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Construire un triangle - une condition

Dans cette vidéo, on te lance un défi : on te donne trois longueurs et on te demande de construire un triangle ayant ces trois longueurs. Ce n'est pas toujours possible ! Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

imaginons que quelqu'un te lance un défi et tu te demandes si tu peux construire un triangle qui a pour coter un segment de longueur 2 un autre segment longueur 2 et puis un dernier côté de longueur 5 donc il s'agirait de construire un triangle un triangle avec deux côtés de longueur 2 et puis un côté de longueur 5 je l'écris comme ça alors on va essayer de le faire et ce que je vais commencer par faire ses traces et le segment le plus long celui qui à longueur 5 donc le thrace ce segment là qu'est le segment de longueur 5 suite maintenant je vais essayer de construire les deux autre côté qui ont pour longueur 2 est en fait chacun de ses côtés part d'une des extrémités du segment le plus grand de longueur 5 qui est ici donc je vais avoir un côté qui part de cette extrémité la et un autre côté qui part de cette extrémité là alors je vais dessiner déjà un segment de longueur de ici donc un segment de longues heures de jeu le faire comme ça à peu près et puis à partir de l'autre extrémité je vais faire la même chose je vais essayer de construire un segment de longueur 2 voilà alors évidemment ici ce que j'ai dessiné c'est pas un triangle puisque les deux sommets ici ne se rejoignent pas alors ce que je vais faire c'est imaginer faire tourner ces deux côtés la deux longueurs de autour de leurs extrémités commune avec le côté de longueur 5 donc cette extrémité là et cette extrémité là pour rapprocher ces deux extrémités et essayer de les faire se rejoindre inde alors si je fais tourner ce segment de longueur 2 ici autour de ce point là en gardant la longueur 2 est bien ce qui peut se passer c'est que au maximum ça va arriver ici voilà et si je fais la même chose avec ce segment là et bien je le fais tourner comme ça et ce qui peut se passer c'est que au maximum moi je le fais tourner donc ça me donne un arc de cercle de rayon 2 et je peux arriver au maximum ici tu vois qu en fait y'a aucune possibilité de faire se recoller ces deux sommets ici donc en fait on ne peut pas construire ce triangle là c'est impossible c'est impossible ça correspond au fait que un triangle de côté 2 2 et 5 ça n'existe pas en fait alors peut-être que tu vois ici se dégager une des règles fondamentales pour qu'un triangle existe c'est que le plus grand côté du triangle ne peut pas être plus grand que la somme des deux autres côtés ici on a le plus grand côté qui est égal à 5 et c'est plus grand que 2 + 2 c'est pour ça qu'on n'arrive pas à faire se recoller ces deux segments là alors on peut même se demander ce qui se passerait au cas limite c'est à dire si le plus grand côté est exactement égal à la somme des deux autres côté donc on pourrait avoir un triangle de côté 2 par exemple un autre côté d'eux et puis le dernier côté le plus grand qui serait la somme de ces deux là donc 4 en fait dans ce cas là tu vas voir c'est pas vraiment un triangle ce qu'on obtient on va essayer de le faire exactement comme tout à l'heure donc je vais commencer par tracer un segment de longueur 4 voilà c'est à peu près 4 ici c'est 4g mais deux semaines et deux extrémités qui sont des sommets du triangle que j'ai c'est de tracer et puis là je vais faire comme tout à l'heure je vais commencer par tracer un segment de longueur 2 à partir de cette extrémité là un autre segment de longueur 2 à partir de cette extrémité là et puis je vais les faire tourner pour essayer de superposer ce sommet à ce sommet là alors quand je fais tourner ce segment là autour de ce sommet en gardant la longueur 2 et bien j'arrive au maximum à ce point ici qui est le milieu ici sept longueurs là et 2 donc ici sept longueurs là et de aussi c'est le milieu du côté de longueur 4 et si je fais la même chose avec l'autre segment est bien quand je le fais tourner au maximum le point où je peux arriver c'est ici donc la seule possibilité pour arriver à construire un triangle avec des côtés de longueur 2 2 et 4 ce serait ce triangle là ici vraiment un triangle c'est plutôt un segment de droite si tu veux c'est ce qu'on appelle un triangle aplatit un triangle aplatit donc c'est pas vraiment un triangle et en particulier ce qu'on peut remarquer c'est que finalement ce triangle aplati il n'a pas d'air voilà donc finalement pour pouvoir dessiner tracer construire un triangle il faut que le plus grand côté soit inférieur à la somme des deux côtés alors on va essayer de le faire avec un exemple donc je vais essayer de construire un triangle qui as par exemple un côté de longueur 3 un autre de longueur 3 est le dernier côté de longueur 5 là c'est possible on va y arriver je vais commencer par tracé mon segment de longueur 5 comme tout à l'heure le plus long des trois côtés donc avec un sommet ici ça c'est une longueur 5 et puis je vais commencer par tracer un segment de longueur 3 en partant d'ici donc voilà la c3 en partant de l'autre extrémité je vais construire aussi un segment de longueur 3 voilà et maintenant je vais faire exactement la même manipulation tout à l'heure les mêmes rotation tout à l'heure je vais tourner ce côté là voilà et en gardant la longueur 3 donc ici je peux arriver ici au maximum et avec l'autre sommet je vais arriver ici comme ça voilà à peu près c'est pas très joli et en fait ce que tu peux voir c'est que ici j'ai un segment de longueur 3 là j'ai un segment de longueur 3 en fait ya une partie où ces deux segments se chevauchent se superposent c'est cette partie là et cette partie là en fait elle vaut 1 cm puisque j'ai 3 cm et 3 cm en tout la partie qui se chevauchent c'est un centimètre voilà est en tout cas ce qui est intéressant c'est que là par contre on peut trouver une position de ces deux segments pour laquelle les deux sommets et les deux extrémités vont se rejoindre c'est cette position là cette position là tu es là je peux construire le triangle qui a pour coter 3 3 et 5 là j'ai mon côté de longueur 5 ici je viens de tracer un à côté de longueur 3 et ici je trace l'autre côté de longueur 3 donc tu vois on y arrive c'est parce que la condition est respectée 5 est plus petit que trois plus trois alors ce qu'on peut se demander aussi c est ce qu'on peut construire un seul triangle comme ça ou bien est ce qu'on peut en construire d'autres alors à partir de ce dessin là on voit bien que la seule position c'est celle ci donc on a l'impression que il y aura uniquement ce triangle là en fait c'est pas tout à fait vrai puisque j'aurais pu placer les segments de longueur 3 de l'autre côté ici du plus grand côté donc par exemple comme ça voilà et puis comme ça puis en les faisant tourner voilà exact la même manière en fait j'obtiens un autre point une autre position qui marche c'est celle ci ici et donc j'aurais pu tracer en fait un autre triangle ici donc on peut en fait tracer deux triangles qui ont pour longueur 3 3 et 5 mais ce que tu peut remarquer c'est qu'en fait ces triangles sont exactement les mêmes ils sont superposables ce sont des triangles ego ne sont pas placés au même endroit mais ils sont symétriques l'un de l'autre par rapport au plus grand côté