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1re année secondaire

Cours : 1re année secondaire > Chapitre 11 

Leçon 5: Les invariants des isométries
Mathématiques
1re année secondaire
Géométrie : Les transformations dans le plan
Les invariants des isométries
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Les propriétés des translations

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Les propriétés des translations ; des exemples pour les illustrer.
Quand on applique une translation à une figure, on obtient une figure superposable. L'image d'un segment de droite est un segment de droite de même longueur. De même, l'image d'un angle est un angle de même mesure.
Ce sont deux propriétés des translations. Dans cette leçon nous donnerons d'abord pour chacune de ces propriétés un exemple qui l'illustre, puis nous énoncerons la troisième propriété des translations.

Propriété 1 : La translation conserve les longueurs, autrement dit l'image d'un segment de droite est un segment de droite de même longueur.

L'unité de longueur est la longueur du côté d'un carré du quadrillage.
Appliquer la translation ⟨2,−7⟩ au segment de droite [ST].
Quelle est la longueur du segment de droite donné ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
Quelle est la longueur de son image par la translation ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Le segment donné et son image par la translation sont de la même longueur. Ce résultat est vrai pour toutes les translations et tous les segments de droite.

Propriété 2 : La translation conserve les angles, autrement dit l'image d'un angle est un angle de même mesure.

Appliquer la translation ⟨−5,−6⟩ à l'angle MNP^.
La translation a-t-elle modifié la mesure de l'angle donné ?
Choisissez une seule réponse :

L'angle donné et son image par la translation ont la même mesure. Ce résultat est vrai pour toutes les translations et tous les angles.

Propriété 3 : La translation conserve l'alignement et le parallélisme, autrement dit l'image d'une droite est une droite, et les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.

Les droites (FG) et (HJ) sont parallèles. Appliquer la translation ⟨−4,3⟩ à ces deux droites.
Les images de ces droites semblent-elles parallèles ?
Choisissez une seule réponse :

On démontre que dans toutes les translations, l'image d'une droite est la droite elle-même ou une droite parallèle, et que les images de deux droites parallèles sont parallèles.

Conclusion

Nous venons de voir les trois propriétés des translations :
  • la translation conserve les longueurs ;
  • la translation conserve les angles ;
  • la translation conserve l'alignement et le parallélisme.
Cela n'a rien d'étonnant si on se réfère à la première définition que nous avons donné d'une translation : un glissement d'une certaine longueur, dans une certaine direction et dans un certain sens. Quand on fait glisser une figure, ses dimensions et ses propriétés ne sont pas modifiées.
C'est comme quand vous prenez un ascenseur ou un tapis roulant : vous vous déplacez d'un endroit à un autre, mais cela ne modifie pas votre personne !

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