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Résolution algébrique d'un système d'équations du second degré

Transcription de la vidéo

dans les vidéos précédentes on a vu qu'on peut trouver les solutions de n'importe quel système d'équations non linéaire en représentant toutes ces équations par leurs courbes représentatives et les points d'intersection entre ses courbes représentent les solutions au système ici on te dit de résoudre ce système par substitution et tu verras que dans certains cas c'est possible dans celui là par exemple on a cette première équation il rec est égal à 2 x car et + 3 x - 6 et 7 2e équation qui nous dit que y est égal à moins x car et donc y doit être en même temps égal à cette expression est à cette expression ces deux expressions son briquet galles on peut substituer ce y ici par l'expression expression dans la première équation on peut le voir comme ça voilà la substitution à laquelle on opère et donc on a ceux de x car et + 3 x - si ce qui est l'expression de y dans la première équation qui doit être égale à son expression dans la 2ème équation c'est à dire moins x carré et on va maintenant réarranger les termes de cette de cette équation en ajoutant d'abord x carré des deux côtés on obtient 3 x car et + 3 x - 6 est égal à zéro et on va diviser par trois lancements de l'équation parce qu'on est que des multiples 2,3 et on obtient x carré plus x - 2 est égal à zéro donc trouver les racines de ce trinôme revient à trouver x pour trouver les racines d'un trinôme tu connais par coeur sûrement le d'expression x est égal à moimbé plus ou moins à racine discriminant ont divisé par deux à mais dans ce cas précis il y a une méthode qui va un peu plus vite où on peut hein récrire cette expression donc il serait plus 6 - 2 on sait qu'elle peut se réduire sous la forme x plus un nombre x x + 1 entre nombre c'est une forme factoriser de ce trinôme et donc maintenir ce trinôme est égal à zéro comme équation et si tu imagines que tueur développe cette expression en celle ci est maintenue verra qu'il faut que la somme de ses deux nombre soit 1 dans ce qu il correspondra aux facteurs qu'on a en face de x on aura x fois ce nombre plus x x x ce nombre donc donc la somme des 2 nombre de données 1 et la multiplication des deux nombre de données - 2 et ça c'est possible seulement si l'un des deux nombres est égal à 2 et l'autre nombre est égal à -1 donc on a x + 2 x x - 1 est égal à zéro et lorsqu'on a la bulle type lication de deux nombres est égal à zéro cela veut dire que soit le premier nombre est égale à 0 soit x + 2 est égale à 0 soit x - est égal à zéro l'un des deux doit être égale à zéro pour que cette multiplication soit égal à zéro donc on a ces deux options possibles et on peut conclure du coup sur les deux valeurs possibles 2x qui sont x est égal à - 2 et x est égal à 1 voilà les deux possibilités pour x et pour chaque cas on peut trouver rapidement quelle doit être la valeur de hydra car on sait que y est égal à moins x carré alors moins -2 au carré ça fait quoi ça fait moins 4 donc lorsque x égal moins deux y est égal à -4 et -1 au karé ment ça fait ça fait moins 1 lorsque x égal 1 il va qui est égal à -11 1 on a trouvé les deux couples solution les deux équations va tout de même vérifier que ça marche pour la pour l'équation jaune parce que là on vient de le faire pour l'équation verte mais -2 au carré donc deux fois moins de au carré plus trois fois moins 2 - 6 est ce que c'est bien égal à -4 est-ce que ce couple - de - 4 ça marche bien pour cette première équation moins de 44 voix de 8,8 -6 2 2 - 6 ça fait bien moins 4 oui on a vérifié que ce couple lesbien solution de l'équation jeunes également est-ce que ce couple là les aussi lorsque x est égal à 1 on a 2 + 3 5 - 6 - oui y est bien égale à -1 lorsque hic ces gars là alors on a bien vérifié que ces deux coupes sont solution du système d'équations maintenant on va les représenter graphiquement c'est deux équations et visualiser ces deux solutions donc bien voir graphiquement que ces deux couples sont représentés par des points qui sont les intersections des courbes jaune et verte représentant d'abord le premier point d'intersection - 2 - 4 et le deuxième 1 - 1 1 - 1 représentons maintenant les courbes des deux équations d'abord l'équation verte c'est le plus simple elle doit passer par ces deux points ça va on l'a déjà vérifié et en fait c'est la même chose que la courbe y égal à x carré mais la forme opposé de celle ci sont symétriques par rapport à l'exercice donc la forme en cloche et non la forme en u donc le point 0-0 et sur cette parabole et cette parabole ressemble à ça ou on aboutit par exemple ici au point - troyes - daf et on a le symétrique de l'autre côté voilà ça c'est y est égal à moins x carré et pour obtenir la parabole qui représente cette équation y est égal à 2 x car et + 3 x -6 d'abord on doit trouver son sommet si on n'arrive pas à placer le sommet on aura du mal à tracer cette parabole donc le sommet et on l'obtient x est égal à quoi x est égal à - b sur deux a c'est à dire moins 3 / 2 x 2 donc moins trois quarts on à son sommet pour x est égal à moins trois quarts et pour y est égal à quoi il faut substituer x dans l'expression donc moins trois quarts au carré ça donne 9/16 9/16 x 2 9 8e donc y est à étayer la 9 8e - donc plus 3 et que ça fait moins neuf car moins neuf cas ou encore moins 18 8e comme ça on met tout sur huit donc là on a 9 8e ont 18 8e - si ce qui est la même chose que -48 8e s'il faut à 8,48 en 48 8e ce qui veut dire que y est égal à 9 - 18,7 à 21h51 et - 9 - 48 ça fait moins 57 donc en fait on a moins 57 8e c'est la même chose que -56 8e c'est à dire - 7 - 1 8e - sept mois un 8e donc moins 7,125 alors ça veut dire que le sommet on l'obtient lorsque x est égal à -3 car c'est à peu près ici et lorsque y est égal à - 7,125 c'est tout proche de - 7 ici donc voilà on a le sommet à peu près là ça c'est un pro qui on ne prétend pas faire une représentation graphique vraiment exact mais là maintenant on a le sommet on a deux points par lequel passait de paraboles donc on sait que cette parabole va à peu près ressembler à quelque chose comme ça voilà c'est une parabole qui doit être plus pentue que la parabole verte parce qu'on a un facteur 2 ici on a 1 2x carrés au lieu de 2 x carré voilà donc on a deux représentations de y est égal à 2 x car et + 3 x -6 et on visualise maintenant à la courbe raison représentatif de la première équation la parabole représentatif de la deuxième on voit qu'elle se coupe coupe effectivement bien en deux points et pas et pas d'autres il n'y a pas d'autres points d'intersection et ses deux points d'intersection représentent les deux couples solution à notre système d'équations c'est à dire 1 -1 et -2 -4