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Déterminer si deux expressions du type a^f(x) sont égales

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on avait appris à simplifier une expression avec des expos avec des puissances donc une expression exponentielle et à l'écrire sous une forme la plus simple possible dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est plutôt l'inversé c'est à dire partir d'une expression exponentielle qui sera assez simple et essayer de la transformer pour l'écrire d'une autre manière qui sera un peu plus compliqué alors évidemment que tu peux te dire que c'est pas très très intéressant de passer de quelque chose de simple à quelque chose de compliqué en général c'est plutôt l'un vers ce qu'on cherche à faire c'est de simplifier les choses en fait ça peut arriver assez fréquemment que tu sois obligé de transformer une expression en une autre donc on va essayer de faire ça alors je vais prendre une expression exponentielle assez simple ça va être on va dire par exemple un sur 32 fois deux puissances t voilà est en fait cette expression là je vais essayer de la transformer pour l'écrire sous une forme un peu plus compliqué qui sera à x b puissance tu es sur 10 - 1 à x b puissance t sur dix mois alors évidemment ce que je disais tout à l'heure tu dois te demander pourquoi se casser la tête à rendre cette expression la plus compliquée en fait il se peut que tu arrives en analysant une situation à une expression de ce genre là et que quelqu'un d'autre ou bien que dans un des livres de cours tu as tué la même situation représenté par cette formule si donc par cette expression sic est plus compliqué donc il va être important pour toi de savoir si effectivement tout l'expression à laquelle tu es arrivée correspond à celle ci donc il faut que tu arrives à transformer cette expression là pour l'écrire sous cette forme si ou bien la verse alors on va faire ça en utilisant toutes les propriétés des puissances qui sont à notre disposition donc je voudrais que tu mettes la vidéo sur pause et que tu essaies de faire de ton côté et maintenant que tu as essayé de faire on va on va s'y attaquer ensemble alors dans cette expression l'âge et l'exposant qui est ici c'était donc j'ai deux élevé à la puissance t et dans l'expression que je veux obtenir il faut que j'aie non pas l'exposante aimé l'exposante et sur 10 - 1 alors la première étape ça va être déjà de passer de tht sur 10 et pour ça en fait je vais écrire tes comme tu es sur 10 x 10 donc tu es c'était sur 10 x 10 là j'ai absolument rien changé 1 j'ai pas changé à l'exposant puisque dix sur dix a fait un don que toujours ici deux puissances t en fait mais l'intérêt ça va être que je vais pouvoir écrire ça comme ça alors je vais garder le code couleur donc j'ai un sur 32 x 2 élevé à la puissance tréfois 10 sur 10 mettez les x 10 sur 10 je vais l'écrire comme ça en fait je vais écrire que c'est dix fois tu es sur 10 voilà dix fois tu es sur 10 là j'ai simplement réordonner les termes ici pour l'écrire de cette manière là et puis ici tu vois que du coup j'ai deux élevé à une puissance qui est un produit alors je vais pouvoir me servir d'une d'une des propriétés des puissances c'est que quand je prends un nombre à que j'élève à la puissance b et que j'élève encore à la puissance c est bien ça c'est à élever à la puissance b fois c'est donc ça je peux le lire dans l'autre sens c'est à dire que si j'ai à élever à la voix la puissance b fois c'est donc un produit eh bien je peut réécrire cette expression de cette manière là c'est à puissance b et 2 le taux élevé à la puissance c appliquer ça à cette propriété là ici par exemple je peux dire que à ces deux et puis b le petit becquet là je veux dire que ces 10 et puis le petit c je veux dire que c'était sur 10 donc je verrai écrire ça comme ça je garde les codes couleurs donc ça va être un sur 30 2 x 2 élevé à la puissance 10 de élevé la puissance 10 voilà le tout élevé à la puissante et sûre disent tous élevés à la puissance t sur 10 transformé cette expression en celle ci à l'aide de cette propriété la voilà alors du coup ici deux puissances 10h de puissance 10 e sais pas peut-être que tu sais déjà ça de mémoire en tout cas sinon tu peux le calcul et de puissance 10 a fait 1024 donc finalement ici j'ai écrit un sur 32 x 1024 élevé à la puissante et sur dix alors tu vois que là j'ai quand même pas mal avancé puisque j'ai ici un exposant qui était sur disque et cette partie là que je dois retrouver ici un alors c'est pas encore complètement terminé puisque ce que je dois avoir c'est pas quelque chose élevé à la puissance t sur 10 mais quelque chose élevé à la puissance t sur 10 - 1 as eu moins un qui est là alors il faut se débrouiller pour arriver ici avoir 1 - 1 et en fait on va encore utilisé une propriété des puissances simplement ici en faisant attention à ne pas changer l'exposant qui est là donc on battait sur dix il faut qu'on garde t sur 10 mais ce qu'on peut faire c'est écrire tes sur dix comme tu es sur 10 - 1 + 1 en fait là je pars de thé sur 10 j'enlève 1 et j'ajoute un donc globalement ici j'ai rien changé et je peux même je vais l'écrire comme ça de cette manière là je veux dire que c'était sur 10 - 1 + 1 je mets des parenthèses et là on va utiliser une autre propriété des puissances que je vais noter ici si tu as à un nombre à élever à la puissance b x a le même nombre à élever à une autre puissance c est bien en fait ça c'est à élever à la puissance b + c les exposants s'additionnent et ça comme tout à l'heure tu peux le lire dans l'autre sens si tu as un nombre élevé à une puissance qui est une somme eh bien tu peut décomposer ça comme le nombre élevé à la puissance b fois le nombre élevé à la puissance c'est donc ici on à 1024 qui est élevé à la puissance t sur 10 - 1 + 1 là il faut que tu te laisse guider par les parents pèse donc ici le petit à ça va être 1024 le petit b ça va être déçue redit ce moulin et le petit c'est ça va être un donc si on applique cette formule là en fait on peut écrire que ça nous donne un sur 32 x 1024 élevé à la puissance tu es sur 10 - 1 ça c'est cette part cet exposant la x 1024 élevé à la puissance je vais prendre un jeu de couleurs le inq et là je vais le mettre en bleu donc ça va être 1024 élevé à la puissance 1 voilà alors là on a presque terminé puisque ici j'ai bien l'exposante et sur 10 - 1 donc c'est celui que je veux avoir ici et maintenant je peux juste déplacer cette constante la 1024 élevé la puissance 1 ça fait 1024 et je peux le déplacer ici donc je vais réécrire l'expression de cette manière là c'est 1024 sur 32 x 1024 élevé à la puissance t sur 10 - 1 alors là on a pratiquement terminé juste on va simplifier cette fraction là quand même ça sera plus joli alors tu peux effectivement quand tu peux faire le calcul faire la division effectivement mais sinon tu peux aussi remarquer que 1024 on l'a vu tout à l'heure ses deux puissances 10 et 30 de ces deux puissances 5 donc là on a deux puissances 10 / depuis 105 alors on va utiliser encore une autre propriété des puissances et que à élever la puissance b / à élever à la puissance c'est en fait c'est à élever à la puissance b - c les exposants se soustraient cette fois ci donc je peux continuer à simplifier en fait du coût 7 cette fraction là deux puissances disent sûrs de puissance 5 ça fait deux puissances dix mois 5 ça fait depuis 105 x 1024 1024 élevé à la puissance t sur 10 - 1 voilà alors depuis 105 32 c'est ce qu'on a vu tout à l'heure donc on obtient 30 2 x 1024 élevé à la puissance t sur dix - ça et là on a transformé notre expression de départ sur trente deux fois deux puissances t en une expression de cette forme si avec aki est égale à 32 bits qui est égal à 1024 mais effectivement du coup on obtient bien la forme qu'on voulait 32 x 1024 élevait la puissance t sur dix - st alors j'insiste sur le fait que c'est pas du tout inutile ce qu'on vient de faire on est passé de quelque chose de simple à quelque chose une forme un peu plus compliqué mais c'est très important de savoir manipuler ces expressions pour les reconnaître par exemple que deux formes sont équivalentes