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Diviseurs et multiples

Comprendre les notions de diviseur et de multiple et ce qui les relie.

Facteurs d'un produit

"Le nombre a est un diviseur du nombre b" si b est divisible par a, c'est-à-dire si le quotient de b par a est un nombre entier.

Une représentation graphique des diviseurs d'un nombre

On prend l'exemple du nombre 12.
On peut faire 1 rangée de 12 points.
1×12=12
Un ensemble de 12 cercles disposés en 1 ligne de 12 cercles.
On peut faire 2 rangées de 6 points.
2×6=12
Un tableau de 12 cercles disposés en 2 lignes de 6 cercles chacune.
Ou 3 rangées de 4 points.
3×4=12
Un ensemble de 12 cercles disposés en 3 lignes de 4 cercles chacun.
Il n'y a pas d'autres possibilités. On en déduit que 12 possède 6 diviseurs.
Les diviseurs de 12 sont 1, 12, 2, 6, 3 et 4.
Pour représenter 12, on aurait pu faire une ligne de 5 points et une ligne de 7 points. Alors, 5 et 7 sont-ils aussi des diviseurs de 12 ?
Un ensemble de 12 cercles disposés en 1 ligne de 5 cercles et 1ligne de 7 cercles.
Non. 5 et 7 ne sont pas des diviseurs de 12 car les lignes ne sont pas de la même taille.
On peut représenter 18 avec :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Donc les diviseurs de 18 sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Déterminer les diviseurs d'un nombre sans passer par une représentation graphique

Par exemple, pour savoir si un nombre est un diviseur de 16 on peut faire la division.
1 est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par 1 est un nombre entier.
16÷1=16
Et on voit que le quotient de 16 par 16 est 1 donc 16 est aussi un diviseur de 16.
2 est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par 2 est un nombre entier.
16÷2=8
Et on voit que le quotient de 16 par 8 est 2 donc 8 est aussi un diviseur de 16.
4 est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par 4 est un nombre entier.
16÷4=4
Et le quotient de 16 par 4 est 4 donc dans ce cas-là on ne trouve pas un nouveau diviseur de 16.
Les diviseurs de 16 sont 1,16, 2,8 et 4.
3 et 5 ne sont pas des diviseurs de 16 car ni le quotient de la division de 16 par 3, ni celui de 16 par 5 n'est un nombre entier.
Faire les divisions et en déduire les diviseurs de 35.
diviseur
N'est pas un diviseur
1
2
3
5
7
35

À retenir sur les diviseurs

Tout nombre est divisible par 1.
1 est un diviseur de 10.
1 est un diviseur de 364.
1 est un diviseur de 5 787.
Et tout nombre est divisible par lui même.
41 est un diviseur de 41.
128 est un diviseur de 128.
4 379 est un diviseur de 4 379.

Les diviseurs vont par paire

Si le nombre a est un diviseur du nombre b, alors b est le produit de a par un troisième nombre c : b=a×c. Donc c est aussi un diviseur de b. On dit que a et c forment une paire de diviseurs de b. Par exemple, 8=1 × 8 et 8=2 × 4, donc 8 a deux paires de diviseurs, la paire 1 et 8 et la paire 2 et 4.
Quand on utilise les représentations graphiques, on voit bien que les diviseurs vont par paire. L'un des nombres de la paire est le nombre de lignes, l'autre est le nombre de points par ligne.
Un ensemble de 8 cercles disposés en 1 ligne de 8 cercles chacune.
Un tableau de 8 cercles disposés en 2 lignes de 4 cercles chacune.
On en déduit une méthode pour trouver tous les diviseurs d'un nombre. On prend l'exemple du nombre 20.
On commence par 1 car 1 divise tous les nombres. 1×20=20 donc 20 est aussi un diviseur de 20. 1 est le plus petit diviseur de 20 et 20 est le plus grand. 1 sera le premier de la liste des diviseurs et 20 sera le dernier. On les écrit suffisamment écartés pour intercaler les autres diviseurs entre les deux.
120
On teste si le suivant, 2, est un diviseur de 20.
20 est-il divisible par 2 ? Oui, 2×10=20. Donc 2 et 10 sont deux autres diviseurs de 20.
121020
On teste si le suivant, 3, est un diviseur de 20. 20 est-il divisible par 3 ? Non car 3×6=18 et 3×7=21. Donc 3 n'est pas un diviseur de 20.
On continue avec le suivant : 20 est divisible par 4 car 4×5=20. Et on obtient une nouvelle paire de diviseurs : 4 et 5.
12451020
Le nombre suivant est 5 et il est déjà dans la liste. On peut donc s'arrêter là, on a trouvé toutes les paires de diviseurs de 20.
Mettre les nombres de la deuxième colonne dans le bon ordre pour obtenir la liste des paires de diviseurs de 40.
1

Les multiples d'un nombre

"Le nombre b est un multiple du nombre a", si b est le produit de a par un nombre entier. Les quatre premiers multiples de 3 sont 3,6,9 et 12 car :
3×1=3
3×2=6
3×3=9
3×4=12
15,30 et 300, par exemple, sont aussi des multiples de 3 :
3×5=15
3×10=30
3×100=300
On ne peut pas faire la liste de tous les multiples d'un nombre car elle est infinie.

Exercices d'application

Le premier multiple d'un nombre est lui-même.
7×1=7.
Les deux multiples suivants de 7 sont :
7×2=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

7×3=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Voici le début de la liste des multiples de 4.
4,8,12,16,
Le multiple suivant est :
Choisissez une seule réponse :

Deux nombres ont été effacés dans cette liste des sept premiers multiples de 8.
Retrouver les deux multiples qui ont été effacés.
8,16,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
, 32,40,48,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
...

Lesquels de ces nombres sont des multiples de 6 ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Représenter les multiples d'un nombre

Voici des représentations graphiques de multiples de 4.
4×1=4
Un ensemble de 4 coccinelles disposées en 1 rangée de 4 coccinelles.
4×2=8
Un ensemble de 8 coccinelles disposées en 2 rangée de 4 coccinelles chacune.
4×3=12
Un ensemble de 12 coccinelles disposées en 1 rangée de 4 coccinelles chacune.
On veut représenter le multiple suivant.
Combien y aura-t-il de coccinelles ?
Il y aura
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
coccinelles.

Quel est le lien entre diviseur et multiple ?

4 et 7 sont des diviseurs de 28 car 4×7=28.
28 est un multiple de 4 et aussi un multiple de 7.
Compléter les phrases avec les nombres 32 et 4.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
est un diviseur de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
est un multiple de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
.

S'entraîner à trouver des diviseurs et des multiples

Lesquels de ces nombres sont des diviseurs de 10 ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Lesquels de ces nombres sont des multiples de 10 ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

On sait que 9×6=54
Quelles sont les propositions vraies ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Deux exercices

Les dimensions d'un rectangle sont des diviseurs de son aire.
L'aire d'un rectangle est égale à 50 cm2 .
Ses dimensions peuvent être :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Monsieur Trimble a apporté 36 cookies pour ses élèves.
S'il fait 3 rangées de cookies, il y aura
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
cookies par rangée.
S'il fait
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
rangées de cookies, il y aura 4 cookies par rangée.

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