Les propriétés des transformations dans le plan et leur rôle dans la démonstration en géométrie

On utilise les transformations du plan dans les démonstrations en géométrie parce qu'elles conservent certaines propriétés. Les isométries, comme les translations, les rotations et les symétries, conservent l'alignement, les distances, les mesures des angles et les aires. L'homothétie, par contre, ne conserve pas les distances, puisqu'elle permet d'agrandir ou de réduire des figures géométriques. Elle conserve cependant l'alignement et les angles, ainsi que les proportions de la figure.

Les isométries du plan et les homothéties conservent aussi le parallélisme. Ainsi, lorsque nous appliquons des isométries et des homothéties dans des démonstrations géométriques, nous sommes sûrs que certaines propriétés resteront inchangées même lorsque les figures géométriques sont déplacées ou redimensionnées.

À vous ! Démontrer en utilisant une transformation.

Un contre-exemple en mathématiques est un exemple particulier où une propriété (une conjecture, une règle générale...) que l'on pense vraie n'est pas vérifiée et qui permet de conclure que la propriété est fausse. La recherche d'un contre-exemple est un moyen utilisé pour démontrer que des propriétés, des conjectures ou des énoncés, sont faux ou incomplets.

Par exemple, nous pourrions définir la rotation d'une figure géométrique comme une transformation qui fait tourner chaque point de la figure du même nombre de degrés autour d'un point appelé centre de rotation. Mais cette définition n'est pas tout à fait juste. Il suffit de trouver un contre-exemple en faisant tourner certains points du même nombre de degrés, mais dans un sens différent.

Ainsi, en utilisant ce contre-exemple, nous pourrions reformuler notre définition pour dire qu'une rotation est une transformation d'une figure géométrique qui fait tourner chaque point de la figure du même nombre de degrés et dans le même sens autour d'un point, le centre de rotation.

Les contre-exemples sont un outil puissant en mathématiques et peuvent nous aider à rédiger des définitions plus précises.

À vous ! Définir une transformation.

Si une figure peut se superposer sur elle-même en tournant autour d'un point particulier, alors elle admet un centre de symétrie. Si une figure reste inchangée lorsqu'on applique une symétrie par rapport à une droite, alors cette droite est un axe de symétrie de la figure.

Est-il possible qu'une figure ait un centre de symétrie et aucun axe de symétrie ou un axe de symétrie et aucun centre de symétrie ? La réponse est oui ! Par exemple, dans un trapèze isocèle, la médiatrice d'une des deux bases est axe de symétrie. Mais le trapèze isocèle n'a pas de centre de symétrie. À l'inverse, un parallélogramme quelconque admet un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales mais aucun axe de symétrie.$$‍

Entraînez-vous avec ces exercices : Reconnaître si une droite est un axe de symétrie d'un polygone et Identifier des symétries dans des figures planes.

Nous pouvons définir des transformations plus précisément à l'aide des coordonnées cartésiennes.

Une translation est la transformation qui fait glisser tous les points d'une figure d'une certaine longueur, dans une certaine direction et dans un certain sens. Par exemple, appliquer une translation de vecteur $⟨5,2⟩$‍ à une figure, c'est la déplacer de $5$‍ unités parallèlement à l'axe des $x$‍ puis de $2$‍ unités parallèlement à l'axe des $y$‍. L'image de tout point $M$‍ du plan repéré est le point $M^{\prime }$‍ tel que :

Pour une symétrie axiale, il faut spécifier l'axe de symétrie. Par exemple, une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des ordonnées peut être notée $s_{\text{y}}$‍. Par cette symétrie, un point et son image ont la même ordonnée et des abscisses opposées.

Pour une rotation, il faut spécifier le centre de la rotation, l'angle de rotation ainsi que le sens de la rotation. Par exemple, une rotation de centre l'origine du repère $O$‍ , d'angle $90\mathrm{°}$‍ dans le sens des aiguilles d'une montre peut être notée $R_{(O,-90\mathrm{°})}$‍. L'angle de rotation est positif si le sens de la rotation est le sens contraire des aiguilles d'une montre (sens direct), et négatif si le sens de la rotation est le sens des aiguilles d'une montre (sens indirect ou rétrograde). L'image d'un point $M$‍ du plan repéré par une rotation de centre $O$‍, d'angle $90\mathrm{°}$‍ dans le sens indirect est le point $M^{\prime }$‍ tel que :

Les rotations selon des angles non multiples de $90°$‍ font appel à la trigonométrie, nous les étudierons dans un prochain cours.