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4e primaire

Cours : 4e primaire > Chapitre 1 

Leçon 5: Diviseurs et multiples
Mathématiques
4e primaire
Nombres
Diviseurs et multiples
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Diviseurs et multiples

Google Classroom
Comprendre les notions de diviseur et de multiple et ce qui les relie.

Facteurs d'un produit

"Le nombre a est un diviseur du nombre b" si b est divisible par a, c'est-à-dire si le quotient de b par a est un nombre entier.

Une représentation graphique des diviseurs d'un nombre

On prend l'exemple du nombre 12.
Pour représenter 12 on peut faire start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 ligne de start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 points.
start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12

On peut aussi faire start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff lignes de start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff points.
start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12
Ou start color #f9685d, 3, end color #f9685d lignes de start color #f9685d, 4, end color #f9685d points.
start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12
Il n'y a pas d'autres possibilités. On en déduit que 12 possède 6 diviseurs.
Les diviseurs de 12 sont start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, start color #f9685d, 3, end color #f9685d et start color #f9685d, 4, end color #f9685d.
Pour représenter 12, on aurait pu faire une ligne de start color #1fab54, 5, end color #1fab54 points et une ligne de start color #e07d10, 7, end color #e07d10 points. Alors, start color #1fab54, 5, end color #1fab54 et start color #e07d10, 7, end color #e07d10 sont-ils aussi des diviseurs de 12, space, question mark

Non. start color #1fab54, 5, end color #1fab54 et start color #e07d10, 7, end color #e07d10 ne sont pas des diviseurs de 12 car les lignes ne sont pas de la même taille.
On peut représenter 18 avec :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Donc les diviseurs de 18 sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Déterminer les diviseurs d'un nombre sans passer par une représentation graphique

Par exemple, pour savoir si un nombre est un diviseur de 16 on peut faire la division.
start color #11accd, 1, end color #11accd est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par start color #11accd, 1, end color #11accd est un nombre entier.
16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
Et on voit que le quotient de 16 par 16 est 1 donc start color #11accd, 16, end color #11accd est aussi un diviseur de 16.
start color #1fab54, 2, end color #1fab54 est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par start color #1fab54, 2, end color #1fab54 est un nombre entier.
16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
Et on voit que le quotient de 16 par 8 est 2 donc start color #1fab54, 8, end color #1fab54 est aussi un diviseur de 16.
start color #7854ab, 4, end color #7854ab est un diviseur de 16 car le quotient de 16 par start color #7854ab, 4, end color #7854ab est un nombre entier.
16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
Et le quotient de 16 par 4 est start color #7854ab, 4, end color #7854ab donc dans ce cas-là on ne trouve pas un nouveau diviseur de 16.
Les diviseurs de 16 sont start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54 et start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
3 et 5 ne sont pas des diviseurs de 16 car ni le quotient de la division de 16 par 3, ni celui de 16 par 5 n'est un nombre entier.
Faire les divisions et en déduire les diviseurs de 35.
diviseur
N'est pas un diviseur
1
2
3
5
7
35

À retenir sur les diviseurs

Tout nombre est divisible par 1.
1 est un diviseur de 10.
1 est un diviseur de 364.
1 est un diviseur de 5, space, 787.
Et tout nombre est divisible par lui même.
41 est un diviseur de 41.
128 est un diviseur de 128.
4, space, 379 est un diviseur de 4, space, 379.

Les diviseurs vont par paire

Si le nombre a est un diviseur du nombre b, alors b est le produit de a par un troisième nombre c : b, equals, a, ×, c. Donc c est aussi un diviseur de b. On dit que a et c forment une paire de diviseurs de b. Par exemple, 8, equals, start color #7854ab, 1, end color #7854ab times start color #7854ab, 8, end color #7854ab et 8, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 times start color #1fab54, 4, end color #1fab54, donc 8 a deux paires de diviseurs, la paire start color #7854ab, 1, end color #7854ab et start color #7854ab, 8, end color #7854ab et la paire start color #1fab54, 2, end color #1fab54 et start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Quand on utilise les représentations graphiques, on voit bien que les diviseurs vont par paire. L'un des nombres de la paire est le nombre de lignes, l'autre est le nombre de points par ligne.

On en déduit une méthode pour trouver tous les diviseurs d'un nombre. On prend l'exemple du nombre 20.
On commence par start color #11accd, 1, end color #11accd car start color #11accd, 1, end color #11accd divise tous les nombres. start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd, equals, 20 donc start color #11accd, 20, end color #11accd est aussi un diviseur de 20. 1 est le plus petit diviseur de 20 et 20 est le plus grand. 1 sera le premier de la liste des diviseurs et 20 sera le dernier. On les écrit suffisamment écartés pour intercaler les autres diviseurs entre les deux.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #11accd, 20, end color #11accd
On teste si le suivant, 2, est un diviseur de 20.
20 est-il divisible par start color #1fab54, 2, end color #1fab54, space, question mark Oui, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. Donc start color #1fab54, 2, end color #1fab54 et start color #1fab54, 10, end color #1fab54 sont deux autres diviseurs de 20.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #1fab54, 2, end color #1fab54start color #1fab54, 10, end color #1fab54start color #11accd, 20, end color #11accd
On teste si le suivant, 3, est un diviseur de 20. 20 est-il divisible par 3, space, question mark Non car 3, ×, 6, equals, 18 et 3, ×, 7, equals, 21. Donc 3 n'est pas un diviseur de 20.
On continue avec le suivant : 20 est divisible par start color #e84d39, 4, end color #e84d39 car start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. Et on obtient une nouvelle paire de diviseurs : start color #e84d39, 4, end color #e84d39 et start color #e84d39, 5, end color #e84d39.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #1fab54, 2, end color #1fab54start color #e84d39, 4, end color #e84d39start color #e84d39, 5, end color #e84d39start color #1fab54, 10, end color #1fab54start color #11accd, 20, end color #11accd
Le nombre suivant est 5 et il est déjà dans la liste. On peut donc s'arrêter là, on a trouvé toutes les paires de diviseurs de 20.
Mettre les nombres de la deuxième colonne dans le bon ordre pour obtenir la liste des paires de diviseurs de 40.
1

Les multiples d'un nombre

"Le nombre b est un multiple du nombre a", si b est le produit de a par un nombre entier. Les quatre premiers multiples de start color #6495ed, 3, end color #6495ed sont 3, comma, 6, comma, 9 et 12 car :
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 1, equals, 3
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 2, equals, 6
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 3, equals, 9
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 4, equals, 12
15, comma, 30 et 300, par exemple, sont aussi des multiples de start color #6495ed, 3, end color #6495ed :
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 5, equals, 15
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 10, equals, 30
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 100, equals, 300
On ne peut pas faire la liste de tous les multiples d'un nombre car elle est infinie.

Exercices d'application

Le premier multiple d'un nombre est lui-même.
7, times, 1, equals, 7.
Les deux multiples suivants de 7 sont :
7, times, 2, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7, times, 3, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Voici le début de la liste des multiples de 4.
4, comma, 8, comma, 12, comma, 16, comma, point, point, point
Le multiple suivant est :
Choisissez une seule réponse :

Deux nombres ont été effacés dans cette liste des sept premiers multiples de 8.
Retrouver les deux multiples qui ont été effacés.
8, comma, 16,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
, 32, comma, 40, comma, 48,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
...

Lesquels de ces nombres sont des multiples de 6, space, question mark
Choisissez toutes les réponses possibles :

Représenter les multiples d'un nombre

Voici des représentations graphiques de multiples de 4.
4, times, 1, equals, 4
4, times, 2, equals, 8
4, times, 3, equals, 12
On veut représenter le multiple suivant.
Combien y aura-t-il de coccinelles ?
Il y aura
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
coccinelles.

Quel est le lien entre diviseur et multiple ?

start color #e07d10, 4, end color #e07d10 et start color #1fab54, 7, end color #1fab54 sont des diviseurs de start color #11accd, 28, end color #11accd car 4, ×, 7, equals, start color #11accd, 28, end color #11accd.
start color #11accd, 28, end color #11accd est un multiple de start color #e07d10, 4, end color #e07d10 et aussi un multiple de start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
Compléter les phrases avec les nombres 32 et 4.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
est un diviseur de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
est un multiple de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

S'entraîner à trouver des diviseurs et des multiples

Lesquels de ces nombres sont des diviseurs de 10, space, question mark
Choisissez toutes les réponses possibles :

Lesquels de ces nombres sont des multiples de 10, space, question mark
Choisissez toutes les réponses possibles :

On sait que 9, times, 6, equals, 54
Quelles sont les propositions vraies ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

Deux exercices

Les dimensions d'un rectangle sont des diviseurs de son aire.
L'aire d'un rectangle est égale à 50, start text, space, c, m, end text, squared .
Ses dimensions peuvent être :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Monsieur Trimble a apporté 36 bonbons pour ses élèves.
S'il fait 3 rangées de bonbons, il y aura
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
bonbons par rangée.
S'il fait
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
rangées de bonbons, il y aura 4 bonbons par rangée.

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  • scuttlebug blue style l'avatar de l’utilisateur courento
    Posté il y a il y a 3 ans. Lien direct vers le message de courento «merci mais pourquoi vous ... »
    merci mais pourquoi vous représentez les multiples avec des coccinelles ou des points. Même si j'ai compris, je ne trouve pas la raison...
    (0 vote)
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