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Résoudre une équation du second degré en utilisant une factorisation

Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va essayer de résoudre des équations du second degré pour ça on va vite on va utiliser tout ce qu'on a vu sur la factorisation des polynômes alors bon on va commencer par exemple pas résoudre cette équation là on va essayer de résoudre cette équation la xk ray + 4 x par exemple égal à 21 voilà alors je sais que là il ya une grande tentation que beaucoup de gens ont c'est de s'occuper de ceux des deux membres séparément et de commencer par essayer de factoriser quelque chose ici et puis ensuite de bombes ça ça ne mène à rien c'est pas comme ça qu'il faut faire parce qu'on n'arrive pas à trouver de solutions de cette manière là en fait la première chose le premier réflexe qu'il faut avoir c'est de mettre tous du même côté du signe égal pour avoir de l'autre côté 1 0 donc là on va le faire par exemple si je veux avoir de ce côté ci 1-0 en fait je vais enlever 21 donc je vais enlever 20 terre des deux côtés donc là j'ai x car est plus 4x -21 égal à 21 - 21 0 voilà alors une fois qu'on sait qu'on a ramené notre équation à cette forme là avec un zéro de l'autre côté un polynôme du second degré égal à 0 à ce moment là on peut travailler sur la factorisation de ce polynôme là et c'est ce qu'il faut faire parce qu'une fois qu'on l'aura factoriser on va pouvoir dire bon bah si tu produis fait zéro ça veut dire qu'un des deux facteurs fait zéro est égal à zéro alors bon bah du coup maintenant on est ramené à faire quand quelque chose qu'on a déjà fait dans les vidéos précédentes c'est de factoriser 7ce polynôme la x o car est plus 4 x - 21 alors je sais pas si tu te souviens on avait dit que dans ce cas là puisque là on est dans le cas où on a un coefficient qui vaut 1 et le coefficient 2 x au carré vaut 1 dans ce cas là on peut chercher deux nombres entiers a et b tel que ici ça ça fasse le produit ab donc le produit a baissé le terme constant et et puis le coefficient d x c'est la somme a + b voilà donc on doit chercher deux nombres a et b tel que à x b ça fait moins 21 et a + b ça fait 4 donc ça on l'a fait plusieurs fois on regarde les factorisation du coût de 21 donc 21 ça peut être une fois vingt-et-une x 21 donc ça serait à égal 21 et beghal -1 par exemple mais la somme ça ferait pas 4 donc ça va pas donc je vais essayer accepte avec une autre factorisation de 21 points en 21 s'est par exemple 3 x 7 alors maintenant je vais regarder avec les signes en fait il faut que j'aie un des deux qui soient négatifs pour avoir le produit négatif donc ils doivent être de signe opposé donc je vais commencer si je prends par exemple - 3 et +7 - 3 et +7 je vais faire la somme ça fait exactement 4 donc ça ça marche ça marche moins trois plus est ça fait 4 donc là on a bien trouvé deux nombres a et b tel que le produit fait moins 21 et la somme fait 4 c à égal moins 3 et beghal 7 alors maintenant du coup on peut écrire la factorisation de notre polynôme et on va réécrire l'équation de cette manière là avec la factorisation convient de trouver donc c'est x + - 3 c'est à dire x - 3 x x ça c'est x plus à 1 x x + 7 c'est à dire x + b ici et ça ça doit être égale à zéro et voilà là c'est ça qui est important une fois qu'on a factoriser en fait quand un produit de deux termes et nul n'y a qu'une seule possibilité c'est que l'un des deux termes soient nuls ou alors qu'ils soient tous les deux nuls évidemment mais si aucun des deux facteurs n'est nul est bien le produit ne pourra pas être nul donc il faut qu ils nécessairement qu'il y en ait un des deux qui soit nul au moins donc là on va trouver que x - 3 doit être égale à zéro ou bien x + 7 doit être égale à zéro voilà ce sont les deux possibilités alors celle là x -3 égal à zéro elle est vérifiée 6 est égal à 3 et puis la deuxième ex plus cette égal à zéro elle est vérifiée 6 est égal à moins 7 donc les solutions de l'équation ceis également égal 3 ou x égal moins 7 et puis ça on peut toujours le vérifier ça c'est un bon réflexe à prendre un vérifie toujours les solutions que tu as trouvé on va regarder on va prendre par exemple 3 au carré on va prendre x égal 3 et on va regarder il se terrait + 4 x il faut que ça faut trouver 21 donc si je remplace x par trois sa fait 3 au carré + 4 x 3 ça fait neuf +12 ça fait 21 ça marche et je vais essayer avec l'autre si je prends moins sept au carré plus quatre fois moins 7 là ça fait moins 7 aux caresses a fait 49 et puis ici on a quatre fois moins 7 c'est à dire moins 28 49 - 28 ça fait encore une fois 21 voilà donc effectivement on l'a vérifié ces deux solutions ça marche on va continuer on va en faire quelques uns pour s'entraîner alors par exemple on va essayer de résoudre cette équation la xo carey +49 +49 égale 14x voilà alors là comme tout à l'heure le réflexe c'est de mettre tous du même côté du signe égal 1 pour avoir un polynôme égal à zéro alors ben là bas il suffit de soustraire 14x des deux côtés donc on va pouvoir écrire ça comme ça x au carré - 14 x + 49 égale 14 x - 14 x 0 voilà donc une fois que j'ai fait ça je vais faire comme tout à l'heure c'est à dire que je vais essayer de factoriser cette expression qui est ici alors je peux le faire en cherchant à -b comme on a fait tout à l'heure mais ici est quelque chose qu'on peut remarquer c'est que en fait la 49 c'est un carré 49 c7 au carré ou alors moins sept au carré et du coup cette expression là ce trinôme là c'est peut-être le carré d'un binôme donc là je vais supposer que c'est le carré de 7 de plus ou moins 7 au carré et là du coup je vais essayer de faire deux fois plus ou moins 7 mais comme il va falloir que j'ai un signe négatif il faut que je trouve moins 14 je vais être obligé de il faut que je prenne en fait moins 7 et là je vais avoir deux fois moins 7 qui fait bien moins 14 donc ça veut dire que j'ai trouvé ma factorisation 2x au carré - 14 x puisque 49 je vais pouvoir écrire ça comme ça ça fait alors je vais reprendre le jeu ça fait x plus -7 1 x plus à x x -7 égal à zéro puisque là je m'occupe de l'équation bon ça je peux l'écrire comme ça c'est x -7 élevée au carré égal à zéro et puis alors la solution les solutions de ceux de cette équation là du coup c'est il faut que l'un des deux facteurs soit égal à zéro c'est à dire que x - 7 soit égal à zéro ou bien que x mois 7 soit égal à zéro donc ça on peut l'écrire directement en fait comme ça on va pas dire deux fois la même chose il faut donc que x - 7 soit égal à zéro ce qui donne que la solution cette fois ci en a qu'une c'est x égal à cette voie là et l'âge belge t'encourage à vérifier que cette seule solution qu'on a trouvé ici elle marche en calculant xo carey +49 avec x égale 7 et puis 14 x avec 6 x égale 7 et puis tu dois trouver les mêmes résultats alors on va en faire encore quelques-uns alors cette fois ci on va faire par exemple un petit peu différent x au carré cette équation la xk ray -64 égal à zéro bon on reste un peu différent parce que on à ixxo carré - 64 n'y a pas de terme en x n'y a pas de terreau monique cette fois ci mais en fait on veut toujours sera menée aux quatre tout à l'heure on peut toujours écrire que c'est x au carré + 0 x -64 ça c'est la même chose donc on va chercher les solutions de cette équation laïque socar est plus héroïque soit 64 égal à zéro alors là on va essayer de factoriser et puis ça on peut le faire du coup exactement de la même manière que tout à l'heure c'est à dire que on va essayer de chercher deux nombres a et b tel que le produit ici ab ça fait moins 64 et la somme ça fait zéro voilà alors on va réfléchir un petit peu quand on a un produit qui fait ab qui fait moins 64 qui est négatif ça veut dire que a et b ils sont deux signes contraires et puis quand on dit que a + b doit être égale à zéro a + b doit être égale à zéro ça ça veut dire que à deux têtes régala moimbé en fait donc là on voit bien que a et b doivent être de signes contraires mais par contre ce que ça apporte de plus c'est que a et b sont des nombres opposée ce sont les nombres pose est donc finalement alors là je vais effacer tout ça parce qu'on n'a pas vraiment besoin donc finalement il faut que je trouve un nombre à dont tels que quand je fait mouche à foix - ah je trouve 64 - 64 pardon alors 64 ses 8 x 8 donc quand je fais moins 8 x 8 j'obtiens -64 donc ça doit être un bon candidat - 8 x 8 ça fait 64 et quand j'écris -8 +8 ça fait zéro ça marche aussi un voilà donc finalement de ça je peux déduire la factorisation que je cherchais c'est à dire que notre équation je vais pouvoir l'écrire comme ça x + -8 donc x - huit facteurs de x + 8 ça c'est notre à moins 8 et ça c'est notre b8 donc l'équation va s'écrire x - 8 x x + 8 égal à zéro voilà donc ça après on peut la résoudre mais enfin je vais faire quand même une petite parenthèse parce que là on a fait tout ce cette méthode là pour arriver à cette factorisation c'est un petit peu artisanale quand même ce qui serait pas mal c'est d'arriver à se souvenir à reconnaître une identité remarquable qu'on a vu plusieurs fois et qui est celle là hein quand on a un produit comme ça a plus b fois à moimbé ça si on développe on voit que ça fait à au carré - b au carré donc ça c'est important parce que de ça on aurait pu tout de suite parce qu'à partir en se souvenant de cette identité remet donc ça c'est important parce que en se souvenant de cette identité remarquable on aurait pu factoriser immédiatement le pôle ce polinum du second degré donc ici on aurait pu dire que x au carré c'est notre à au carré et puis bo caresser 64 donc baisser 8 voilà donc x égale donc x ça serait donc à se ré x et baisserait 64 et on pourrait écrire directement cette factorisation la voie là pour ça c'était une petite parenthèse s'achetant courage à t'entraîner reconnaître les identités remarquables ça te fera gagner beaucoup de temps alors maintenant il faut finir et résoudre cette solution à cette équation là donc on a x - 8 x x + 8 égal à zéro pour que ce soit vrai il faut que au moins un des deux facteurs soit égal à zéro donc on doit avoir un x -8 égal à zéro ou bien x + 8 égal à zéro la première expo et 8 égal à zéro ça équivaut à dire que x est égal à 8 1 seule possibilité est la deuxième c'est x + 8 c'est pardon x égal à -8 parce que jeune fille que je soustrais 8 des deux côtés donc je fais moins 8 des deux côtés et je trouve x égal moins 8 voilà alors comme tout à l'heure je t'encourage à vérifier que les solutions sont les bonnes alors on continue bon je vais en faire encore un ou deux heures par exemple celui là mais je vais m'en va en faire des deux types différents types là par exemple ça x au carré - 24 x + 144 égal à zéro voilà ça sur les poissons encore bon ce qu'on peut remarquer ici c'est que ici en à 144 144 ses 12 au carré 1 et puis 24 c 12 x 2 donc moins 24 c'est deux fois moins 12 et donc on peut voir que ici c'est on a 10 12 au carré ça peut être moins 12 au carré 1 c'est moins 12 fois moins 12 et là c'est moins 12 plus - 12 donc là on a trouvé deux nombres entiers enfin ces deux fois le même mais on a trouvé de nombreux a et b avec à égal de -12 et pega mois 12 si dont le produit fait 144 et puis la somme fait moins 24 ce qu'est ce qu'on veut ce qu'on a ici comme coefficient 2 x donc finalement on en déduit d'après ce qu'on a comme on a fait tout à l'heure on réduit tout de suite une factorisation de ce pauline de ce polynôme la cx - 12 x + -12 donc x - 12 x x -12 égal à zéro du coup puisque ça c'est l'équation qu'on a donc ça je peux l'écrire comme ça c'est x - 12 au carré égal à zéro et puis là il ya qu une seule possibilité qui répétait deux fois c'est que kick x - d'où soit égal à zéro ou x -12 égal à zéro donc on va dire qu'une seule fois la solution cx -12 il faut que x - 12 soit égal à zéro donc là pour trouver la valeur de x on ajoute 12 de chaque côté et on trouve que x doit être égale à 12 voilà bon on va en faire encore un dernier vraiment pour être sûrs d'eux que ce soit bien ancrée dans dans ton esprit je vais préparer tout ça là on en a un là on en a un autre que je vais en faire un ici alors par exemple on va faire ça 4x au carré - 25 égal à zéro voilà alors bon là il faut se rappeler a essayé de vraiment jouer avec ça avec les identités remarquables qu'on a ici ça c'est un carré - un carré donc si on peut dire que ça c'est à au carré et sa cb au carré on va se retrouver exactement dans la situation qu'on avait ici à au carré mois bo carré et on va pouvoir factoriser ça de cette manière là en disant que c'est a + b fois à - b donc là je vais le faire donc je vais faut juste explicite et bien et faire attention et on sait qui est à au carré à aux caresses et 4x au carré donc à c'est la racine carrée de 4 c'est à dire deux fois la racine carrée de xo carey c'est à dire x donc assez 2x effectivement quand on n'élève à au carré ça fait 2 x x 2 x c'est-à-dire 4x au carré ça marche et puis bbb aux caresses et 25 b c 5 voilà alors du coup on en déduit la factorisation immédiatement la factorisation de 4x au carré - 25 c'est 2 x donc a + b donc 2x plus cinq facteurs de à moimbé donc 2x moins cinq voix là et ça ça doit être égale à zéro maintenant on va résoudre l'équation donc pour que cette équation soit égal à zéro il faut que l'un des deux facteurs soient nuls donc on doit avoir soit 2 x + 5 égale à 0 soit 2 x -5 égal à zéro donc 2 x + 5 égal à zéro ou 2x moins cinq égal à zéro voilà donc maintenant on va juste continuer résoudre ces deux ces deux équations l'a1 du coup ça c'est vrai si 2x est égal à moins 5 là je suis j'ai juste ajouté moins 5 des deux côtés un donc ça me donne 2 x égal à moins 5 ensuite pour trouver x bats je divise par 2 donc je trouve que x doit être égale à -5 2 me voilà et puis ou bien de l'autre côté quand je fais la même chose avec l'autre je trouve que alors j'ajoute 5 des deux côtés ça ne fait 2 x égale 5 et puis je divise par deux pour trouver x x égale 5,2 me donc finalement les deux solution de cette équation la cx égale -5 2 me et puis x égale 5,2 me voilà bon ben là je pense que on en a fait assez sains que ça doit être assez clair dans ton esprit tu peux continuer à s'entraîner tout seul