If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :9:26

Aire d'un disque, une explication intuitive

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va essayer de comprendre pourquoi la surface d'un disque est donné par la formule pie ix rocard et on va pas démontré cette formule mais on va essayer de la justifier comme ça de manière intuitive commencer par la définition traditionnelle du nombre pi au fait si tu prends un cercle et que tu divises sa circonférence par son diamètre ça c'est le nombre pi donc pis c'est la circonférence / le diamètre et ça c'est vrai pour n'importe quel cercle c'est ça qui permet de définir le nombre pire alors ça on peut l'écrire aussi comme ça c'est la circonférence divisé par deux fois le rayon puisque le rayon c'est la moitié du diamètre alors quand on multiplie cette formule-là cette relation la part de zaire des deux côtés eh bien on obtient la formule que tu connais qui est que la circonférence ces deux fois pie x le rayon ça c'est la formule traditionnelle qui donne la circonférence d'un cercle mais il faut bien comprendre que cette formule là elle vient de cette définition du nombre piqué le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle alors on va servir de cette formule là pour essayer de comprendre pourquoi la surface du disque est donné par la formule pays air au carré et pour faire ça ce qu'on va faire c'est trouver des valeurs approcher de la surface du disque en calculant la surface de polygone qui sont inscrits dans le cercle donc ici ce qu'on a c'est dans le premier dessin qui est là on a un polygone régulier qui a un deux trois quatre cinq côtés donc c'est un pentagone régulier qu'on peut découper ici en 5 triangle qui sont des triangle isocèle tous puisque le polygone est régulier dont claire total de ce pentagone et bien c'est cinq fois l'air d'un de ces triangle isocèle est en général l'air d'un triangle isocèle ou pas c'est la base fois la hauteur / 2 donc ici la base cb donc c'est cinq fois b fois la hauteur qui est à divisés par deux donc ça c'est la surface de ce polygone là ici un que je hachures donc c'est une approximation de l'ère du cercle effectivement c'est quand même pas une très très bonne approximation puisque c'est quand même beaucoup plus petit que le cercle en fait on oublie toute cette partie ici voilà bon c'est une valeur approché quand même de l'ère du disque donc ça c'est avec un pentagone mais tu vois en regardant le dessin d'un côté que si on augmente le nombre de côté et bien en fait la surface qu'on laisse de côté qu'on oublie eh bien elle va diminuer regardez ici par exemple j'ai un polygone inscrits dans le cercle qui a un deux trois quatre cinq six sept côtés donc ça c'est un hexagone régulier et tu vois qu'il retrouve un peu mieux le disque complet on oublie ici la partie qui est ici un qui est nettement plus petit que tout à l'heure voilà toute cette partie là et donc si je calcule l'erc 2,7 et aegon je vais avoir toujours une mesure plus petite que la mesure du disque mais un peu meilleure que celle qui est ici qu on a calculé tout à l'heure alors je vais le faire ici l'air de ce polygone et bien g7 triangle isocèle dont claire de ce polygone c'est cette fois l'air d'un de ces triangle isocèle donc c'est cette fois à foix b / 2 là j'ai utilisé les mêmes lettres a et b dans ce cas-ci et dans ce cas là mais évidemment ce sont pas les mêmes longueurs un ici ce côté là est beaucoup plus petit que dans ce cas là mais ce qui est intéressant la section compare ce qui s'est passé entre le cadre du pentagone et le cas de l'hexagone alors d'une part ce qu'on voit c'est que quand on augmente le nombre de côtés du polygone eh bien on obtient une meilleure approximation de l'ère du disque 1 c'est à dire qu'on recouvre un peu plus le disque ça c'est une première chose et puis en plus ce qui se passe c'est que la longueur à qui est là qui est devenu un peu plus grande ici quand on a augmenté le nombre de côté eh bien on peut comprendre assez facilement que en augmentant encore le nombre de côtés vient en fait cette distance-là à va se rapprocher de la distance r donc ça c'est quelque chose d'important plus augmente le nombre de côtés plus à sa proche de m satan vert le rayon r donc plus on augmente le nombre de côtés plus à va s'approcher de r alors il ya quelque chose d'autre qu'on peut remarquer c'est que quand on multiplie le nombre de côté donc quand on augmente le nombre de côté en fait en augmente le nombre de triangle isocèle et quand je regarde ce produit là cette fois b donc c'est cette fois c'est le nombre de triangle isocèle x la base des triangle isocèle ici alors je peux dessiner ce que représente ce produit là cette fois p en fait ça correspond à faire ce côté là une fois b plus une autre fois b encore une autre fois b encore une autre fois b encore une autre fois b encore une autre fois b et enfin une dernière fois p en fait le produit cette fois b ça donne le périmètre du polygone donc cette fois b ce produit là cette baie c'est le périmètre du polygone alors regardons maintenant ce qui se passe en fait si tu imagines augmenter indéfiniment le nombre de côtés du polygone et bien ce périmètre du polygone lui il va tendre vers la circonférence du cercle donc ce produit-là temps vert la circonférence cercle et d'ailleurs on peut voir ça plus clairement en regardant ce dessin là où j'ai tracé un polygone inscrits dans le cercle qui a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 côté donc l'air de ce polygone et bien c'est dix fois laird au triangle isocèle qui est ici et qui est donc à x b sur deux écrire un petit peu différemment c'est dix fois p à paraître le produit 10 fois beke le périmètre du polygone et donc ici j'ai trouvé une approximation de l'ère du disque encore meilleur puisque j'ai calculé l'air de tout le polygone de ce que je laisse c'est tous ces petits morceaux ici voilà donc je me suis approché très nettement de l'air de ce disque mais du coup on peut regarder ça de manière beaucoup plus général si j'imagine décomposer enfin inscrire dans le cercle polygone à haisnes côté et bien en fait je vais obtenir donc n triangles équilatéraux et du coup l'air de ce polygone à haisnes côté et bien ce sera une fois la base fois la hauteur divisé par deux alors ça ça a rien de mystérieux ça rien de magique c'est tout simplement que ici si je calcule à x b sur deux ça c'est l'air d'un des petit triangle isocèle et comme gn triangle isocèle comme celui ci est bien l'air de mon polygone complet cm x b fois sur deux et ça on va considérer que c'est une approximation de l'ère du cercle donc que l'ère du cercle est à peu près égale à une fois b fois à sur deux alors maintenant c'est là où tout devient très intéressant on va imaginer que ce nombre n donc le nombre de côtés du polygone augmente on va le faire augmenter indéfiniment donc on va regarder ce qui se passe quand n tend vers plus l'infini alors je vais faire ça d'une manière assez informelle parce que pour le faire de manière plus rigoureuse et plus formel il faudrait faire intervenir du calcul de limites mais là je vais juste regarder ce qui se passe donc on suppose que n tend vers plus l'infini alors ce qu'on a dit tout à l'heure c'est que si on augmente le nombre de côté donc 6ème grandi à ce moment là la longueur à temps vers le rayon r et puis autre chose qu'on a remarqué tout à l'heure c'est que si elles augmentent et bien le produit n b lui va tendre vers la circonférence du cercle donc mb temps r la circonférence du cercle qui essaient mais ça on peut rires autrement puisque l'on sait que la circonférence ces 2 pi r2 pie x le rayon en fait ici on peut très bien dire que le produit n b nb temps verts 2 p r 2 pi r ça c'est la circonférence du cern alors maintenant ce qu'on peut faire c'est regarder vers quoi va tendre l'air de ce polygone donc si tu veux l'air de notre cercle puisque c'est l'ère de ce polygone s'approche de l'ère du cercle donc cet air là à elle va tendre vert alors le produit n b tend vers 2 pierre donc à va tendre vers 2 pi r x assure 2 mai à temps vers donc à sur deux va tendre vers r sur deux mais cette expression là je peux la simplifier déjà je peux divisé par deux et donc ce que j'obtiens c'est que l'air va tendre vers br fois r et ça c'est pis fois air au carré voilà là on a terminé puisque ce qu'on a fait en fait c'est inscrire un polygone dans notre cercle vert tendre le nombre de côtés de ce polygone à l'infini et puisqu'on peut voir c'est que du coup l'air de ce polygone qui donc à la limite à une infinité de côté on pourrait dire ça comme ça et bien cette terre va tendre vers l'ère du cercle qui est donnée par cette formule là qui est vraiment la formule de l'ère du cercle que tu connais voilà donc j'espère que cette vidéo tu auras aider à comprendre pourquoi on a cette formule là pourquoi cette formule a donc effectivement l'air d'un cercle