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Factoriser un trinôme du second degré de 2 variables

Transcription de la vidéo

maintenant on a déjà vu pas mal de techniques pour factoriser un paulino du second degré alors par exemple si on veut factoriser cette expression la xk ray + 4 x - 5 on a vu que on pouvait essayer de chercher deux nombres a et b tel que le produit est égal à ce que ce coefficient constant ici -5 et la somme de faire quatre voilà on cherche de nombre a et b tel que le produit fait moins 5 et la somme fait quatre alors comme -5 et négatifs en fait les deux nombres a et b doivent avoir des signaux poser des signes contraires et puis aussi est-ce qu'on peut remarquer c'est que 5 est un nombre premier donc il n'y a que deux possibilités 1 c'est simplement ça peut être moins 1 et 5 moins 1 fois 5 le produit fait bien moins 5 et puis l'autre possibilité c'est que ça soit 1 et -5 là le produit fera aussi moins 5 alors maintenant on va regarder la somme alors ici quand on fait moins un plus cinq mais on trouve 4 donc ça ça marche dans cette possibilité là est possible puisque la somme fait bien quatre par contre celle là ne marche pas puisque quand on fait un plus - 5 c'est à dire un mois cinq on trouve moins quatre donc ça ça marche pas alors du coup on va retenir cette possibilité là ici et on va en déduire la factorisation du polynôme alors bon je vais prendre des couleurs soient plus simples on puisse garder trace de ces nombreux la sas et -1 et puis l'autre on va les créances on va le garder en violet alors du coup je vais pouvoir écrire mon polinum de cette manière là ça va être x - alors je vais faire je vais écrire déjà les parenthèses pendant x -1 et x x + 5 x + 5 voilà donc ça c'est la pact factorisation de ce polynôme on peut facilement vérifier ainsi on redéveloppe tout ça avec la propriété distributive it et on va voir x x x à félix au carré - + 5 x x moins une fois x donc on aura nos 4 x et puis moins une fois 5 c'est à dire no - st bon ça c'est pour nous c'est de la révision alors maintenant on va faire quelque chose d'un peu plus intéressant un peu différent on va essayer de factoriser cette expression la xe au carré + 4 x y - 5 y au carré voilà bon alors ça au premier regard ça peut paraître un peu effrayant parce que il ya des y on a rajouté un y/y au carré enfin ça a l'air beaucoup plus compliqué que ce qu'on a fait tout à l'heure mais en fait il faut garder la tête froide c'est vraiment important de garder la tête froide et de se rendre compte que on n'a pas fondamentalement changé grand chose qu'on introduisant cette deuxième variable y bon avant de commencer ça serait bien que tu mettes la vidéo sur pause et que tu essaies de te débrouiller un petit peu tout seul de ton côté puis après on verra ça ensemble alors en fait le premier petit truc qu'on peut essayer de faire c'est de remarquer que ici j'ai écrit x/y j'écris d'abord x et après y ça c'est parce que par habitude j'ai écrit les choses dans l'ordre alphabétique mais je pourrais leur écrire comme ça hein je pourrais écrire comme saïx carey +4 y x -5 y au carré là j'ai juste échangé grecque et x1 j'ai juste écrit y d'abord et ensuite ix bon c'est pas complètement anodin parce que là en fait ce qu'on peut remarquer c'est que du coup avec cette façon d'écrire on peut se dire que ce 4 y là c'est le coefficient des x et que là le moins cinq y eh ben c'est le terme constant et donc finalement on peut se ramener aux cas précédents simplement fin aux cas d'un d'un trinôme de seconde de second degré avec un premier coefficient qui est égal à 1 et on peut du coup faire comme tout à l'heure c'est à dire qu'on va chercher de nombre dont le produit sera égal à ce terme là et le la somme sera égal au coefficient dx est donc là bon je vais l'écrire mais on cherche donc deux nombres a et b en fait ça sera pas des nombres complètement ce sera des nombres qui vont dépendre de la variable y on va donc chercher deux expressions cette fois ci deux expressions fonction de y qui vont dont le produit fera moins cinq y au carré et la somme sera 4 y alors pour avoir un produit de -5 y au carré je peux déjà dire que la première expression c y et la deuxième c'est moins cinq y ait là effectivement si je fais le produit des deux j'obtiens -5 y au carré donc ça ça m'a et je peux regarder la somme la somme sera safra y -5 y ça fera moins quatre y donc ça ne marche pas puisque nous on voudrait que la somme phase iv y alors maintenant je vais voir ce qui se passe quand on échange les signes donc je vais regarder avec moins - y et puis 5 y là quand je fais le produit j'ai moins y x 5 y c'est à dire moins cinq y au carré ça marche aussi est par contre là quand je fais la somme g5y - y c'est à dire 4 y donc là on est bon c'est effectivement les deux les deux expressions qui vont nous servir pour factoriser alors du coup on va pouvoir réécrire notre polinum de cette manière là alors d'abord x - le premier terme qui est celui là donc - y je vais prendre des couleurs pour ce pour bien les différencier donc ça je vais le mettre en verre et puis le 5 y jeu le maître en rouge voilà donc on a x - y facteur de j'ouvre la parenthèse x plus le deuxième terme qui est 5 y x + 5 y voit la sacema factorisation de l'expression du départ de départ xo carey +4 xy -5 y au carré je vais factoriser de cette manière là et puis comme d'habitude je peux vérifier que je me suis pas trompé en redéveloppant cette expression on va le faire on va vérifier un pur pour être sûr que ça marche bien alors je vais remonter un peu tout ça donc je vais commencer par multiplier ces deux termes j'ai x x x donc ça c'est x au carré ensuite je vais prendre x x 5 y donc ça me fait plus 5 x y ensuite je vais faire moins y x x donc ça ça me fait moins y x et puis enfin j'ai le dernier terme qui va être moins y x 5 y donc moins cinq y au carré voilà donc la gc 4 terme dans ce que je peux faire c'est réunir les deux ces deux là alors c'est pas forcément évident parce que là on a 5 x y et puis la ligue - y x mais bon on peut se rendre compte que y x et x y c'est la même chose donc ça on peut l'écrire comme ça c'est 5 y x - y x donc là j'ai cinq fois y x puis j'enlève une fois y x donc finalement je me retrouve avec quatre y x voilà et puis évidemment j'ai mon x 10 x au carré ici xo carey dont +4 y x -5 y au carré voilà et donc on retrouve bien l'expression de départ