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Écrire un nombre dont le développement décimal est illimité et périodique sous forme d'une fraction 2

Pour écrire un nombre dont le développement décimal est illimité et périodique sous forme d'une fraction, on le multiplie par une puissance de 10 pour décaler la période avant la virgule et de soustraire le nombre de départ. Par exemple, si x = 3,257257257..., alors 1 000x = 3 257,257257... et 1 000x-x=999x = 3 257. On obtient x = 3 257/999. La fraction obtenue peut être simplifiée. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a vu comment exprimer sous forme de fractions un membre avec une décimale qui se répètent à l'infini et bien dans celle ci on va s'attaquer une forme un petit peu plus intéressante on a plusieurs décimales qui se répète c'est à dire on à 0,36 et c'est maintenant le 3l 6 qui se répète l'un 0,3 6 3 6 3 6 et cette séquence se répète à l'infini de la même manière on pose x est égal à cette valeur est la clé pour s'en sortir dans ce cas de figure ça va être non pas de multiplier par 10 mai par sens puisque en effet on veut décalée de deux positions la virgule de manière à ce que quand on aligne les deux valeurs la partie répété sa ligne c'est à dire on va faire 100 x est égal à l'heure si on décale de deux positions cette virgule elle arrive ici et ça nous donne 36,3 6 3 6 3 6 jusqu'à l'infini et maintenant on peut déduire x si je fais moins x ici et ici moins 0,3 6 3 6 3 6 je suis bien attention à aligner les virgules eh bien je vois que tout de suite j'ai aligné sept parties répéter ici de quand je fais cette soustraction je me retrouve avec 99 x est égal à g annulé cette partie répété me reste plus que 36 donc là je peux terminer la résolution en divisant par 99 des deux côtés et j'obtiens ici ça se simplifient j'obtiens x est égale à 36 sur 99 et sa 36 ans 99 et bien ils ont un multiple comme inquiets 9,36 vie / 9 ça fait 4 99 / 9 ça fait 11 et donc 0 3 6-3 6-3 6-3 6-7 égal à 4/11 mais on peut aussi tomber sur des cas où toutes les décimales ne se répète pas par exemple 0,7 1,4 avec ici seulement le 1 et le 4 qui se répètent le 7 n'est pas inclus sous la barre ça veut dire 0,7 un 4 1 4 1 4 et c'est juste un a4 qui se répètent à l'infini de la même manière on pose x est égal à cette valeur mais attention il faut pas se laisser avoir on va pas multiplier par 1000 pour décaler de trois unités ce qu'on a que deux chiffres qui se répète il va falloir décalé uniquement de deux unités pour garantir l'alignement en effet si on pose ici 100 x est égal à on décale 7,2 deux positions pour arriver ici et on à 71,4 un 4-1-4-1 cadre du coup quand on fait la soustraction si on déduit ici x est ici 0,7 un 4 1 4 1 4 on a bien aligné ici c'est décimales et on peut effectuer ici sans - x a fait 99 x ici 71,4 un 4 1 4 1 4 - 0 7 1 4 1 4 1 4 tout ça ça s'annule et on peut poser cette soustraction s'être doté de 14 ça fait 7 je prends la retenue ici un hôte et 2 1 ça fait 0 j'avais ce le 799 x est égal à 70,7 je peux maintenant continuer en divisant par le coefficient 99 de chaque côté alors là ça peut paraître un peu bizarre parce qu'on a encore un noir virgule dans notre action mais on va résoudre ce problème là un peu plus tard ici on simplifie y reste x est égal à 70,7 sur 99 eh bien on peut multiplier par dix en haut et en bas c'est exactement le même résultat qu'on peut écrire 60 707 sur 980 10 et voilà alors faisant encore 1 ou cette fois on aurait 3,2 5 7 et 2 5 7 qui se répète ça c'est à nouveau x et cette fois comme la 3g qui se répète eh bien on veut effectivement x 1000 donc on aurait 1000 x est égal à donc là on dit on décale de 3 3250 7,2 5,7 de 500 2,5 net de 5,7 et la méthode ne change pas on enlève ix déjà de chaque côté attention à bien un dîner encore une fois on a tout de suite notre répétition qui s'alignent et on peut poursuivre par donc mille -1 milices - 1 x ça fait 900 99 x est égal à ici on annule les partis réputés et on a tout simplement 3257 -3 mais ça fait trois mille deux cent cinquante quatre on peut diviser par le coefficient 2 999 de chaque côté je divise par 2 189 de chaque côté pour pouvoir simplifier ici et avoir x est égal à 3250 4 sur 9 199 c'est une réponse correcte mais on a ici un nombre sur faction on a le numérateur qui est plus grand que le dénominateur effectivement c'est logique on partait de 3,2 quelque chose donc on a un nombre qui est plus grand que 1 on aurait pu essayer de trouver quelle était la fraction correspondant à 0,2 5,7 de 5,7 de 5,7 mais on peut partir d'ici et faire la division donc le faire à des visions 3254 / 999 donc là je sais déjà que ça fait trois fois puisque je parle de 3 quelque chose donc trois fois qu'est ce que ça donne 3 x 9 27 restent deux trois fois de 9,27 maintenant 29 3 x 9 27 et 2,29 à nouveau je fais cette division et je vais pouvoir trouver le reste cette eau t au t2 14 il reste sept jabès le 1 ça me fait 10 au t2 15 il me reste cinq jabès encore la retenue ça fait 10 au t2 12 il reste deux et je transfère la russie 3 3 il reste 0 et c'est grâce à ce reste que je peux écrire ici il est égal à 3 et 257 sur 999 voilà c'est la même méthode à chaque fois il faut simplement faire bien attention à aligner les parties répéter