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Cours : 1re année secondaire > Chapitre 4 

Leçon 7: Multiplication et division de nombres entiers
Mathématiques
1re année secondaire
Nombres : Les entiers (relatifs)
Multiplication et division de nombres entiers
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Multiplier deux nombres négatifs

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Si 3×(-8) permet de trouver le nombre total d'objets répartis dans 3 groupes de -8 chacun, que signifie -3×(-8) ? Que signifie multiplier deux nombres négatifs ? Utilisons les propriétés de la multiplication pour répondre à ces questions.
Lorsqu'on multiplie un nombre positif par un nombre négatif, le produit est l'opposé du produit des valeurs absolues des nombres. Donc, le produit est toujours un nombre négatif.
Qu'en est-il lorqu'on multiplie un nombre négatif par un nombre négatif ? Pour le savoir, nous allons utiliser trois méthodes différentes. Pour commencer, utilisons la propriété de la distributivité de la multiplication sur l'addition.

Multiplication et distributivité : nombre négatif multiplié par un nombre négatif

La propriété de la distributivité de la multiplication sur l'addition reste vérifiée lorsque les facteurs sont des nombres négatifs. Nous allons l'utiliser pour voir ce qui se passe lorsque nous multiplions deux nombres négatifs, en commençant par l'exemple −7×(−3).
Avant cela, faites un pronostic sur le produit.
Quelle sera, selon vous, le produit de −7 par −3 ?
Votre pronostic n'est pas noté, mais c'est important d'en faire un car nous apprenons davantage lorsque nous faisons une supposition avant d'obtenir un retour d'information.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
On va maintenant utiliser une équation produit et la distributivité pour calculer ce produit.
Compléter chacune des égalités suivantes par le nombre qui convient.
−7×(
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)		=0
−7×(−3+
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)		=0
−7×(−3)+(−7)×(3)=0
−7×(−3)+(−21)=0
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
+(−21)		=0

Multiplication par un nombre négatif et soustraction répétée

Droite graduée

Généralement, le signe "−" signifie que l'on se déplace vers la gauche sur la droite graduée, qu'il représente un nombre négatif ou une soustraction
Faire correspondre les droites graduées aux multiplications qu'elles représentent.
Les droites graduées en double correspondent à l'une ou l'autre des multiplications proposées.
1

Calculer :
2×4=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
−2×4=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
−2×(−4)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Groupes d'objets de même taille

On représente la multiplication par un nombre positif en additionnant des groupes d'objets de même taille. On représente la multiplication par un nombre négatif en soustrayant des groupes d'objets de même taille.
Donc, −2×(−5) est le nombre d'objets lorsqu'on retranche 2 groupes de −5. Mais comment peut-on retrancher des groupes d'objets alors que nous n'en avons pas ?
Ci-dessous, on a représenté 0 : chacun des 10 jetons positifs est couplé à un des 10 jetons négatifs et chaque couple (jeton positif, jeton négatif) vaut 0.
4 lignes de jetons. La première ligne a 5 jetons positifs. La deuxième ligne a 5 jetons négatifs. La troisième ligne a 5 jetons positifs. La quatrième ligne a 5 jetons négatifs. Chaque jeton positif est regroupé avec un jeton négatif. Il y a 10 groupes et il ne reste aucun jeton.
On retranche maintenant 2 groupes de −5.
4 lignes de jetons. La première ligne a 5 jetons positifs. La deuxième ligne a 5 jetons négatifs. La troisième ligne a 5 jetons positifs. La quatrième ligne a 5 jetons négatifs. Les 10 jetons négatifs sont barrés.
Calculer : −2×(−5)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Conclusion

Maintenant que nous avons examiné la multiplication d'un nombre négatif par un nombre négatif en utilisant trois méthodes différentes, quelles conclusions pouvons-nous tirer ?
Donner une règle générale du produit d'un nombre négatif par un nombre négatif.

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