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4e primaire
Cours : 4e primaire > Chapitre 1
Leçon 5: Diviseurs et multiplesDiviseurs et multiples
Comprendre les notions de diviseur et de multiple et ce qui les relie.
Facteurs d'un produit
"Le nombre a est un diviseur du nombre b" si b est divisible par a, c'est-à-dire si le quotient de b par a est un nombre entier.
Une représentation graphique des diviseurs d'un nombre
On prend l'exemple du nombre 12.
Pour représenter 12 on peut faire start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 ligne de start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 points.
start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12
On peut aussi faire start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff lignes de start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff points.
start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12
start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12
On peut aussi faire start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff lignes de start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff points.
start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12
Ou start color #f9685d, 3, end color #f9685d lignes de start color #f9685d, 4, end color #f9685d points.
start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12
start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12
Il n'y a pas d'autres possibilités. On en déduit que 12 possède 6 diviseurs.
Les diviseurs de 12 sont start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, start color #f9685d, 3, end color #f9685d et start color #f9685d, 4, end color #f9685d.
Pour représenter 12, on aurait pu faire une ligne de start color #1fab54, 5, end color #1fab54 points et une ligne de start color #e07d10, 7, end color #e07d10 points. Alors, start color #1fab54, 5, end color #1fab54 et start color #e07d10, 7, end color #e07d10 sont-ils aussi des diviseurs de 12, space, question mark
Non. start color #1fab54, 5, end color #1fab54 et start color #e07d10, 7, end color #e07d10 ne sont pas des diviseurs de 12 car les lignes ne sont pas de la même taille.
Déterminer les diviseurs d'un nombre sans passer par une représentation graphique
Par exemple, pour savoir si un nombre est un diviseur de 16 on peut faire la division.
start color #11accd, 1, end color #11accd est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par start color #11accd, 1, end color #11accd est un nombre entier.
16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
Et on voit que le quotient de 16 par 16 est 1 donc start color #11accd, 16, end color #11accd est aussi un diviseur de 16.
16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
Et on voit que le quotient de 16 par 16 est 1 donc start color #11accd, 16, end color #11accd est aussi un diviseur de 16.
start color #1fab54, 2, end color #1fab54 est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par start color #1fab54, 2, end color #1fab54 est un nombre entier.
16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
Et on voit que le quotient de 16 par 8 est 2 donc start color #1fab54, 8, end color #1fab54 est aussi un diviseur de 16.
16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
Et on voit que le quotient de 16 par 8 est 2 donc start color #1fab54, 8, end color #1fab54 est aussi un diviseur de 16.
start color #7854ab, 4, end color #7854ab est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par start color #7854ab, 4, end color #7854ab est un nombre entier.
16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
Et le quotient de 16 par 4 est start color #7854ab, 4, end color #7854ab donc dans ce cas-là on ne trouve pas un nouveau diviseur de 16.
16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
Et le quotient de 16 par 4 est start color #7854ab, 4, end color #7854ab donc dans ce cas-là on ne trouve pas un nouveau diviseur de 16.
Les diviseurs de 16 sont start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54 et start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
3 et 5 ne sont pas des diviseurs de 16 car ni le quotient de la division de 16 par 3, ni celui de 16 par 5 n'est un nombre entier.
À retenir sur les diviseurs
Tout nombre est divisible par 1.
1 est un diviseur de 10.
1 est un diviseur de 364.
1 est un diviseur de 5, space, 787.
1 est un diviseur de 364.
1 est un diviseur de 5, space, 787.
Et tout nombre est divisible par lui même.
41 est un diviseur de 41.
128 est un diviseur de 128.
4, space, 379 est un diviseur de 4, space, 379.
128 est un diviseur de 128.
4, space, 379 est un diviseur de 4, space, 379.
Les diviseurs vont par paire
Si le nombre a est un diviseur du nombre b, alors b est le produit de a par un troisième nombre c : b, equals, a, ×, c. Donc c est aussi un diviseur de b. On dit que a et c forment une paire de diviseurs de b. Par exemple, 8, equals, start color #7854ab, 1, end color #7854ab times start color #7854ab, 8, end color #7854ab et 8, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 times start color #1fab54, 4, end color #1fab54, donc 8 a deux paires de diviseurs, la paire start color #7854ab, 1, end color #7854ab et start color #7854ab, 8, end color #7854ab et la paire start color #1fab54, 2, end color #1fab54 et start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Quand on utilise les représentations graphiques, on voit bien que les diviseurs vont par paire. L'un des nombres de la paire est le nombre de lignes, l'autre est le nombre de points par ligne.
On en déduit une méthode pour trouver tous les diviseurs d'un nombre. On prend l'exemple du nombre 20.
On commence par start color #11accd, 1, end color #11accd car start color #11accd, 1, end color #11accd divise tous les nombres.
start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd, equals, 20 donc start color #11accd, 20, end color #11accd est aussi un diviseur de 20. 1 est le plus petit diviseur de 20 et 20 est le plus grand. 1 sera le premier de la liste des diviseurs et 20 sera le dernier. On les écrit suffisamment écartés pour intercaler les autres diviseurs entre les deux.
start color #11accd, 1, end color #11accd | start color #11accd, 20, end color #11accd |
On teste si le suivant, 2, est un diviseur de 20.
20 est-il divisible par start color #1fab54, 2, end color #1fab54, space, question mark Oui, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. Donc start color #1fab54, 2, end color #1fab54 et start color #1fab54, 10, end color #1fab54 sont deux autres diviseurs de 20.
start color #11accd, 1, end color #11accd | start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | start color #1fab54, 10, end color #1fab54 | start color #11accd, 20, end color #11accd |
On teste si le suivant, 3, est un diviseur de 20. 20 est-il divisible par 3, space, question mark Non car 3, ×, 6, equals, 18 et 3, ×, 7, equals, 21. Donc 3 n'est pas un diviseur de 20.
On continue avec le suivant : 20 est divisible par start color #e84d39, 4, end color #e84d39 car start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. Et on obtient une nouvelle paire de diviseurs : start color #e84d39, 4, end color #e84d39 et start color #e84d39, 5, end color #e84d39.
start color #11accd, 1, end color #11accd | start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | start color #e84d39, 4, end color #e84d39 | start color #e84d39, 5, end color #e84d39 | start color #1fab54, 10, end color #1fab54 | start color #11accd, 20, end color #11accd |
Le nombre suivant est 5 et il est déjà dans la liste. On peut donc s'arrêter là, on a trouvé toutes les paires de diviseurs de 20.
Les multiples d'un nombre
"Le nombre b est un multiple du nombre a", si b est le produit de a par un nombre entier. Les quatre premiers multiples de start color #6495ed, 3, end color #6495ed sont 3, comma, 6, comma, 9 et 12 car :
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 1, equals, 3
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 2, equals, 6
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 3, equals, 9
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 4, equals, 12
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 2, equals, 6
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 3, equals, 9
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 4, equals, 12
15, comma, 30 et 300, par exemple, sont aussi des multiples de start color #6495ed, 3, end color #6495ed :
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 5, equals, 15
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 10, equals, 30
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 100, equals, 300
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 10, equals, 30
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 100, equals, 300
On ne peut pas faire la liste de tous les multiples d'un nombre car elle est infinie.
Exercices d'application
Le premier multiple d'un nombre est lui-même.
7, times, 1, equals, 7.
7, times, 1, equals, 7.
Voici le début de la liste des multiples de 4.
Deux nombres ont été effacés dans cette liste des sept premiers multiples de 8.
Représenter les multiples d'un nombre
Voici des représentations graphiques de multiples de 4.
4, times, 1, equals, 4
4, times, 2, equals, 8
4, times, 3, equals, 12
On veut représenter le multiple suivant.
Quel est le lien entre diviseur et multiple ?
start color #e07d10, 4, end color #e07d10 et start color #1fab54, 7, end color #1fab54 sont des diviseurs de start color #11accd, 28, end color #11accd car 4, ×, 7, equals, start color #11accd, 28, end color #11accd.
start color #11accd, 28, end color #11accd est un multiple de start color #e07d10, 4, end color #e07d10 et aussi un multiple de start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
S'entraîner à trouver des diviseurs et des multiples
On sait que 9, times, 6, equals, 54
Deux exercices
Les dimensions d'un rectangle sont des diviseurs de son aire.
L'aire d'un rectangle est égale à 50, start text, space, c, m, end text, squared .
Monsieur Trimble a apporté 36 bonbons pour ses élèves.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
- merci mais pourquoi vous représentez les multiples avec des coccinelles ou des points. Même si j'ai compris, je ne trouve pas la raison...(0 vote)