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Transcription de la vidéo

utiliser la forme canonique pour déterminer la ou les racines du polynôme p 2 x égale 4 x o car est plus 40 x plus de 180 alors ce qu'on nous demande se donne en fait c'est de déterminer les racines d'un polynôme les racines des polynômes et ça je te rappelle ça veut dire qu'on cherche les valeurs de la variable ici x pour lesquels la valeur de paix sera égal à zéro donc ça on peut l'écrire 1 ça veut dire qu'on cherche les valeurs x de la variable tels que tel que p 2 x soit égal à zéro là donc c'est les valeurs qui annule notre polynôme donc ce sont les solutions de l'équation p 2 x égal à zéro on va l'écrire cette équation du coup c'est 4x au carré plus 40 x +281 et ça ça doit être égale à zéro voilà ça c'est l'équation qu'on doit réussir à résoudre alors ici j'ai mis un pur yale mais en fait je sais pas encore s'il y aura une racine ou de racine et peut-être qu'il n'aura aucune d'ailleurs au maximum il y en a deux mais il se peut très bien qu'il y ait aussi aucune racine réel de cette équation donc aucune valeur réelle de la variable x qui vérifie cette équation alors comme d'habitude on va commencer par simplifier un peu cette expression là puisque ici le coefficient de plus haut degré ses quatre et on va factoriser ce coefficient pour ceux ramenés un polynôme ou le coefficient de plus haut degré tes gars là donc je vais factoriser 4 et j'obtiens 4 x x au carré plus 40 x / 4 ça me donne 10 x +281 divisé par quatre alors 28 / 4 ça fait 7 donc 280 / 4 ça fait soixante dix et ça ça doit être égale à zéro donc on peut ici dit viser des deux côtés par quatre et on obtient x au carré plus 10x plus 70 ce qui doit être égale à 0 / 4 c'est-à-dire 0 alors ici c'est pas 10 et 10 x alors maintenant on va utiliser la forme canonique c'est à dire qu'on va essayer de reconnaître dans cette partie là x au carré plus 10 x le début d'un carré alors comment est ce que ça marche ça eh bien on va se concentrer sur ce disque est là qu est le double produit ce nombre 10 qui est ici on va prendre la moitié de ce 10 et on va regarder ce polynôme la x +55 étant la moitié de 10 élevée au carré alors x + 5 élevée au carré cx au carré + 2 x 5 x + 5 au carré et donc c'est x au carré plus 10x plus 5 élevée au carré c'est à dire 25 voilà c'est une identité remarquable mais ce que tu peut remarquer c'est que du coup ce terme là x o car est plus 10 x on le retrouve ici et donc finalement ça me donne que x o car est plus 10x et bien c'est x + 5 le tout est élevée au carré - 25 là j'ai simplement sous stress 25 go de membres de cette égalité alors maintenant je peux remplacer x au carré plus 10x par cette expression là et donc j'obtiens x + 5 élevée au carré - 25 + 70 qu'il faut pas oublier et ça ça doit être égale à zéro voilà j insiste sur le fait que j'ai simplement remplacé x o car est plus 10 x par cette expression là qui est tout à fait juste puisque x au carré plus 10x et le début de xx +5 élevée au carré alors maintenant je vais simplifier cette expression et j'obtiens x + 5 élevée au carré plus soixante dix mois 25 alors 70 moins 20 ça fait cinquante -5 encore j'obtiens donc plus 45 et tout ça ça doit être égale à zéro alors bon ça te paraît peut-être compliqué tout ça effectivement on aurait pu peut-être résoudre cette équation laon d'une autre manière en factories ans d'une autre manière mais l'important c'est que la méthode qu'on était en train d'employés ici en passant par la forme canonique ce qu'on appelle la forme canonique d'un polynôme et bien elle marchera toujours même quand on a un polynôme avec des coefficients très très compliqué voilà donc c'est vraiment important alors on reprend là où on en est on cherche donc les solutions de l'équation x + 5 élevée au carré +45 égal à zéro alors ici on peut déjà examiné un petit peu cette expression je prends n'importe quel nombre j'ajoute cinq jeux l'élève au carré ça me donne un nombre positif et si j'ajoute encore 45 et bien je vais avoir un nombre qui sera encore plus positif qui sera de toute façon positive donc forcément non nul au fret il sera forcément plus grand que 45 ce qui veut dire que pour tous nombre réel x cette expression là est toujours différente 0 donc l'équation qui hélas n'a aucune solution réelle on peut voir aussi autrement si tu veux je peux écrire comme ça si je retranche 45 des deux côtés je l'obtiens x + 5 élevée au carré égal zéro au moins 45 c'est à dire moins 45 et là tu serais peut-être tenté de prendre la racine carrée des deux côtés donc d'écrire que racine carrée de x + 5 élevée au carré d'as a du sens est égale racine carrée de -45 et là par contre c'est tu dois ticket parce que prendre la racine carrée d'un nombre négatif ça n'est pas possible dans l'ensemble des nombreux réel donc ça c'est pas possible à faire ici et ça veut dire ici que le polynôme paix le polynôme paix n'a pas de racines réel alors dans ce cas de figure effectivement cette forme canonique est extrêmement utile parce que si tu et été lancés dans une fac terrorisation de ce polynôme là tu aurais peut-être tâtonner pendant très longtemps sans trouver de factorisation mais ça n'aurait pas permis de dire que le polynôme n'a effectivement aucune racine réel voilà donc c'est vraiment très très importants comme technique est bon je précise aussi que je parle de racine réel parce que tu verras plus tard dans ta carrière de mathématiciens qui lie à d'autres types de nombre qu'on appelle des nombres complexes et si on considère non pas des valeurs réelles de x mais des valeurs complexe et bien le polynôme paix lui il aura de toute façon deux racines complexe en tout cas ici comme tu vois ce qui est important c'est qu'on a une méthode algébrique donc mécanique qui permet de démontrer que ce polynôme n'a aucune racine réel