Démonstration - Formule de l'aire d'un triangle

maintenant qu'on sait calculer l'air d'un rectangle on va essayer dans cette vidéo de calculer l'air de triangle alors on peut commencer par un triangle rectangle comme celui que j'ai dessiné ici là à le triangle abc qui est un angle qui rectangle en b il a un angle droit en b et puis voilà on va essayer de calculer l'air de ce triangle rectangle alors pour ça une manière simple c'est d'essayer de se ramener un rectangle puisqu'on sait calculer l'air d'un rectangle alors pour faire ça ben on va tout simplement essayé de construire un rectangle à partir de ce triangle rectangle là et pour ça on va tout simplement prendre une autre copie de ce triangle abc l'a retourné et puis la replacer de manière à former un rectangle alors si on se dit que ici on a un angle qui peut mesurer x part et par exemple la somme des trois ans du triangle fait 180 degrés donc cet angle là cet angle là il va faire 90 - x forcément alors maintenant on va prendre une copie durée du triangle à baisser comme je disais tout à l'heure et puis on va à la retourner et l'a placée comme ça alors je vais la dessiner ici voilà alors si on fait ça l'angle de x degré on va le retrouver ici c'est cet angle là et l'angle qui est là on va le retrouver ici 90 - x et du coup effectivement quand on additionne ses angles 90 - x + 6 à fait bien un angle droit ici et puis là aussi que 4 x + 90 mois zik ça fait bien aussi un angle droit donc là on a effectivement l'angle droit aussi donc là on se retrouve avec une figure qui a quatre côtés et quatre angles droits donc c'est bien un rectangle alors du coup si je veux calculé l'ère du triangle abc ben je vais l'ère du triangle abc ben je vais tout simplement dire que c'est la moitié de ce rectangle puisque le rectangle que j'ai construit ici il est constitué de deux fois de deux triangles abc dont claire du triangle abc c'est effectivement un demi 1/2 de l'ère du rectangle alors le recteur je vais l'appeler s'achever est j'ai appelé ce sommet là que j'ai ce quatrième sommet je vais l'appeler d et donc je vais pouvoir écrire que l'ère du triangle abcc 1/2 de l'ère du rectangle a b c d voilà mais le rectangle la bcb ben on sait calculer son air puisqu'on sait que c'est la première une dimension vous multipliez par une autre dimension donc par exemple ça sera à b x baisser donc ça je vais l'écrire et comme ça donc c'est un demi de à b x b c a b x baisser puisque ab c'est la hauteur de du rectangle et bcc la longueur du rectangle pour cette formule là on peut la lire de cette manière là si on m'appelle baisser si on dit que bcc la base que abc la hauteur eh bien on pourra dire que l'ère du triangle abcc 1/2 de la base fois la hauteur et ça en fait c'est une formule générale qui vaut pour tous les triangles rectangles donc si j'ai ici un triangle rectangle avec cet angle droit ici la base vaut à une longueur de baies et la hauteur une longueur de h à ce moment là l'air de ce triangle c'est un demi de la base fois la hauteur voilà ça c'est la formule générale de l'air d'un triangle rectangle alors maintenant est-ce qu'on peut calculer l'air d'un triangle quelconque qui n'est pas rectangle par exemple ce triangle ici que j'ai dessiné a baissé aussi il s'appelle a baissé aussi bon ce triangle il n'est pas rectangle a essayé de calculer son air alors l'idée de base c'est la même que tout à l'heure c'est de d'essayer de se ramener à des à des figures qu'on connaît tout à l'heure on avait un triangle rectangle on sait ramener un rectangle puisqu'on savait calculé l'air d'un rectangle et là on a un triangle quelconque et on va essayer de découper ce triangle en figures dont on sait calculer l'air alors par exemple ici ce que je peux faire c'est que je peut découper ce triangle en deux triangles rectangles alors pour ça je vais simplement considérer que à cesser la base et puis je vais tracé la hauteur qui est issue du sommet opposé c'est à dire ici du sommet b alors je trace la hauteur donc la hauteur c'est une droite qui est passe par le sommet b et qui est perpendiculaire à la base assez donc voilà on ici un angle droit ce qui fait qu'on m'a en fait de triangle rectangle alors je vais appeler ce sommet ici des sommets cayla et du coup j'ai découpé mon triangle a baissé en deux triangles rectangles un qui s'appelle à b d un autre qui s'appelle bcd alors maintenant je peux exprimer l'ère du triangle à baisser en fonction des l'air des deux de ces deux triangles rectangles je vais pouvoir écrire que l'ère de du triangle abc c'est l'ère de ce premier triangle à bd là que je vais assurer en bleu a plus l'air de ce deuxième triangle baisser dès que je vais hachuré ici voilà donc je vais pouvoir écrire que l'ère du triangle abc c'est l'ère du triangle à b des plus l'air du triangle bcd plus l'air du triangle bcd alors ça c'est pratique parce qu'en fait je sais calculé l'ère du triangle la bd et l'air du trias bcd puisque ce sont deux triangles rectangles jeu c'est calculé la halle a l'air d'un triangle rectangle alors dans le triangle la bd la base on peut dire que c à d et la hauteur cbd donc je vais pouvoir écrire que l'ère du triangle à bdc ça lasse ces terres là c'est un demi de la base fois la hauteur donc la base c à d pardon à des fois la hauteur qui est bd et puis je vais faire la même chose avec l'autre triangle bcd l'air de ce triangle c'est un demi de la base alors la base on peut dire que ces cds et puis la hauteur bd donc un demi de céder fois bd donc finalement l'ère du triangle a b c dépassé 1/2 de a des fois bd + 1/2 de céder fois bd alors maintenant je peux factoriser bd puisque bd la longueur bd apparaît dans les deux dans les deux membres de cette addition donc je vais pouvoir écrire que c'est je peux même factoriser 1/2 de bd en fait donc je vais écrire que c'est un demi de bd fois et puis entre parenthèses je vais avoir ici il me reste ab plus ici il me reste cdct donc voilà alors maintenant je peux aussi remarquer que à des plus décès ou c'est à dire à des plus céder finalement c'est la longueur a assez au total donc là je peux finalement écrire que l'ère du triangle abc c'est un demi de bd fois à des plus cédé alors ça je vais l'écrire comme ça c'est assez donc finalement ce que je peux voir partir de cette formule c'est que l'ère du triangle à baisser en fait c'est un demi de la base assez x la hauteur bd donc en fait on a encore une fois la même formule que tout à l'heure l'ère du triangle abc c'est un demi de la base fois la hauteur alors je vais faire un petit peu de place voilà est ce qu'on arriverait à calculer l'air d'un bain triangle qui est comme ça par exemple dessinée voilà est-ce qu'on pourrait calculer l'air de ce triangle ci que je vais appeler alors je vais appeler a b c alors évidemment on pourrait sera menée aux quatre tout à l'heure en le retournant mais là on va voir une autre manière de le faire avec toujours la même idée d'essayer de se ramener à des formes qu'on connaît alors par exemple ici ce que je peux faire c'est rallonger ce côté ce côté baissé et puis je peux tracé maintenant la hauteur issue du sommet à voilà donc je vais appeler ce point là ce point hic est ici je vais l'appeler d et puis maintenant donc j'ai j'ai tracé en fait ici un triangle rectangle un an d ici j'ai un angle droit puisque adc la hauteur du triangle à baisser donc ses allées perpendiculaires aux côtés cb ou db alors maintenant pour calculer l'ère du triangle abc je peux très bien me dit ah bon bah c'est l'ère de ce grand triangle à bd - l'air de ce petit triangle adc alors je vais agir et pour bien y voir clair si je cherche l'ère du triangle abc j'ai assuré en verre dont claire de a b c est bien ça va être ça va être l'air de ce grand triangle rectangle adb alors ça je veux l'écrire en bleu 10 ont l'air de à des baies à db - l'air de ce triangle ici que j'ai de ce petit triangle rectangle ici voilà donc moins l'air de ce petit triangle rectangle a des c et voilà alors là c'est comme tout à l'heure un skate ce qui est important c'est que on a ici des raids des triangles rectangles à abb adc ces deux triangles rectangles donc on s'est encore une fois calculer leurs airs alors l'ère du triangle à des bébés c'est un demi de la base fois la hauteur donc la base cdb la hauteur c'est à des donc c'est ça 7 cette paire la c1 demi de la base qui est des baies fois la hauteur qui est à d et puis l'air du triangle à baisser alors c'est ça c'est un demi de la base qui est cd cd fois la hauteur qui est à d voilà donc quand je veux calculé l'ère du triangle abc l'a finalement je dois faire un demi de db x des moins un demi de céder fois à des ce qui correspond à l'ère du triangle à db - l'ère du triangle adc alors maintenant là je peux factoriser encore je peux faire des factorisation je peux factoriser un demi que j'ai ici et là et je peux factoriser ad la longueur à des quais en fait la hauteur en du triangle à baisser la hauteur des deux triangles des deux petites filles alors je vais mettre ça en facteur donc ça va me donner un demi je vais écrire on jaune 1/2 de 1/2 fois à d et puis en parenthèse entre parenthèses j'ai ici il me reste des baies db - cd - cd la parenthèse je vais la ferme et en blanc voilà alors maintenant qu'est ce que c'est que ce db - cddb - céder finalement db - ces débats c'est tout simplement cette heure alors je vais la mettre en rouge ces sept longueurs la db - cd puisque c'est toute cette longueur la moins sept longueurs l'a donc en fait il reste effectivement la longueur c'est donc ça db - cb ca c cb donc finalement j'obtiens que l'ère du triangle la bcc 1/2 fois à des fois cb et encore une fois regarder ce qui se passe finalement l'air de ce triangle c'est un demi de la base la base qui est cb fois la hauteur qui a dès lors c'est exactement la même formule que tout à l'heure que dans les deux cas deux précédents convient de voir simplement ici quand on est parti d'un triangle abc et dont on n'avait pas dont la dose dont la hauteur ne nous était pas donné donc on l'a tracé pour pouvoir retrouver cette formule là mais finalement dans tous les cas là l'air d'un triangle c'est un demi de la base fois la hauteur donc après le but c'est de quand on a un triangle c'est de trouver la meilleure configuration pour que la hauteur soit la plus facile à voir est la base la plus facile à voir voilà