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Racines d'un polynôme et points d'intersection de sa courbe représentative et de l'axe des abscisses

Transcription de la vidéo

on te demande de trouver les racines de ce polinum et d'en déduire les points d'intersection entre la courbe représentatifs de ceux polinum et l'accès apsys alors rappelons ce que ça veut dire trouver les racines d'un polinum il s'agit de résoudre l'équation p 2 x est égal à zéro et tous les x qui vérifie cette équation sont des racines du polynôme p 2 x et ça veut dire que pour ces x là et bien là courbe passe par l'axé des abscisses donc pour résoudre pdx est égal à zéro la forme développée ne veut pas beaucoup m'aider donc il s'agit de factoriser 7 ce polynôme du cinquième degré et pour cela on n'a pas de méthode systématique mais on va aller on va essayer de facteurs et tant qu'on peut intuitivement et avec notre bon sens et on va voir où ça nous mène alors pdx égal 0 ça veut dire que 2 x puis 105 plus expérience 4 - 2 x - 1 est égal à zéro alors qu'elle factorisation est-ce que je peux effectuer là dessus je vois qu'il ya un facteur commun entre deux expulsions cinq ex puissance 4 c'est justement x puissance 4 donc ça c'est un premier choix est entre deux expulsions 5 et - 2 x la ja le 2x qui est en commun entre les deux bon je vais opérer un groupement le premier que j'ai auquel j'ai pensé de factoriser par ex puissance 4 ici on a le choix entre les deux je vais prendre cela au hasard donc si je factory x puissance 4 par expérience 4 j'obtiens ici x puissance quatre facteurs de 2x plus hein tu peux vérifier que en redéveloppant on obtient bien 2 x puis 105 +6 puissance 4 et ensuite là j'ai fait apparaître 2x plus sains et je vois que à droite ici je peux aussi faire apparaître 2x plus sain comme ça j'aurai un facteur commun entre de terre mais je pourrais factoriser complètement alors ça c'est 2 x + 1 x - ans donc là on a plus - un facteur de 2 x + 1 le tout est égal à zéro donc maintenant j'ai deux termes qui ont un facteur commun qui est 2 x + 1 donc je peux factoriser par 2 x + 1 gdx plus un facteur de quoi facteur de expérience 4 - 1 donc voilà où j'en suis g2x plus un facteur 2 x 4 - 1 est égal à zéro et là ce que je peux encore faire pour factoriser encore plus c'est de me rendre compte ici que j'ai une identité remarquable du type à carré - b carré est égal à a + b fois à - b où ici j'ai le carré de x carré est ici le carré 2 1 donc je peux réussir cela comme 2x plus un facteur 2 x car et + 1 x x carré - ans le taux est égal à zéro et là une fois de plus je t'invite à vérifier que x car et + 1 x x carré - ans est bien égale à l'ex puissance 4 - 1 et donc voilà maintenant avec cette forme factoriser je peux facilement trouver les x pour lequel p 2 x est égal à zéro parce que pour avoir ce produit égal à zéro et ben j'ai trois choix soit soit 2 x + 1 est égale à 0 soit x car est plus sain est égale à 0 soit x carré - un oeil à la zéro x carré - 1 est égal à zéro donc j'ai ces trois options ce qui veut dire que soit si on résout ici chaque chacune de ces équations on obtient soit x est égal à -1 2 me j'ai soustrait un des deux côtés est divisé par deux ici x est égale donc x carré est égal à -1 ce qui nous mène à dire que x et soit égale à 10 soit à moins et donc ou ecaré est égal à -1 on sait le nombre imaginaire et ici on ax carré est égal à 1 ce qui veut dire que soit x est égal à 1 soit x est égal à -1 et voilà on a trouvé les 5 racines de notre polinum du cinquième degré donc c'est ce à quoi on s'attendait - 1/2 i - 6 1 et moins un est donc maintenant pour déduire les points d'intersection entre la courbe représentatif de payer l'accès abscisse donc je vais dessiner ici on existe on axe d y je sais que je dois m'intéressait seulement aux racines réel car les racines complexe ne donne pas d'indication sur les points d'intersection entre entre la courbe de paix et l'exercice donc là si je place mon échelle ici 1 - 1 donc je sais que ma la courbe représentatif de paix va couper l'axé des x ici en moins un car c'est une racine ici en moins un demi car c'est une autre racines et en un voilà les trois endroits où la courbe reprend 7 représentatif de paix couple axe dx est d'ailleurs si tu l'as rentrer dans ta calculette tu verras que la courbe représenter représentatif de paix effectivement ressemble à cela elle ressemble à ça voilà à peu près c'est assez y est égal à p 2 x bon très bien donc on a réussi à répondre à la question après il ya peut-être un doute qui subsiste chez toi ou tu te demandes si on avait fait un choix différent ici au lieu de factoriser par expérience 4 si on avait factoriser par 2x est ce que ça aurait marché également et bien essayons le ici dans ce petit espace et voir si on aurait réussi à résoudre l'exercice en faisant ce choix alors si je devais factoriser si j'avais pris au groupe et 2x puissant 5 et - 2 x et que j'avais factoriser par 2 x j'aurais obtenu 2 x factor 2x puissance 4 - - si on redéveloppe cdn 2x puissance 5 - 2 x qui est qu'ils sont bien ces deux termes là et donc qu'est ce qu'il me reste il me reste six puissances 4 - 1 + 6 puissance 4 - 1 est effectivement une fois de plus entre le terme de gauche et le terme de droite j'ai un facteur commun qui est puissance 4 - 1 donc je peux factoriser davantage peu factoriser par x puissance 4 - 1 et on obtient une licence iv - un facteur de 2 x + 1 et on retombe sur nos pattes effectivement 2 x + 1 x ex puissance 4 - 1 on a la même expression ici et ici donc c'est bon on aurait pu résoudre exercice de cette manière là et je rappelle la conclusion n'a trouvé les cinq racines de notre polynôme p 2 x qui sont moins un demi y moins 6 1 et moins 1 et les racines réel de p 2 x nous ont permis d'identifier les points où la courbe de p 2 x coupe l'axé des abscisses