Équations et inéquations FAQ

Une égalité est telle une phrase mathématique qui utilise le signe $=$‍ pour signifier que le membre à gauche du signe est égal au membre à sa droite. Par exemple, $2+3=4+1$‍ est une égalité signifiant que la somme de $2$‍ et de $3$‍ est égale à la somme de $4$‍ et de $1$‍.

Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, $x+4=10$‍ est une équation dont l'inconnue est $x$‍. Résoudre une équation, c'est déterminer toutes les valeurs de $x$‍ (si elles existent) pour lesquelles l’égalité est vraie.

Les équations nous permettent de modéliser de nombreuses situations réelles, comme la somme d'argent de chacun de deux enfants, sachant qu'ils ont ensemble $500\text{€}$‍ et que l'un des deux a $20\text{€}$‍ de plus que l’autre. Dès qu'on peut exprimer une grandeur en utilisant deux écritures mathématiques différentes, utiliser une équation est pertinent.

Pour tester si un nombre est une solution d'une équation, il faut remplacer l'inconnue par ce nombre et voir si l'égalité est vérifiée.

Par exemple, $6$‍ est-il une solution de l'équation $x+4=10$‍ $?$‍ On remplace $x$‍ par $6$‍, on obtient $6+4=10$‍, $10=10$‍. Il y a égalité entre les deux membres donc $6$‍ est une solution de l'équation.

Pour tester si $5$‍ est une solution de cette équation, on remplace $x$‍ par $5$‍, on obtient $5+4=10$‍. L'égalité n'est pas vérifiée, $9\ne 10$‍, donc $5$‍ n'est pas une solution de l'équation.

Les équations à une seule étape sont les équations du type $x+a=b$‍, $x-a=b$‍, $ax=b$‍ ou $x/a=b$‍, comme par exemple $x+4=10$‍ et ${\displaystyle \frac{x}{7}}=3$‍

Pour résoudre une équation à une seule étape, nous devons effectuer une seule opération, dans chacun des membres. L'opération est celle qui permet d'isoler la variable dans son membre. Ce sera l'opération inverse de celle qui est faite sur la variable. Par exemple, pour résoudre $x+4=10$‍, où $4$‍ est additionné à x, on doit soustraire $4$‍ aux deux membres de l'équation pour obtenir $x+4-4=10-4$‍ soit $x=6$‍.

Pour résoudre ${\displaystyle \frac{x}{7}}=3$‍, où x est divisé par $7$‍, on doit multiplier les deux membres de l'équation par $7$‍, et on obtient $x=21$‍. La résolution d'équations à une seule étape nous permet de trouver la valeur de l'inconnue $x$‍ qui rend l'égalité vraie.

Une inéquation possède un ensemble de solutions et non une unique solution comme une équation. Par exemple, si on doit résoudre l'inéquation $k<10$‍, quelles sont les valeurs de $k$‍ qui rendent l'inégalité vraie $?$‍ Il existe de nombreux nombres inférieurs à $10$‍, y compris de nombreuses fractions et des nombres négatifs.

Pour tester si un nombre est une solution d'une inéquation, on remplace l'inconnue par ce nombre et on regarde si l'inégalité est vraie. Par exemple, pour vérifier si $8$‍ est une solution de l'inéquation $x>7$‍, on remplace $x$‍ par $8$‍ et on obtient $8>7$‍. L'inégalité est vraie, donc $8$‍ est une des solutions de l'inéquation. Pour tester si $6$‍ est une solution, on peut remplacer $x$‍ par $6$‍ et obtenir $6>7$‍. L'inégalité n'est pas vérifiée, donc $6$‍ n'est pas une solution de l'inéquation.

Dans les inéquations du type $x>a$‍ ou $x⩽b$‍, l'inconnue est dans un des membres de l'inéquation (ici dans le membre de gauche) et le nombre dans l'autre membre de l'inéquation (ici dans le membre de droite). Il faut parfois effectuer des opérations aux deux membres de l'inéquation pour isoler l'inconnue et se ramener à ce type d'inéquation pour représenter ses solutions sur une droite graduée.

Pour représenter l'ensemble des solutions d'une inéquation sur une droite graduée, on commence par placer la valeur limite déterminée par la résolution de l’inéquation. Par exemple, si l'inéquation est $x>7$‍, on place $7$‍ sur la droite graduée. Les solutions sont les nombres strictement supérieurs à $7$‍ : on sélectionne la droite graduée à droite de $7$‍. Enfin, on regarde si l'inégalité est stricte ($>$‍) ou non ($\ge$‍ ). Si l'inégalité est stricte, le nombre limite (ici $7$‍) ne fait pas partie de l'ensemble des solutions. On utilise alors un crochet $]$‍ pour exclure cette valeur. Si l'inégalité est large, le nombre limite (ici $7$‍) fait partie de l'ensemble des solutions. On utilise alors un crochet $[$‍ pour exclure cette valeur. Attention, ceci est valable pour $x>a$‍ ou $x⩾a$‍. Une autre écriture possible utilise un cercle sur la valeur limite : un cercle (○) signifie que la valeur limite ne fait pas partie de l'ensemble des solutions et un disque (●) signifie qu'elle en fait partie.$$‍

Une des méthodes pour déterminer quelle partie de la droite numérique comporte les solutions consiste à choisir un nombre "facile", par exemple $0$‍, et à remplacer x par ce nombre dans l'inéquation. Si l'inéquation est vérifiée, on sélectionne alors pour les solutions toute la partie de la droite numérique qui contient cette valeur ($0$‍). Si ce n'est pas le cas, alors tout ce côté est à exclure, et on refait l'opération avec un nombre situé de l'autre côté de la valeur limite. Ici, $0$‍ est inférieur à $7$‍, il ne fait donc pas partie de l'ensemble des solutions et le côté de la droite numérique qui comporte $0$‍ ne contient pas de solutions de l'inéquation. Recommençons avec $10$‍ : $10>7$‍, donc nous sélectionnons le côté à droite de $7$‍. Pour représenter graphiquement $x\le 7$‍, nous sélectionnons la partie à gauche de $7$‍ et nous utilisons le crochet $]$‍ ou le disque ●

Attention aux idées fausses : on a tendance à sélectionner automatiquement à droite du nombre limite quand on voit un symbole supérieur à ($>$‍) ou supérieur ou égal à ($\ge$‍). Mais cela n'est juste que si l'inconnue se trouve à gauche du symbole. Par exemple, pour repésenter les solutions de l'inéquation $3>x$‍, il faut sélectionner la partie de la droite graduée à gauche de $3$‍ car toutes les solutions sont inférieures à $3$‍ (on peut l'écrire $x<3$‍).

Parfois, lorsque nous réalisons des expériences ou comparons des phénomènes, nous voulons savoir comment une grandeur en affecte une autre. Par exemple, nous pourrions vouloir savoir comment la pente d'une rampe affecte la vitesse d'une petite voiture, ou comment la température de l'eau détermine la quantité de sucre qui peut s'y dissoudre. Dans de telles situations, nous utilisons deux types de variables : indépendantes et dépendantes.

La variable indépendante est la variable dont on modifie les valeurs pour étudier quelle est son influence sur l'autre variable. Par exemple, dans l'expérience de la rampe, la variable indépendante est la pente de la rampe. Nous pouvons choisir différentes pentes et mesurer la vitesse de la voiture associée à chacune.

La variable dépendante est celle qui est observée et mesurée dans une expérience, lorsqu'on modifie les valeurs de la variable indépendante. Il s'agit généralement du résultat de l'expérience. Par exemple, dans l'expérience de la rampe, la variable dépendante est la vitesse de la voiture. Nous pouvons utiliser un chronomètre ou un compteur de vitesse pour enregistrer la vitesse de la voiture correspondant à chaque pente.

Pour faire la différence entre la variable indépendante et la variable dépendante en contexte, nous devons nous poser deux questions :

La variable que nous modifions volontairement est la variable indépendante. La variable que nous mesurons ou observons est la variable dépendante. Il est parfois utile d'exprimer la relation entre les variables en utilisant les termes " dépend de ". Par exemple, la vitesse de la voiture dépend de la pente de la rampe. Donc, la vitesse de la voiture est la variable dépendante (qui dépend de l'autre) et la pente de la rampe est la variable indépendante.

N'oubliez pas que les variables indépendantes et dépendantes peuvent changer en fonction du contexte et de la question à laquelle nous voulons répondre. Par exemple, si nous voulons savoir comment la masse de la voiture influence la vitesse, la masse est la variable indépendante et la vitesse est la variable dépendante. La pente de la rampe n'est plus pertinente dans ce cas.

Comprendre la différence entre variable indépendante et variable dépendante peut nous aider à concevoir de meilleures expériences, à améliorer les représentations graphiques et à interpréter les données de manière plus précise.