est pas tout à fait tout à fait droite tu me pardonneras mais toi tu peux peut-être faire mieux sur ton cahier bien tu vois tous ces points là sont alignés et des quintes s'est rendu compte que bien si je prends n'importe quel x et que je calculais le y qui correspond j'ai et que je représente cette perte de valeur sur le plan je vais trouver un point qui se trouve sur cette ligne là et ça c'est la raison pour laquelle les équations de ce type là on les appelle des équations linéaire des équations linéaire pourquoi linéaire parce que si on les représente dans l'espace on trouve des lignes des droites et donc c'est des cartes qui est qui est à l'origine du lien entre l'algèbre et la géométrie c'est lui qui a eu l'idée de représenter des pères de valeur de façon géométrique sur un plan et ces points là eh bien on les détails on détermine leur position dans l'espace grâce aux coordonnées cartésienne qui sont tout simplement les valeurs de x et de y qui correspondent à ces points là on va continuer à explorer ces notions là dans les prochaines vidéos à bientôt