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Décomposer en facteurs premier pour trouver une racine n-ième

Transcription de la vidéo

jusqu'à maintenant quand on a parlé de racine on a parlé uniquement de racine carrée par exemple quand on a écrit quelque chose comme ça avec ce symbole là ça c'est à ce symbole ici c'est le symbole de racine et en fait c'est le symbole de la racine carrée quand on écrit de cette manière là donc quand j'écris racines de 9 de cette manière là en fait ça veut dire trois donc c'est même la racine positive la racine carrée positive de 9 c 3 parce que trois cantons l'élève au carré bien ça donne neuf voilà alors en fait on aurait même pu écrire ça de cette manière la racine de 9 en mettant un petit de ici pour dire que ce qu'on cherche c'est le nombre qui quand on va l'élever au carré donc à la puissance 2 qui est noté ici va donner neuf donc en fait quand on a parlé de racine on a parlé uniquement de ses de ce symbole là qui souhaitent qui en fait est ce symbole six ans le petit 2 qu'on n'a pas écrit mais en fait c'est ça et c'est la racine carrée mais en fait on peut définir aussi d'autres types de racine par exemple je peux définir ce nombre là je prends le même symbole racines mais je mets ici un petit roi et ce petit roy veut dire que en fait je vais chercher le nombre qui quand je vais l'élever à la puissance 3 va me donner 27 et on dit que ça c'est la racine cubique on dit on pourrait aussi dire racines troisième et donc en fait c'est le nombre qui va donner 27 cantons l'élève à la puissance 3 est donc en fait c'est ségala 3 parce que quand j'écris 3 x 3 je n'écris 6 3 x 3 x 3 eh bien ça me donne 27 donc ça ça veut dire que trois élevé à la puissance 3,7 égale à 27 donc voilà je peux définir la racine cubique de 27 comme étant le nombre dont le cube dont la puissance 3d gala 27 alors je peut étendre ça je pourrais très bien par exemple définir enfin définir la racine quatrième de 16 je vais noter comme ça je prends toujours le symbole de racines mais je mets un petit 4 ici et donc la racine quatrième de 16 c'est le nombre qui va donner 16 cantons l'élève à la puissance 4 alors pour eux c'est déterminer ce que c'est on peut toujours assez utile d'aller décomposer 16 ans facteur première je vais le faire ici donc 16 ces deux fois huit et puis 8 ces deux fois 4 2 x 4 et puis là on peut encore des composés carte puisque quatre ces deux fois 2 g plus beaucoup de place voilà en tout cas du coup ce qu'on peut voir c'est que la décomposition en facteur premier de 16 c 2 x 2 x 2 x 2 donc finalement la racine quatrième de 16 bars et la racine quatrième de 2 x 2 x 2 x 2 voies là alors en fait 2 x 2 x 2 x 2 ces deux élevé à la puissance 4 1 donc si on cherche le nombre qui donne 16 cantons l'élève à la puissance 4 et bien finalement ces deux voilà alors il ya une petite précision quand même c'est que comme dans le cas de la racine carrée ici tu aurais pu aussi choisir - 2 - 2 fois moins deux fois moins deux fois moins deux ça aurait aussi donné 16 donc moins de élevé à la puissance 4 ça aurait donné aussi 16 donc racine quatrième de 16 ça pourrait être aussi moins 2 en général comme dans le cas de racines de 2 quand on écrit ce symbole là on entend on veut dire la racine quatrième positive de 16 donc ici c'est 2 donc dans le cas de racine carrée en général il ya deux racines carrées de 9 par exemple y aurait 3 et -3 quand on ne dit rien c'est qu'on parle de la racine carrée positive et dans le cas de la racine quatrième c'est pareil il ya deux racines quatrième de 16,2 racines quatrième en général d'un nombre et quand on ne précise rien en fait on parle de la racine quatrième positive alors tout ça ça a l'air nouveau mais en fait c'est des choses que tu as déjà vu sous une autre forme parce qu on a déjà parlé dans d'autres vidéos de nombre élevé à une puissance fractionnaire une puissance rationnelle par exemple on sait ce que c'est que x puissance un nombre x élevé à la puissance 1 sur rennes où elle est un nombre entier est en fait ce nombre là bas si tu l'élève à la puissance n tu connais les règles concernant les puissances ça ça fait x élevé 1 x puissance 1 suresnes fois n et 1 sur rennes fois n ça fait x puissance 1 donc ça fait x voilà donc en fait x puissance 1 sur rennes c'est un c'est le nombre qui donne x quand on l'élève à la puissance n donc en fait x puissance 1 sur rennes d'après ce qu'on vient de dire en fait c'est la racine énième 2x qu'on note comme ça voilà x puissance 1 sur rennes c'est la racine énième 2x donc ce qu'il te disais c'est qu'effectivement tu avais déjà vu c'est ses racines énième alors on sait on a déjà vu comment simplifier des racines carrées on va essayer de s'entraîner à simplifier des racines d'autres types de racine alors je vais faire un exemple je vais garder cette définition là donc si je prends par exemple je vais prendre la racine 5e 2,96 à sin 5 yens 2,96 alors pour essayer de simplifier ça en fait je vais faire comme tout à l'heure je vais décomposer déjà 96 ans facteur premier alors 96 on peut dire que ces deux fois 48 2 x 48 mais 48 ces deux fois 24 et 24 ces deux fois 12 et puis 12 ces deux fois 6 voilà et puis là je peux continuer puisque si ces deux fois trois voies là j'aime bien utiliser ces schémas en marbre là pour trouver les décompositions facteur premier c'est assez pratique donc finalement 96 ces 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 alors la racine cinquième de 96 c'est de la racine 5e pardon de 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 donc c'est ça x 3 voies là puisque ce nombre là cette multiplication là ça fait effectivement 96 alors maintenant je vais utiliser ce que j'ai vu au dessus c'est à dire qu'en fait quand j'écris racines cinquième de ce nombre là bien en fait je peux dire que ces races c'est le nombre ce nombre là donc 2 x 2 x 2 x 2 encore fois de encore x 3 élevé à la puissance 1 sur 5 1 sur 5 est donc là je peux appliquer les règles sur les puissances en fait ça ça va me donner je vais prendre un autre jeu de couleurs ça va me donner ce terme-là élevé à la puissance un sur cinq donc 2 x 2 x 2 x 2 élevé à la puissance un sur cinq fois le terme que j'ai pas pris en compte ici c'est 3 donc x 3 élevé à la puissance un sur cinq et ça cet intérêt parce que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 en fait ces deux élevés la puissante 5 donc je vais pouvoir écrire ça comme ça t2 élevé à la puissance 5 élevée en corps à la puissance 1 sur 5 x 3 élevé à la puissance un sur cinq est là on a bien avancé parce que deux puissants 5 élevé à la puissance un sur cinq est bien ça ça fait deux ça ça fait deux donc j'ai 2 x x 3 élevé à la puissance un sur cinq et ça je vais l'écrire différemment puisque en fait ça a ses racines 5 yens 2,3 donc je vais l'écrire comme sa racine 5e 2 3 voilà et là on a trouvé une simplification de cette racine cinquième de 96 on l'a écrit comme deux fois racines 5e 2 3 alors maintenant on va faire un autre exemple mais avec des expressions algébrique donc avec des variables alors je vais par exemple prendre cette expression là on va dire par exemple sarah side 6e de 64 x puissent ensuite racines 6e de 64 x pu s'en suit alors pour commencer on va s'occuper de ce terme là un de 64 donc je vais le décomposer en facteurs premiers 64 on va dire que c'est deux fois trente deux 32 ces deux fois 16-16 ces deux fois 8 8 ces deux fois 4 et 4 c'est 2 fois 2 donc finalement lâché 64 ces 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 encore donc il ya 1 2 3 4 5 6 donc en fait 64 ces deux multiplier six fois par lui-même et en fait ces deux élevé à l'appui 106 de puissance 6 du coup en fait la racing 6e de 64 c'est le nombre qui quand on l'élève à la puissance cisma donnait 64 donc de élevé à la puissance si ça donne 64 donc la racine 6e de 64 et bien ces deux ce2 je l'écris ici un qu'on se rappelle c'est la racine 6e de 64 alors maintenant il faut qu'on s'occupe de cette partie là un outil puissant suit donc racine 6e 2 x puissent ensuite je vais l'écrire comme sa racine 6e 2 x puis s'en suit alors comment est-ce qu'on peut s'occuper de ça et bien en fait ce qu'on va faire c'est que x puissent ensuite on peut très bien l'écrire comme ça ce terme là ici ça c'est x puissance 6 x x puissance 2 puisque si tu te rappelles des règles sur les puissants 6 puis 106 x x puissance 2 safetic ce puissant 6 + 2 donc x puis s'en suit alors je vais pouvoir du court et écrire ça comme ça ça du coup ces deux fois racines 6e 2 x puissance 6 x x puissance 2 voilà et là peut-être que tu vois ce qui se passe quand fait cette partie là ici c'est le racing 6e 2 x puis 106 et ça ça fait x racines 6e 2 x puissance 6 ça c'est égal à x voilà du coup je peux continuer je réécris ça comme ça en fait ça fait deux fois x puisque c'est cette partie la fois la racine 6e 2 x puissance de 2 x au carré c'est une 6e 2 x o car est donc là on a déjà pas mal avancé on peut transformer sa encore on peut essayer de simplifier sa encore un petit peu puisque cette partie là ça c'est x o car est élevé à la puissance 1/6 élevé à la puissance 1 sur 6 donc finalement je verrai écrire ça comme ça ça fait 2 x 2 x x x x au carré à la puissance 1 sur 6 alors là on va appliquer les règles sur les puissants 6 o car est élevé à la puissance 1 sur 6 en fait on va multiplier les expose les exposants et s'adonne x à la puissance deux fois 1 sur 6 alors j'écris ça donc j'ai 2 x ça change pas x x puissance deux fois un sixième et 2 x 1 6e ces deux sixièmes donc je vais écrire ça comme ça ça fait 2 x x x élevé à la puissance 2/6 alors on peut aller encore un petit peu plus loin parce que 2 6e c'est un tiers donc je vais écrire ça 2 x x x puissance un tiers voilà on peut pas simplifié plus que ça par contre si on veut on peut faire on peut écrire cette expression là en faisant intervenir des radicaux donc des racines des racines parce que ici x puissance 1 sur 3 x puissance un tiers en fait c'est la racine 3e 2 x donc je peux écrire ça de cette manière là 2 x x racines 3e 2 x voilà en fait on aurait pu faire aussi d'une autre manière en partant d'ici parce que au lieu de décomposer x puissent ensuite comme on l'a fait tout à l'heure un x puissant 66.6 puissance 2 on aurait très bien pu dire alors je vais faire je vais prendre une autre couleur on aurait pu dire comme ça je fais ça comme ça on aurait pu dire dire que ces deux fois à leurs racines 6e 2 x puissent ensuite on peut voir ça comme x élevé à l'appui sans suite le tout à la puissance 1 sur 6 voilà ça c'est exactement la même chose et donc à partir de là je peux ici aussi appliquer la règle des fonctions puissance en fait j'aurais eu deux ce2 ne change pas x x puissance 8 x 1 sur 6 8 x 1 sur 6 ça ça fait 8 sur six ans je vais l'écrire ici ça n'aurait ça nous aurait donné deux fois x puissance 8 sur 6 et on peut simplifier la fraction 8 sûr si l'on peut diviser par deux ça donnera 4/3 donc finalement on n'obtient que ça fait 2 x x élevé à la puissance 4/3 alors ces deux expressions sont exactement les mêmes on va voir pourquoi et on peut réécrire cet exposant différemment puisque 4/3 4/3 passé trois tiers plus un tiers donc c'est un plus un tiers tu peux vérifier ça si tu es si tu me crois pas donc en fait ça on peut écrire ça comme 2 x x puissance un plus un tiers et on peut du coup réécrire ça comme un produit en fait ça va être deux fois x x puissance 1 x x puissance un tiers voilà et donc sa basse et 2 x x x x puissance un tiers et tu vois qu'on retrouve exactement l'expression qui est ici voilà