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Résoudre une équation du second degré après avoir mis le trinôme sous forme canonique

Transcription de la vidéo

alors on n'a cette équation du second degré x au carré - 2x moins huit égal zéro et on va essayer de la résoudre bien sûr comme d'habitude mais là on va essayer de le faire d'une manière un petit peu spéciale en fait on va commencer par essayer de transformer le polynôme qui est ici à gauche du signe égal pour l'écrire sous ce qu'on appelle la forme canonique alors la forme canonique c'est celle ci x plus à élever au carré plus quelque chose que j'appelle b voilà donc pour passer de cette expression là à celle ci en fait on va utiliser ce qu'on a déjà vu dans d'autres vidéos etc et là de ce qu'on appelle la technique de complétion au carré voilà alors il ya d'autres manières de faire bien sûr mais cette technique là on va en passant par la forme canonique tu vas voir qu'en fait elle marche à tous les coups donc c'est ça qui est très intéressant et en plus c'est grâce à cette forme canonique qu'on parvient ensuite tu verra dans le futur a trouvé une formule générale pour résoudre des équations du second degré alors on va commencer donc en fait on va prendre les choses à l'envers ce que je vais faire c'est à partir de cette expression là la développer et ensuite par identification on essaiera de se rapprocher de cette expression là alors quand je développe ce terme-là expulsa au carré c'est une identité remarquable ça me donne x au carré +2 à x plus à aux carrés et puis ensuite bien sûr il ya ce b qu'il faut ajouter donc plus b voilà alors maintenant je vais essayer de regarder ce que j'ai ici et de le comparer à ce que j'ai là est en fait pour bien faire je vais réécrire cette forme là nous allons laisser un petit peu de place parce que j'ai un gd terme en plus en fait la g 1 2 3 4 terme alors que l'agent n'est que 3 donc je vais écrire ça comme ça x carré - 2x plus quelque chose donc je laisse une place ici - 8 plus quelque chose égale zéro alors maintenant si on regarde ce qu'il y a cette partie là on peut voir que c'est un petit peu le début de ce qui est ici en fait plus précisément bon le i ce carré il gelé ici et je le retrouve là donc ça ça pose pas de problème par contre là g12 à x 2 1 x qui est le terme en xc le seul terme en x sur cette expression là donc c'est forcément ce terme là ce qui veut dire que la sete ce terme 6 - 2 x ça doit être égale à 2 à x alors 6-2 ax est égal à moins de zik ça veut dire que deux à est égal à -2 donc à est égal à - 1 à st gall à -1 et donc si je veux me rapprocher de cette forme là ici gsee à au carré à eau carey qui n'est pas ici donc je vais ajouter ceux au carré alors à au carré ça fait moins 1 fois moins un mois au carré ça fait plus 1 voilà donc tu vois qu'en fait la g procéder par identification pour reconnaître ce terme-là dans cette expression là et pour ça j'ai dû ajouter 1 alors évidemment je peux pas ajouter un comme ça puisque là en fait j'ai changer l'équation puisque j'ai un an plus tôt si je ne veux pas changer l'équation est que je veux quand même ajouter 1 il faut tout de suite que ce soit j'ajoute un de ce côté ci soit que j'enlève 1 de ce côté là donc je vais faire ça je vais à jouer je vais enlever un de ce côté là voilà alors maintenant je verrai écrire ça donc j'ai cette partie la xk rémois 2x plus un donc ça et cette partie ci qui correspond à x plus à élever au carré donc avec à égal à -1 sinon tu peux aussi reconnaître tout de suite une identité remarquable celle ci est vraiment classique est en fait cette partie la cx plus - un don kicks moins élevée au carré et puis cette partie 6 - 8 - 1 c'est moins 9 voilà donc finalement on a réécrit le polynôme ici on l'a exprimée sous sa forme canonique et donc on se retrouve avec cette équation la xe au moins un élevée au carré - 9 est égal à zéro alors là on peut la résoudre à l'heure soit tu reconnais aussi là une différence de cars et donc c'est une identité remarquable tu peux factoriser ça et ensuite demandé que chaque facteur soit égal à zéro donc tu vas trouver les solutions sinon tu peux faire aussi comme ça simplement en prenant les racines carrées donc tu peut isoler les termes en x pour faire ça on va passer le 9 de l'autre côté donc en fait j'ajoute 9o dément aux deux membres de cette équation et je me retrouve avec à gauche x - 1 au carré égal à zéro + 9 c'est à dire neuf et maintenant pour ça que tu peux prendre la racine carrée des deux membres donc si tu prends la racine carrée 2x moins un au carré sutton x -1 et de l'autre côté tu peux avoir soit racine carrée de 9 la racine carrée positif de 9 soit la racine carrée négative de neuf donc en fait on va écrire ça comme ça ça va être égale à plus ou moins racine carrée de 9 et racine carrée de neuf ça fait 3 donc finalement on a x moins un qui doit être égale à plus ou moins 3 donc les solutions cx - un égal à 3 ou x - un égal à -3 et là je vais isolé x donc ici je vais ajouter un des deux côtés j'obtiens x - un plus un ça fait x égal 3 + 1 c'est à dire 4 ou bien donc là je vais ajouter un des deux côtés j'obtiens x - 1 + 1 c'est-à-dire x égal moins trois opus 1 c'est-à-dire moins 2 et voilà là on va terminer on a résolu cette équation là on va trouver les deux solutions cx égale 4 et x égal moins deux et on l'a c'est finalement assez facilement en passant par cette forme canonique alors évidemment tu peux dire on a fait quand même c'était pas très utile de passer par la forme canonique ça nous a fait faire des manipulations en plus on aurait très bien pu le faire directement factories ans ici alors c'est possible que dans ce cas là tu sois arrivé tu sois arrivé à trouver la bonne factorisation et donc les bonnes solutions mais dans d'autres cas ça aurait été pratiquement enfin très très difficile de trouver la factorisation directement donc ce qui est important ici c'est de comprendre que cette technique en passant par la forme canonique eh bien elle marche à tous les coups