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Résoudre une inéquation du second degré

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je voudrais qu'on essaie de résoudre une équation du second degré alors je vais te donner une inéquation du second degré celle ci par exemple xo carey + 3 x strictement supérieure à 10 c'est à dire que notre but c'est de trouver toutes les valeurs de x tel que x au carré + 3 x et supérieur strictement à 10 alors mais la vidéo sur pause et c'est de s'inspirer de ce qu'on a fait sur les équations du second degré pour résoudre cette équation alors je te rappelle que pour résoudre une équation du second degré déjà la première étape c'était de se ramener à une forme classique d'équations c'est à dire à une forme du style un polynôme à x au carré plus dx plus c'est égal à zéro ensuite à partir de là on essayait de trouver les racines de ce polynôme pour factoriser le polynôme de cette manière là on avait quelque chose on obtenait quelque chose comme ça un facteur 2 x - la première racine facteur 2 x - la deuxième racines que j'appelle x2 et donc voilà on obtenait cette nouvelle équation non utilisés ensuite le fait qu'un produit de nombre ne pouvait être égal à zéro que si un des termes du produit était lui-même égal à zéro donc qu'on utilisait en fait c'était le fait que si à x b est égal à zéro alors à est égal à zéro ou b est égal à zéro et donc on pouvait en déduire que les valeurs qui a annulé ce polynôme donc les solutions de cette équation là eh bien c'était x1 et x2 voilà alors ça c'est dans le cadre d'une équation donc avec un symbole égal ici nous on est dans un cas maintenant un petit peu différent puisqu'on à ce signe là strictement supérieur mais on va quand même suivre un petit peu la même trame que celle là et tu vas voir que finalement on va retomber sur nos pieds alors ce que je vais faire déjà la première étape c'est de faire passer le dise de l'autre côté donc je vais soustraire 10 aux deux membres de cette inéquation et ça va me donner x au carré + 3 x -10 strictement supérieur à 10 me disent c'est à dire zéro là comme j'ai enlevé la même quantité des deux côtés est bien le signe ici ne change pas et maintenant j'obtiens donc un polynôme et je cherche quand est-ce que ce polynôme est positif alors pour ça je vais faire la même chose qu'ici c'est à dire que je vais essayer de factoriser mon paulino donc pour ça il faudrait que je trouve deux nombres a et b tel que a + b la somme de ar de bay soit égal à 3 et le produit à x b à x b doit être égale à moins 10 alors là je peux assez facilement trouver des valeurs 2a et 2b je vais prendre à égal 5 et b égales - 2 donc dans ce cas là j'aurais bien a + b qui sera égal à 5 - 2 c'est à dire 3 et à x b qui sera égal à 5 fois moins deux c'est à dire moins 10 ce qui veut dire que mon polinum je vais pouvoir le factoriser de cette manière là bon ici le coefficient de 2 plus haut degré de mon polinum c'est un donc finalement mot polinum je peux le factoriser de cette manière la cx plus a donc x + 5 facteurs de x + b c'est-à-dire x - 2x plus -2 donc cette ce produit là est égal à ceux polynôme est donc finalement j'obtiens une nouvelle forme de cette inéquation là qui est celle ci on cherche les valeurs de x tel que x + 5 x x - 2 est strictement supérieur à 0 alors là on cherche pas les valeurs de x qui annule cette expression l'asi polynôme on cherche les valeurs de x qui rendent ce polynôme positif alors on peut pas tout à fait servir de ça mais on peut quand même faire quelque chose d'approchant puisqu'on peut remarquer que pour qu'un produit à x b soit strictement supérieur à 0 eh bien il faut que les deux nombres a et b soit de même signe puisque si a et b sont tous les deux positifs leurs produits va être positif et si a et b sont tous les deux négatifs leurs produits va être positif aussi alors que si a et b sont aussi différents et bien leur produit sera négatif donc pour que a et b soit strictement supérieur à 0 il faut que a et b soit de même s'ils n'y soit de même signe intéressant parce que ça veut dire que je peux étudié séparément les signes de ces deux polynôme x + 5 et 6 - 2 et ensuite je pourrai en déduire le signe du produit alors je veux te propose ici de présenter les choses sous forme d'un tableau un tableau de signe ça s'appelle donc je vais faire un tableau comme ça tu vas voir que c'est très pratique ici je vais mettre les valeurs de x sur cette ligne là donc les valeurs de x ce polynôme là est défini sur l'ensemble des nombres réels donc les valeurs de x peuvent aller de moins d'1 fini à plus infinie en fait c'est n'importe quelle valeur de x ensuite je vais faire une première une deuxième ligne par bon dans mon tableau qui va correspondre à l'étude du cygne de x + 5 alors ici on va essayer de déterminer le signe de x + 5 donc on va chercher quand est-ce que x + 5 et strictement supérieur à 0 donc ça c'est assez facile il suffit de soustraire 5 des deux os de membres de cette inéquation et on obtient qu'il faut que x soit strictement supérieur à moins 5 donc je vais mettre la valeur - cinq ici voilà quelque part entre moins l'infini et plus l'infini évidemment et je vais tracer une barre ici pour séparer mon intervalles en deux et je ne sais pas parce que d'après ce que je viens de dire x + 5 et supérieur à zéro quand x est plus grand que -5 donc ici donc là ici je vais mettre un plus ce qui veut dire que quand x et dans cette partie là quand x est plus grand que -5 le polynomics +5 est positif par contre évidemment quand x est plus petit que -5 et bien le polynôme est négatif donc je vais mettre 1 - ici ici quand hicks est égal à - 5 a bien le polynôme s'annulent donc ici je peux mettre 1 0 voilà donc là j'ai représenté les intervalles ou le polynomics +5 est positif et puis je vais faire la même chose avec le polynôme x - de ici le deuxième terme de mon produit x - 2 alors je vais faire une ligne ici et je vais étudier le signe du polynomics monde donc je vais me demander quand est-ce que x - 2 est strictement supérieur à 0 est bien pour trouver les valeurs de x il suffit que j'ajoute de haut de membres et j'obtiens que x doit être strictement supérieure à 2 donc j'ai placé maintenant la valeur x égal 2 alors deux c'est plus grande - 5 donc je vais placer deux ici voilà et comme tout à l'heure je vais marquer cette c'est pas cette frontière là si on veut que la valeur pour laquelle le polynomics mois 2 va changer de signe donc ce que j'ai dit c'est que quand x est plus grande que le polynôme x - 2 est positif donc ici je vais mettre un plus et quand x est plus petit que deux évidemment le polynôme est négatif alors je vais mettre 1 - ici alors maintenant je vais essayer d'en déduire le signe de ce polynôme complet du produit de ces deux polynomics + 5 x x - 2 donc le produit x + 5 x x - 2 et pour déterminer son signe je vais utiliser ce qu'on a vu tout à l'heure c'est à dire le fait qu'un produit est positif si les deux termes sont de même si lorsque je vais faire c'est déjà marqué les deux frontières qui font changer de signes mais polynomics +5 et x - 2 est en fait ce que je vais faire c'est prolonger ses frontières comme ça voilà c'est les valeurs pour lesquelles il y à des changements de signes et je peux même présenté un peu mieux les choses je vais faire comme ça voilà donc je sais que pour cette ligne là le polynomics +5 et positif quand x est plus grand que cinq donc c'est positif quand hicks est compris entre -5 et deux essais positifs ici aussi quand x est plus grand que deux dans cette ligne là je sais que x -2 et négatifs quand x est plus petit que deux donc négatif ici négatif là aussi et puis quand x égal 2 j'aurais pu le dire tout à l'heure le polynôme x -2 s'annulent il vaut zéro voilà et maintenant je vais pouvoir remplir très facilement la ligne du cygne de x + 5 x x - 2 tout simplement en regardant le produit dessiné sur cet intervalle à moins l'infini -5 le polynomics +5 et négatifs le polynomics moins de négatif donc ici sur cet intervalle la moins l'infini -5 le polynôme est positif ensuite pour x égal moins 5 et bien ça on peut voir tout de suite que le polynôme s'annulent donc ici g10 quand hicks est compris entre -5 et 2 alors le polynomics +5 est positif mais le polynomics -2 et négatif donc le produit va être négatif ici c'est négatif ensuite quand hicks est égal à 2 eh bien le polynôme ça nulle puisque x -2 égal à zéro donc ici je peux mettre 1 0 et puis quand hicks est strictement supérieure à 2 et bien ce qu'on voit c'est que x + 5 est positif et x - 2 est positif aussi donc le produit x + 5 x x - 2 va être positif donc ici je peux mettre un plus aussi voilà et tu vois que là j'ai complètement étudier le signe de mon polynomics + 5 x x - 2 c'est à dire que je sais exactement pour quelles valeurs il est positif et pour quelle valeur innée négatif donc finalement j'ai complètement résolu cette inéquation là je peux noter la solution comme ça est-ce la solution s est bien ça va être la réunion de cet intervalle à moins d'un fini - 5 - infinie que je note comme ça avec accrochée ouvert - 5 est évidemment cette valeur la moins 5 je ne peux pas l'inclure dans mon ensemble de solutions puisque je cherche les valeurs qui rendent mon polynôme strictement positif et pour x égal à -5 le polynôme est égal à zéro donc il faut que j'exclus la valeur - 5 ensuite j'ai sept autres intervalle là aussi qui vérifie mon une équation donc je vais faire ça union l'autre intervalles qui va de 2 à + l'infini mais comme tout à l'heure on doit exclure la valeur 2 puisque pour x égal 2 le polynôme est égal à zéro il n'est pas strictement supérieur à 0 donc je vais prendre deux exclus comme ça avec un crochet ouvert jusqu'à + l'infini voilà ça c'est l'ensemble de mes solutions 6 est plus petit que moins 5 ou plus grand que 2 et bien x au carré + 3 x sera supérieure à 10 je m'engage à bien réfléchir sur ce tableau de sin parce que c'est une manière extrêmement pratique extrêmement organisés de résoudre une équation du second degré alors avant de terminer je voudrais faire une petite parenthèse sur ce que ça veut dire en termes graphiques et pour ça ce que je vais faire c'est prendre représenter une droite numérique voilà comme ça donc ici j'ai le zéro et puis je vais placer les valeurs importantes c'est-à-dire ces deux valeurs là - 5 et 2 donc moins 5 je vais le mettre ici et 2 je vais le mettre là par exemple voilà à peu près lorsque je sais c'est que ici toutes ces valeurs là pour toutes ces valeurs là le polynôme est positif de même que pour toutes les valeurs supérieures à 2 donc pour tout ça le polynôme est positif aussi donc en fait ça ça me donne une indication sur la courbe représentative de ce polynôme là je vais faire un run deuxième axe ici donc ça c'est la kz dx et ça c'est l'accès y évidemment ça c'est un polynôme du second degré donc sa courbe représentative c'est une parabole est en fait ce que je peux dire d'après le signe c'est que la parabole est au dessus de l'axé des abscisses dans cette partie là du planton qu'elle va arriver comme ça ensuite entre -5 et 2 est bien là le polynôme est négatif donc la parabole est situé sous l'axé des abscisses donc elle va faire quelque chose comme ça descendre jusqu'à son sommet puis remonter et puis couper l'axé des abscisses ici au point x égal 2 et ensuite pour x plus grand que deux ans et que le polynôme est strictement positif donc la partie de la parabole qui correspond va être situé au dessus de l'axé des abscisses voilà j'espère que cette présentation avec un tableau de signes de semblera clair parce qu'elle est vraiment très très pratique à bientôt