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Déterminer les caractéristiques d'une fonction du second degré

Transcription de la vidéo

alors ici j'ai choisi trois fonctions du second degré 3 fonctions différentes du second degré bon elle s'appelle toutes les trois f1 mais ce sont vraiment trois fonctions différentes alors ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est essayer de terminer déjà les héros de ses fonctions de chaque fonction des 0 alors les héros c'est en fait les apsys des points d'intersection avec l'axé des abscisses ça qu'on appelle les héros d'une fonction ce sont les valeurs de la variable qui annule la fonction donc ça on va le faire dans les trois cas et puis je voudrais aussi qu'on détermine les coordonnées du sommet en coordonnées du sommet alors évidemment je n'ai pas dit tout à l'heure mais ce sont des fonctions du second degré qui vont toutes les trois représenter des paraboles donc elles ont un sommet qu'on va essayer de déterminer et puis on va aussi essayer de déterminer la kz2 symétrie de chaque parabole l' axe de symétrie de chaque parabole alors dans les trois cas cet axe de symétrie sera en fait une droite verticale alors on va commencer avec la première fonction f de thé égale témoins cinq au carré - neuf donc ce type de forme là c'est ce qu'on appelle la forme canonique et on va voir qu'elle a un intérêt particulier pour certaines pour déterminer certaines de ses caractéristiques on va commencer par les héros alors les héros donc pour déterminer les héros il faut trouver les valeurs de la variable tu es ici la variable c'était qui annule la fonction donc ça revient à trous a trouvé en fait les racines de ce polynôme qui est là donc on va résoudre cette équation là tu es moins 5 au carré -9 égal 0 voilà et on va résoudre cette équation de manière classique donc déjà je vais ajouter neuf des deux côtés et j'obtiens témoins cinq au carré égal 9 donc je peux prendre la racine carrée et du coup ça me donne que tu es moins cinq peut-être égal à la racine carrée positive de neuf donc 3 ou témoins cinq peut-être égal à la racine carrée négatif de neuf c'est à dire à moins 3 voilà et donc cette valeur si tu es moins cinq égal 3 ça me donne tes égale 8 là j'ai tout simplement ajouter 5 des deux côtés et puis la deuxième valeur j'ajoute 5 des deux côtés et j'obtiens t égal 2 donc les héros de la fonction ce sont les points de coordonnées ici 8 0 et 2 0 ici j'ai déterminé les abscisse de c0 et évidemment les ordonner sont égales à zéro puisque ce sont les points d'intersection avec l'axé des abscisses alors maintenant on va continuer on va essayer de déterminer le sommet première façon c'est de se dire que en fait le lapsus de ce sommet c'est le point qui sera équidistant de 8 et de deux de ces deux valeurs là puisque la courbe est symétrique et que l' axe de symétrie passe par le sommet donc ce qu'on peut faire c'est déjà pour déterminer la psy sont peu dire que ces 8 + 2 sur 2 ça c'est le milieu de l'intervalle 8-2-1 donc eu de plus de ça fait 10 / 2 ça fait 5 donc en fait les l'abscisse du sommet c'est 5 et puis leur donner du sommet bien c'est l'image de 5 par cette fonction donc on peut le calculer directement remplaçants y cité par cinq ce terme là ça fait 5 - 5 aux caresses dire zéro au carré et donc on trouve que f 2,5 c - neuf donc l'ordonné du sommet c'est moins voilà alors là on a déjà pas mal d'indication en fait on peut déjà se faire une idée de la courbe donc je vais faire un croquis assez rapidement je trace mon maxi cie voilà ça c'est l'axé des abscisses là j'ai pas beaucoup de place est donc ici sa porte la valeur la variable t et là c'est la variable pour dire y donc je peux placer déjà les héros alors on a dit que c'était les points de corde d'apsys le premier ces deux donc je vais placer ici sa c2 et l'âge et le point d'apsys 8 ici est donc le sommet c'est le point médian le milieu du segment de 8 qui a pour abscisse 5 voilà ensuite le sommet on a dit qu'il s'était le point d'apsys 5 et d'ordonner -9 donc je veux dire que mon neuf c'est ici ça c'est moins neuf et donc le sommet il est là voilà donc je peux tracé rapidement manière très très approximative mais quand même assez proche de la réalité 7 la parabole correspondante elle va elle arrive comme ça elle passe par le premier 0 elle passe par le sommet elle remonte elle passe par le 2e 0 voilà ça c'est donc la lure général de la courbe est ce qu'on peut faire c'est ajouter l' axe de symétrie assez facilement puisque l' axe de symétrie en fait c'est la droite verticale qui passe par le sommet donc en fait c'est cette droite là je la dessine est comme ça voilà ça c'est l'axé de symétrie qui a pour équation y égal 5 voilà bon tu vois qu'on a réussi à déterminer assez facilement le zéro les deux héros le sommet et la kz2 symétrie maintenant on va passer à la deuxième alors ici donc c'est une fonction qui s'appelle f aussi de variables x et les données en fait sous la forme qu'on appelle forme factoriser puisque ça produit 2,2 terme et cette forme là c'est très pratique évidemment pour trouver les héros de la fonction puisque dans ce cas là on doit juste résoudre l'équation x + 2 x x + 4 égal à zéro qui est déjà factoriser et dont les solutions sont x + 2 égal à zéro ou x + 4 égal à zéro donc on trouve immédiatement là on soustrait deux des deux côtés donc on obtient x égal moins 2 ou x égal moins 4 donc ça ce sont les 2 0 c'était déjà quelque chose c'est assez facile à déterminer ici donc ça c'est lé 0 maintenant on va déterminer le sommet alors le sommet on va faire la même chose le même raisonnement l'abscisse du sommet c'est le milieu du segment - 2 - 4 et le milieu du moins du segment - de - 4 on va on peut le calculer comme ça c'est moins de -4 divisé par deux alors - 2 - 4 ça fait moins 6 / 2 ça fait moins trois donc l'abscisse du sommet en fait c'est moins 3 et puis l'ordonnait du sommet bien cf de -3 à l'image de moins 3 on peut le calculer facilement aussi on remplace x par -3 donc là on va avoir moins 3 + 2 ça fait moins un ici - 1 x - 3 + 4 qui est égal à 1 donc on a en fait moins 1 fois ça c'est tout simplement moins 1 voilà donc le sommet c'est le point de coordonner - 3 - 1 et donc l' axe de symétrie c'est une droite verticale qui passent par ce sommet donc c'est la droite d'équations x égal moins 3 ici aussi j'ai pas mal d'informations pour tracer rapidement un croquis donc je vais le faire comme ça ça c'est l'axé des abscisses qui porte les variables la variable x lax désordonnée ici gx ici j' y alors je les place et déjà les héros qui sont les points d'apsys x égales - 2 je vais le mettre ici ou 1,2 et du coup moins quatre là voilà le sommet maintenant c'est le point d'orgue d'apsys -3 donc ici - 3 c'est là au milieu et d'ordonner - 1 - 1 je vais le mettre on va dire que c'est la voilà donc ça c'est moins 1 et le sommet c'est donc ce point-ci alors on a un max de symétrique est donc cette droite verticale comme ça voilà et la parabole que représente cette fonction elle est donc comme ça elle passe par le premier 0 elle passe ensuite par le sommet elle remonte en passant par le deuxième 0 voilà donc cette partie là et cette partie là sont symétriques par rapport à l' axe de symétrie est donc cette droite là j'ai oublié de le rajouter c'est la droite d'équations x égal moins 3 voilà on va passer maintenant à la dernière rêve de x égale 6/4 et + 6 x + 8 alors ça c'est ce qu'on appelle la forme développée d'une fonction du second degré un polynôme et développer et donc pour trouver les héros de cette fonction là eh bien il faut résoudre l'équation x au carré plus 6 x + 8 égal zéro donc pour résoudre cette équation là il faut arriver à la factoriser et si la factorisation de polinum du second degré n'est pas très clair pour toi je t'encourage vivement à les regarder les différentes vidéos qu'on a fait là dessus on peut évidemment passer par le discriminant mais ici on peut le faire plus rapidement en passant par la somme et le produit donc on peut chercher deux nombres dont la somme est égal à 6 et le produit est égal à 8 heures ici on doit trouver deux noms dans la somme est égal à 6 et le produit est égal à 2 et si on prend 2 et 4 est bien on aura quatre plus de galles 6 et 4 x 2 et gars lui donc ça va marcher ce qui veut dire que le polynôme si ce factories de cette manière là c'est x + 2 x x + 4 donc l'équation qu'on doit résoudre ses x + 2 x x + 4 égal à zéro c'est pas convaincu tu peux redévelopper pour te convaincre on retrouve effectivement le polynôme du départ et en fait ce qu'on peut voir aussi c'est que finalement cette fonction-là qui est donnée par cette expression développer c'est la même que cette fonction sic et de me donner sous forme factoriser en fait ce sont vraiment les deux mêmes fonctions qui sont écrites sous forme sous des formes différentes et donc cette fonction-là f aura exactement les mêmes caractéristiques que celles ci elle va avoir des zéros qui seront -2 et -4 très puis un sommet de coordonner - 3 - 1 est un axe de symétrie x égal moins trois bombes et donc on pourrait être assez exactement la même représentation graphique qu'ici