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A quels ensembles de nombres 3,40282828... appartient-il ?

3,40282828... est-il un entier, un rationnel, un irrationnel, un réel ? Créés par Sal Khan et Monterey Institute for Technology and Education.

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Transcription de la vidéo

à quel ensemble de nombres appartient le nombre 3,40 28 avec un 28 qui se répète c'est ce que signifie le très au dessus du 28 ici donc ce nombre-là je peux aussi l'écrire sous la forme 3,40 28 28 28 28 etc il y à une infinité de 28 après celui ci donc ce nombre là on aimerait savoir à quel ensemble de nombres il appartient l'ensemble le plus large de nombre qu'on a vu dans les vidéos les deux vidéos précédentes c'est ce qu'on appelle lui l'ensemble des nombres réels l'ensemble des nombreux veulent en fait c'est tous les nombres qu'on a vu depuis le tout début des vidéos c'est l'ensemble des nombres qu'on peut représenter par une grande droite fléché comme ça où on place tous les nombres tous les nombres réels et donc si je place par exemple 0 ici - ici donc il ya un an ici deux ici 3,4 et c est ce qu on peut placer ce nombre là sur cette droite 3,40 28 28 28 etc c'est plus grand que trois essais plus petit que quatre et c'est légèrement plus petit que 3.5 3,5 et à peu près là ça veut dire que ce nombre là je peux le placer sur cette droite il se trouve à peu près à ce niveau là là où j'ai fait mon point 3 40 28 28 28 28 et cetera c'est bien nombreux réel c'est bien un des noms c'est le genre de nombre qu'on a vu dans les vidéos toutes les vidéos précédentes donc c'est un nombre réel le deuxième ensemble plus grand qu'on a vu dans les vidéos les deux vidéos précédentes c'est l'ensemble des nombreux rationnelle est ce que tu te souviens ce qu'est un nombre rationnelle un nombre rationnelle c'est un nombre qui peut s'écrire comme le rapport de deux entiers relatif par exemple si je dis que paix est un nombre rationnelle paix est un nombre rationnelle ça veut dire que p je peux l'écrire comme une fraction dentier relatifs donc je peux écrire que paix est égal à petit m sur petite haine avec petit à mes petites haines qui deux entiers relatifs et il faut que petit n soit différent de zéro donc la question ici c'est de savoir si 3,40 28 avec le 28 qui se répète on peut l'écrire sous la forme d'une fraction dentier relatif pour cela j'ai une petite astuce que je vais te montrer d'abord on va poser x est égal à ce nombre là celui qui nous intéresse ici 3,40 28 avec le 28 qui se répète donc ça c'est égal à x ou le note x pour l'écrire plus facilement les équations qu'on va écrire ensuite et est-ce qu'on aimerait calculer ses 10000 fois x alors on devrait savoir combien font dix mille fois x juste expliquer pourquoi on multiplie par dix mille en fait quand on multiplie par un multiple de 10 noms porte quel nombre que l'on multiplie par un multiple de 10 ça revient en fait à déplacer la virgule de ce nombre d'autant de cran vers la droite qui lie à 2,0 au multiple de 10 ici il y a 4 0 ça veut dire que 10000 fois x c'est la même chose que si je prends la virgule 2x et que je la déplace de quatre crans vers la droite donc un cran 2 3 et 4 dix mille fois x est égale à 34 milles 0,28 il ne faut pas oublier le 28 qui se répètent qu'ils se retrouvent donc après la virgule donc ici après la virgule j'ai une infinité de 28 la seconde partie de l'astuce consiste à calculer 100 x x et je t'expliquerai ensuite pourquoi est-ce qu'on a choisis sont donc censés aussi un multiple de 10 qui a 2 0 donc pour calculer 100 x x il faut déplacer la virgule ii x2 de cran vers la droite ce qui fait 300 40,28 avec un trait au dessus du 28 parce que le 28 se répète qu'est ce qu'on remarque ici et bien si je décide de soustraire la deuxième ligne à la première donc si je fais dix mille x moins 100 x donc ici il faut que je passe la même chose de ce côté là 34000 28 avec le 28 qui se répètent moins 300 40,28 avec le 28 qui se répète qu'est-ce qui se passe eh bien je soustrais n'est 28 à l'infini qui sont après la virgule à d'autres 28 à l'infini qui se répètent après la virgule ça veut dire que je me débarrasse de cette partie là qui se répètent à l'infini donc on va faire c'est de soustraction 10000 x moins 100 x ça fait combien de x ça fait 9900 x et ça c'est égal à on va faire cette cette soustraction l'a donc ici on a dit que les 28 se soustraient on obtient donc plus que des 0 après la virgule voilà huit - 0 ça fait 8 2 - 4 ce n'est pas possible donc j'ajoute une dizaine d'ici une unité ici 12 - 4 ça fait encore 8 ensuite une dizaine ici une unité ici 10 - 3 + 1 4-10 -4 ça fait 6 4 - 1 ça fait 3 et 3 - 0 ça fait 3 donc je trouve 33600 88,00 il n'en a plus de décimales qui se répètent après la virgule en fait cette astuce teint elle a servi à se débarrasser des décimales qui se répétaient après la virgule donc si je veux savoir combien fait x ici ce qu'il faut que je fasse et que je divise chacun des deux chacune des deux parties de cette équation par 9900 donc on a tous / 9900 je prends une autre couleur donc j'utilise cette partie là par 9900 et cette partie là aussi par 9900 et on va écrire un côté ce que ça fait alors 9900 / 9900 il ne me reste plus que le x ici donc il me reste six est égal à 30 3680 8,00 donc je n'ai pas besoin de l'écrire c'est la même chose que 33 1688 sur 9900 et regarde ce qu'on a obtenu ici on a obtenu une action avec au numérateur et au dénominateur des antilles relatif on peut même dire des entiers naturels donc cette fraction là bien sûr on peut la simplifier on peut voir que le numérateur et le dénominateur sont tous les deux divisé par deux mais ça ne nous intéresse pas ici ce n'est pas important parce que ce qui est important c'est que x puisse s'écrire sous la forme d'une fraction d'anti relatif donc ça veut dire que x est un nombre rationnelle x est un nombre rationnelle et x il se trouve que c'était égal à 3,40 28 avec le 28 qui se répète c'est le nombre qui nous intéresse donc ce nombre-là et un nombre réel est aussi un nombre rationnel alors pour terminer de savoir de déterminer les ensembles auquel appartient ce nombre est ce que c'est un entier relatifs non parce que ce n'est pas un entier est ce que c'est un entier naturel non nul non plus parce que ce n'est pas un entier et ce n'est pas non plus un entier naturel donc ce nombre-là 3,40 28 avec le 28 qui se répète est un nombre réel est un nombre rationnelle c'est tout ce qu'on peut dire à son propos