Produit de deux ou plusieurs puissances d'un même nombre

alors dans cette vidéo je devrais faire un certain nombre d'exemples qui vont utiliser les propriétés des puissances alors avant de commencer on va voir on va revoir rapidement un petit peu ce que sont les puissances alors par exemple si j'écris de puissance 3 ça qu'est ce que c'est alors tu es peut-être tenté de dire que ça fait 6 1 mais pas du tout en fait cette écriture l'a12 avec un petit trois plus un pl c'est un petit peu plus haut eh bien ça veut dire qu'on va prendre le nombre d'eux qu'on va lui multiplié trois fois par lui-même en fait donc ces deux puissances 3 ça se lit comme ça ou deux au cube et ça veut dire deux fois deux fois 2 voilà donc deux fois deux fois 2 on peut le calculer ces deux fois deux ça fait 4 x 2 ça fait 8 donc ce nombre là deux à l'impuissance 3 te dire qu'on multiplie trois fois le nombre d'eux par lui même et ça donne 8 2 x 2 x 2 ça fait 8 alors je vais prendre un autre exemple disons trois puissances 2 ce qu'on lit aussi trois au carré et bien ça c'est le nombre trois qu'on va multiplier deux fois par lui même donc c'est 3 fois 3 et ça fait 3 fois 3 on sait que ça fait 9 alors je peux faire encore un exemple disons 5 à la puissance 7 et 5 à la puissance est bien ça va être le nombre cinq qu'on multiplie cette fois par lui même donc ces 5 x 5 x 5 x 5 encore faut que j'en ai sept en tout 1 2 3 4 il en manque trois fois 5 encore une fois x 5 est encore x 5 alors 1 2 3 4 5 6 7 tu vois j'ai multiplié cette fois le nombre 5 par lui même et c'est ce que j'appelle 5 à la puissance 7 5 élevé à la puissance est alors je vais pas le calcul est ici mais ça tu peux te rendre compte que c'est vraiment un très grand nombre et si tu veux tu peux le calcul à la main si tu as le courage en tout cas dans ce dont tu peux te rendre compte facilement là je crois c'est que en fait le fait d'élever à une certaine puissance et bien ça ça donne très rapidement de très très grand nombre voilà alors ça c'est des révisions maintenant on va essayer de on va étudier c'est un petit peu plus en profondeur dans le cas des expressions algébrique alors je prends une expression algébrique pour l'instant assez simple par exemple 3 x voilà je vais prendre cette expression là 3x et je vais écrire ça 3 x x 3 x x 3 x le point ça veut dire multiplier c'est pour pas qu'on utilise ce point là pour pas confondre avec la lettre x donc 3 x x 3 x x 3 x bon 3 x ça veut dire trois fois x donc en fait ce que j'ai ici c'est 3 x x x 3 x x x 3 x x et ce jeu peu comme c'est que des multiplications l'ordre dans lequel on fait les multiplications ne n'a pas d'importance donc je peut réécrire ça comme ça 3 x 3 x 3 x x x x x x ça c'est que des points qu'ils veulent dire multiplier voilà là j'ai juste réécrit exactement la même chose en changeant l'ordre des facteurs hélas que tu peut remarquer c'est que si je prends cette partie là ça c'est en fait 3 x 3 x 3 c'est ce qu'on a dit tout à l'heure c'est 3 élevé à la puissance 3 donc ce qu'on dit aussi trois au cube et puisque j'ai ici je vais faire d'une autre couleur ce que j'ai là c'est x x x x x donc cx qu'on multiplie par lui-même trois fois de suite donc c'est ce qu'on avait appelé tout à l'heure x au cube x élevé à la puissance 3 voilà donc trois x x 3 x x 3 x en fait c'est 3 occupe x x au cub3 élevé à la puissance 3 x x x élevé à la puissance 3 alors bon 3 élevé à la puissance 3 on peut le calculer puisque ces 3 x 3 x 3 en fait trois fois trois ça fait 9 x 3 ça fait 27 donc là je peux écrire que ces 27 27 x au cube 27 x au cube 27 x élevé à la puissance 3 alors tu t'es peut-être dit aussi en voyant cette ce que j'ai écrit 6 se produit là de 3 x x 3 x x 3 x tu t'es peut-être dit mais en fait ça ces 3 x qu'on multiplie par lui-même trois fois de suite donc je peux très bien dire que ces 3 x au cub3 x élevé à la puissance 3 donc ça effectivement si tu te dis c'est effectivement tu as raison puisque je peux très bien écrire que ça c'est 3 x élevé à la puissance 3 donc 3 x au cube alors si tu regardes ça maintenant 3 x élevé à la puissance 3 en fait c'est égal à 3 élevé à la puissance 3 x x élevé à la puissance 3 alors là tu vois peut-être se dessiner une des propriétés des puissances c'est que quand tu prends un produit donc quelque chose fois quelque chose et que tu élèves se produit à une certaine puissance et bien en fait ça va revenir à élever chaque terme du produit à la puissance à la puissance que tu as à laquelle tu a élevé le produit lui même donc là tu as élevé 3 x ^ 3 ça revient à élever 3 ^ 3 et a multiplié sa part x élevé à la puissance 3 donc pour récapituler en fait ce qui se passe ici c'est que quand on a un produit de 2,2 terme par exemple qu'on élève à la puissance est bien au fait le produit de chaque terme élevé à la puissance donné la puissance à laquelle on avait élevé le produit voilà bon on va continuer à faire quelques exemples avec ces puissances alors je vais faire par exemple on va regarder ce que donne ce produit là si je prends le nombre 6 je vais le faire d'une autre couleur si je prends le nombre si c'est que je lève par exemple à la puissance 3 donc 6 au cube et que je multiplie ça maintenant par six encore je vais prendre je vais mettre les multiplier en blanc donc je multiplie ce 6 au cube parsys élevé à la puissance dix ont 6 voilà alors qu'est ce que c'est que ce nombre on veut ça va être un très grand nombre puisque six puissances 3c 6 x 6 x 6 et puis six puissances 6 c6 multiplier six fois par lui même donc ça fait déjà ça fait un très grand nombre on va pas essayer de le calculer maintenant par contre on va essayer de quand même devoir de transformer cette expression là pour voir un peu mieux ce que ça ce que ça représente alors déjà mangé 6 au cube 6 occupe ça veut tout simplement dire on l'a vu tout à l'heure plusieurs fois ça veut dire que je vais prendre si c'est que je vais multiplier trois fois par lui même donc je vais avoir 6 x 6 x 6 sa c6 élevé à la puissance 3,6 au cube et ensuite je vais multiplier ça donc je mets le point de explications parsys élevé à la puissance 6 alors 6 élevé à la puissante 6 c'est le nombre si ce qu'on va multiplier six fois par lui même donc je vais l'écrire c'est 6 x 6 x 6 x 6 il faut que j'en ai six ans toute la journée 1 2 3 4 5 et 6 donc là j'ai bien si ce que je multiplie six fois par lui-même donc c'est bien six puissances 6 alors qu'est ce qui se passe ici qu'est ce que j'ai j'ai en fait le nombre si ce que j'ai multiplié un certain nombre de fois par lui même donc en fait ça va être 6 élevé à la puissance quelque chose puisque c'est vraiment ça c'est si ce que je multiplie un certain nombre de fois par lui même donc on va essayer maintenant de trouver l'exposant de la puissance c'est à dire la puissance à laquelle on a élevé le nombre 6 ici alors ici j'ai déjà combien de fois le nombre six jeux les trois fois pour que ça c'était six puissances 3 c'est le nombre le nombre 6 multiplier trois fois par lui même et puis ici j'ai un deux trois quatre cinq six c'est ce qu'on a vu tout à l'heure donc j'ai six fois le nombre si cela donc en tout eh bien j'ai multiplié le nombre 6,3 fois ici + 6 fois ici par lui même donc je vais pouvoir écrire que finalement si socke une fois six puissances si c'est bien ces six élevé à la puissance 3 + 6 puisque la gelée multiplier trois fois par lui-même et la six fois par lui-même en touche de les multiplier 3 + 6 6 fois par lui même alors trois plus si ça fait neuf donc en fait j'ai six élevé à la puissance 9 voilà donc six puissances trois fois 6 puissance 6 ces six puissances 3 + 6 c'est ce qu'on voit directement ici et donc ses six puissances ne alors tu vois ici on a retrouvé en fait une propriété des puissances c'est que en fait si je prends un nombre ici ses nombreux si ce que je l'élève à une certaine puissance et que je multiplie ensuite par le même nombre il faut que ce soit le même nombre ici on a le nombre 6 dans les deux cas c'est bien ça donc je multiplie par le même nombre élevé à une autre puissance et bien ça ça va revenir à prendre ce nombre est l élever à la somme des deux puissances c'est ce qu'on a fait ici on a six élevé à la puissance 3 l'on multiplie par 6 eveala puissance 6 donc à chaque fois on élève le nombre 6 à une certaine puissance et ça revient à élever le nombre 6 à la puissance 3 + 6 qui est la somme des deux exposants ici voilà alors si tu as un petit peu de vocabulaire ici c'est la base et 3 celle exposants ici si c'est la base et 6 cell exposants alors on va continuer avec quelques autres exemples par exemple si je prends cette si je prends le nombre d'eux que je n'ai que je l'élève à la puissance de donc de au carré ensuite je multiplie sa part 2 élevé à la puissance 4 et puis je multiplie encore par deux élevé à la puissance 6 on va dire puissant 6 alors ça qu'est ce que ça va être c'est ici j'ai le nombre d'eux que j'élève à une certaine puissance multipliée par le nombre d'eux que j'élève à une autre puissance multipliée encore par le nombre d'eux que j'élève à la puissance 6 en tout cas du coup j'ai un produit du nombre de élevé à chaque fois une certaine puissance et donc d'après ce qu'on a vu tout à l'heure en fait ça fait deux élevé à la puissance la somme des exposants ici donc de +4 +6 et 2 + 4 + 6 ça fait de +4 ça fait 6 plus si ça fait douze donc finalement de haut car fo deux puissances quatre fois depuis 106 ça fait deux puissances 12 est bon si tu imagines écrire ce produit là comme on l'a fait tout à l'heure ici tu aurais le nombre de multiplier deux fois par lui même ici tu aurais encore le nombre de multiplier quatre fois par lui-même et puis là encore le nombre de multiplier six fois par lui même donc en tout qui auraient le nombre de multiplier deux fois plus quatre fois plus six fois par lui même donc effectivement en fait tu aurais le produit de deux multiplier deux fois par lui-même donc de élevé à la puissance 12 alors maintenant je vais faire un exemple avec des expressions algébrique donc avec des variables ça peut paraître un peu plus compliqué mais tu vas voir qu'en fait on sait exactement la même chose alors je vais prendre par exemple 7 cette expression la xe au carré x x puissance 4 alors là tu vois j'ai xlv une certaine puissance x x encore élevé à une autre puissance donc je suis exactement dans ce cas là en fait la base est toujours la même donc je vais pouvoir dire que ça ça fait un x élevé à la puissance la somme des exposants donc de plus 4 et 2 + 4 ça fait 6 donc en fait ça c'est x puissance 6 alors si tu me crois pas on peut faire exactement ce qu'on a fait avec cet exemple là parce que qu'est-ce que c'est que xo carrière je vais l'écrire ici je vais prendre d'autres couleurs x au carré c'est x x x ça c'est x au carré un cx qu'on multiplie deux fois par lui même ensuite je dois multiplié sa part x puissance 4 et x puissance 4 et bien c'est alors je vais mettre le point ici regardez les couleurs x puissance qu'a très bien c'est x qu'on va multiplier quatre fois par lui-même donc ça va être x x x x x x x là je les prie 4.234 donc c'est vraiment x élevé à la puissance 4 1 x puissance 4 donc maintenant combien de fois j'ai multiplié x par lui même j'ai deux fois ici + 4 fois ici donc en tout gelé multipliaient six fois par lui même donc là on voit bien qu effectivement on obtient x puissance 6,6 eelv et à la puissance 6 voilà donc ça marche on va continuer avec un autre exemple je vais faire quelque chose d'un peu différent je pense que le plus d'exemples tu verras de toute façon le mieux ce sera donc là je vais faire par exemple je vais prendre un nombre à voilà je vais l'élever à la puissance 3 et puis je vais élever tout ça à la puissance 4 alors qu'est ce que ça donne ça eh bien en fait ça va donner le nombre à élever à la puissance 3 x 4 1 je l'écris comme ça à élever à la puissance 3 x 4 et 5 3 x 4 c 12 donc c est à élever à la puissance 12 à puissance 12 alors je pense que tu peux assez facilement te rendre compte de pourquoi ça marche ça en fait quand on écrit à à la puissance 3 élevé à la puissance 4 c'est en fait on écrit à au cuba élevé à la puissance 3 multiplier quatre fois par lui même donc c'est à aider à la puissance trois fois à élever à la puissance trois fois à élever à la puissance trois fois à élever à la puissance 3 là il ya au cube qu'on a multiplié 4 fois par lui même donc c'est vraiment ce que j'ai écris ici à au cube élevé à la puissance 4 est en fait maintenant on peut appliquer la propriété qu'on a vu tout à l'heure puisque c'est les est un produit de puissance d'une même base tu es toujours le nombre à qu'on élève à une certaine puissance donc je vais pouvoir additionner les exposants donc ça va être à élever à la puissance trois plus trois plus trois plus trois donc trois plus trois plus trois plus trois et ce à trois plus trois plus trois plus trois en fait c'est 4 x 3 donc c'est à élever à la puissance 3 x 4 et 3,4 ça fait douze donc c'est bien a élevé à la puissance douce voilà donc tu vois quand reportant vraiment aux définitions de ce que sont les puissances eh bien on arrive assez facilement à exprimer ce genre d'expressions là là je vais jouer on va regarder ce que c'est que par exemple x je prends un nombre x jeu l'élève à la puissance ac est un autre nombre et je multiplie sa part x élevé à la puissance b qui est encore un autre nombre alors qu'est ce que c'est que ça avait en fait c'est x élevé à la puissance a + b ça c'est ça c'est ce qu'on vient de voir ce qu'on a vu ici 1x au carré x x puissance 4 ça fait x puissance de plus 4 c'est à dire excluant 6 cents on additionne les exposants puisque c'est toujours le nombre le même nombre x qu'on élève à une certaine puissance voilà on peut écrire aussi que si je prends par exemple x que je multiplie par un nombre y et j'élève tout ça à la puissance dix ont un autre nombre à et bien ça en fait ça va être exposé à la puissance à x y élever à la puissance ah ça c'est ce qu'on a vu dans un exemple avant c'est cet exemple là j'ai pris trois fois x gellé élevé tout ça à la puissance 3 et en fait ça revient à élever 3 ^ 3 et a multiplié par x élevé à la puissance 3 donc c'est exactement ce qu'on vient de voir ici x x y le taux élevé la puissance assez x puissance à foix y puissance à alors ça c'est deux propriétés qu'on a vu ces deux là il y en a une troisième et la troisième c'est celle qu'on vient de voir ici là en fait si je prends un nombre x et que je l'élève à la puissance à et que j'élève tout ça à la puissance beckett un autre nombre et bien en fait ça revient à prendre le nombre x et elle est levée à la puissance à foix b ça c'est exactement ce qu'on a vu ici à au cube le tout à la puissance 4 ça fait à élever à la puissance 3 x 4 donc à élever à la puissance douce voilà ça c'est donc cette troisième propriété qu'on a vu tout à l'heure alors maintenant on va faire des exemples qui vont mêler un peu ces trois propriétés là alors je vais remonter un petit peu ça on va garder ses propriétés ici pour s'en servir donc ça c'est les propriétés qu'on a vu ici et on va les appliquer ici pour faire un exemple beaucoup plus compliqué enfin plus compliqué en tout cas alors je vais avec des expressions algébrique 1 je vais prendre une expression algébrique celle là alors je vais l'écrire ici deux ils ont 2 x x y élever à la puissance 2 que je vais x - x au carré x y élevée au carré que je multiplie encore par disons 3 x au carré x y au carré voilà on va essayer de simplifier sa est d'écrire ça d'une manière beaucoup plus condensée peut-être que la meilleure façon de commencer c'est de s'occuper des termes il ya des signes - donc ici on va on va déjà regardé ce que ce que vaut ce terme là ici donc déjà quand on a moins x au carré fois y en fait c'est la même chose que dire qu'on a moins un poids x au carré x y alors je vais m'occuper de ça ici on m'a donc un produit élevé au cas élevé à la puissance 2 et quand on regarde cette propriété là on voit que ça revient à élever à la puissance de chaque terme du produit donc on va avoir en fait - 1 élevée au carré x x o car est élevée au carré x y élevée au carré voilà alors maintenant on peut essayer de simplifier sa moins élevée au carré ça fait moins 1 fois - 1 - 1 fois moins ça fait un an suite gx au carré élevé à la puissance de et ça c'est cette heure on va utiliser cette propriété là ça revient faire xlv à la puissance 2 x 2 donc xlv à la puissance 4 et puis y au carré je vais le laisser comme ça donc finalement ce terme là c'est une fois x puissance 4 x y au carré ce que je vais écrire comme ça c'est x puissance 4 x y au carré voilà donc là j'ai déjà simplifier ce terme là maintenant on va essayer de le réunir avec les autres donc je vais réécrire les autres à côté comme il était avant donc j'avais 2 x y au carré x x puissance 4 x y au carré x ce terme-là qui est 3,6 au carré fois y au carré alors maintenant pour simplifier ça en fait il faut remarquer que c'est un gars que des produits là dedans il n'y a pas de somme ou de soustraction donc finalement ce qu'on fait c'est multiplier ces prendre 2 x x x y au quart est multiplié par x puissance 4 x y au carré x 3 x x au carré x y au carré ce qui veut dire qu'en fait les parenthèses n'ont pas d'importance ici donc on peut les enlever et puisqu'on peut faire aussi c'est réécrire cette ce produit là le produit de tous ces termes dans un ordre différent puisque c'est eux que des multiplications donc l'ordre ne compte pas donc ce que je vais faire c'est que je vais réunir les termes 100 x ensemble réunir les termes avec des x ensemble et puis les termes avec des grecs ensemble je vais faire comme ça je vais commencer par les termes 100 x donc il ya ce2 qui est là je vais l'écrire ici donc j'ai deux fois il ya ce 3 qui est là donc les deux fois 3 je me suis occupé de ces deux là maintenant je vais m'occuper des termes avec des x alors il ya un hic si si ici il ya x puissance 4 et ici à ixxo carré donc je vais écrire x x x au carré non x puissance 4 pardon c'est celui qui est ici x puissance 4 x x au carré qui est celui là ensuite je vais m'occuper des termes avec des grecs c'est cela alors il ya celui là y au carré ya encore et grecs au carré là et puis y au carré là donc je vais multiplier sa part y au carré ça c'est le premier multiplier encore par y au carré ça c'est le deuxième et multiplier encore une fois par y au carré voilà alors maintenant on va voir ce qu'on peut faire donc déjà deux fois 3 ce terme-là en 2 x 3 sa c6 ensuite cette partie là avec des x x x x puissance 4 x x au carré alors pour pouvoir s'occuper de ça il faut se rappeler que x quand on a x en fait c'est x puissance 1 puisque quand on dit ici puissants saints ont dit que on prend hic c'est qu'on multiplie une fois par lui même donc ça donne effectivement x donc par exemple si tu prends deux élevé à la puissance 1 c2 multiplier une fois seulement par lui même donc ces deux si tu prends iii et v la puissance 1 c'est 3,4 élevé à la puissance un c4 et puis je fais pas 2250 élevé à la puissance 1 ça fait 2250 et du coup ici quand je dis x en fait faut se rappeler que ces x puissance 1 et du coup j'ai là produits de puissance de x donc un produit de puissance de la même base et donc je peux appliquer cette formule à et a10 sonné les exposants donc ça ça va revenir à faire je mets le multiplier ici ça va être donc x élevé à la puissance un +4 plus de la somme de ses exposants un +4 plus de voix là et pour ceux de cette partie là qui est ici la partie en y je mets le multiplier et bien je vais appliquer encore une fois la même propriété 1c y au carré faut y au carré pour y au carré c'est donc y élevait à la puissance 2 + 2 + 2 voilà alors là on a bien avancé donc finalement donc ça c'était égal à ça et ça va être égal maintenant à 6 x x alors ici on a x élevé à la puissance 1 + 4 + 2 1 + 4 + 2 ça fait 7 donc cx élevé à la puissance 7 multiplier encore par y élever à la puissance de plus de plus 2 c'est-à-dire y élever à la puissance 6 et voilà donc tu vois on a bien simplifié cette expression là simplement en utilisant ses propriétés qui sont ici alors pour terminer je voudrais te parler de quelque chose que tu connais peut-être déjà mais qui est assez intéressant c'est ce qui se passe quand on élève un nombre à la puissance 0 par exemple si je prends le nombre 7 et que je l'élève à la puissance 0 eh bien ça en fait je te le dis ça fait un set élevé à la puissance 0 ça fait 1 et de la même manière si tu prends un et que tu lèves à la puissance 0 ça fait 1 2 élevé la puissance 0 ça ferait un aussi en fait n'importe quel nombre élevé à la puissance 0 ça fait 1 sauf évidemment si tu prend 0 et que tu l'élève à la puissance 0 à ce moment là tu seras 0 mais quand tu prends un nombre non nulle et que tu l'élève à la puissance 0 tu obtiens toujours un alors je vais quand même essayer de te faire comprendre un peu pourquoi pourquoi ça marche comme ça alors ce que je vais faire c'est que ici je vais écrire l'ex les exposants je vais écrire les exposants voilà donc là je vais avoir par exemple exposants 1 l'exposant de l'exposant 3 et puis là je vais prendre le nombre 3 est sur cette ligne je vais écrire trois élevé à la puissance l'exposant du dessus donc 3 ^ 1 on l'a vu tout à l'heure c'est 3 qu'on multiplie une fois par lui même donc c'est 3-3 puissance de ces trois fois trois donc ces neuf et 3 au cub3 élevé la puissance 3 ces 9 x 3 c 27 voilà alors tu vois quand fait évidemment à chaque fois que tu augmentes l'exposant 2-1 en fait tu multiplies par trois et on peut voir ça dans l'autre sens c'est ça qui va être intéressant c'est que si tu pars de l'exposant 3 par exemple et que tu diminues l'exposant 2 1 en fait ça revient à diviser par 3 ici quand tu as trois élevé à la puissance 3 ça fait 27 quand je diminue l'exposant de 1 donc en fait je prends trois élevé à la puissance 2 eh bien j'ai j'obtiens 9 qui est égale à 27 / 3 et là c'est pareil si tu re diminuer encore l'exposant 2-1 au fait tu divise par trois en bas alors on a envie de continuer évidemment et de voir ce qui se passe quand on à l'exposant 0 eh bien c'est la même logique on a diminué l'exposant 2 1 donc on a un exposant 0 et on va diviser encore par par trois donc 3 / 3 ça fait voilà donc ça c'est une explication enfin pour te donner un pour te faire comprendre un petit peu intuitivement pourquoi est-ce qu'un nombre non nulle élevé à la puissance 0 ça fait toujours un