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Exploiter les différentes expressions d'une fonction du second degré

Transcription de la vidéo

je te propose dans cette vidéo de réfléchir à comment est-ce qu'on pourrait écrire cette fonction si on voulait déterminer les coordonnées des points où la courbe couple axes des abscisses et puis on va aussi réfléchir comment est-ce qu'on pourrait modifier cette même fonction pour trouver son minimum en effet le coefficient devant x au carré est positif donc la représentation graphique de ce polinum du second degré est une parabole tourner vers le haut donc la représentation graphique de cette fonction ressemble à quelque chose comme ça c'est une parabole tourner vers le haut et on se demande ici sous quelle forme on pourrait transformer cette fonction pour déterminer les points d'intersection entre la parabole et puis l'axé des abscisses donc les points où la courbe la parabole couple axes des abscisses et peut-être qu'on peut aussi manipuler cette même fonction pour déterminer quel est le minimum de cette parabole quel est son sommet c'est-à-dire ce point là enfin pour l'instant on ne sait pas vraiment où la parabole de cette fonction se situe par rapport à l'axé des abscisses ni quelle forme elle a réellement et je t'encourage à mettre pause sur la vidéo pour y réfléchir un petit peu par toi même une façon pour trouver les racines de cette fonction c'est-à-dire là où les valeurs de x pour lesquels f 2 x égal zéro c'est de factoriser cette expression pour ça on cherche de nombre tel que leur produit égal +6 et leur somme égale moins 5 comme leurs produits et positive 1 c'est plus 6 ça veut dire qu'on doit trouver deux nombres de même si ni et comme leur somme est négative c'est moins 5 ça veut dire que ce sont deux nombres négatifs - deux fois moins 3 c'est bien plus 6 - de plus - 3 c'est bien moins 5 donc on peut réécrire eve 2 x égale x - 2 x x - 3 et comment est ce que ça nous aide pour trouver les racines les racines ce sont les valeurs de x qui permettent d'annuler f 2 x et fdx égal zéro aussi au moins un de ces deux facteurs est égal à zéro donc f2i xigaze 06 - 2 égal zéro ou bien x -3 égal 0 autrement dit si x égal 2 ou bien x égal 3 et voilà les deux racines de cette fonction donc si vous voulez représenter sa graphiquement un peu plus précisément on aurait dessiné nos deux axes avec ici y égale f 2 x et puis ici l'axé des x on a un deux trois et on a un autre racines ici et ici les points d'intersection entre notre parabole et l'axé des abscisses donc la parabole couple axe dx a2 et a3 car ce sont les points pour lesquels fdx égal zéro tu peux d'ailleurs amusé à vérifier ça aux remplaçants x par deux et puis ensuite x par trois temps ce polynôme là et tu trouveras bien que fdx égal zéro maintenant comment est-ce qu'on peut réécrire cette même fonction pour déterminer le sommet alors il est déjà bien à l'aise avec la méthode de complétion du carré et il me semble que ça serait utile pour déterminer le sommet alors je vais d'abord écrire ce polinum tel quel dans un premier temps on a f 2 x égale x au carré - 5 x + 6 et je laisse un peu d'espacé ici parce que ce qu'on va faire c'est ajouter et soustraire le même terme de façon à obtenir un trinôme carré parfait à partir de ces deux premiers terre sans pour autant modifier la fonction de départ alors si tu sens que tu as besoin d'un petit rappel de tout ça je t'encourage à regarder les vidéos précédentes sur la méthode de complétion du carré alors ici on prend moins cinq et on prend la moitié de sa moins 5 sur deux on met ça au carré et c'est le terme qu'on ajoute ici qu'est ce que moins 5 sur deux au carré en nombres négatifs au carré devient positif 5 aux caresses et 25,2 au carré ces quatre donc ici on ajoute +25 sur quatre et pour conserver la fonction il faut qu on soustrait 25 sur 4 de ce même côté on aurait aussi pu ajouter 25 sur quatre de l'autre côté mais ça n'a pas vraiment de sens de faire ça ici alors ce trinôme carré parfait qu'est-ce que ça devient si on le factories on obtient x moins 5 sur deux le tout au carré et ensuite on peut simplifier les deux termes restants 6 c'est comme 24 sur quatre 24 sur quatre mois 25 sur quatre c'est moins un sur quatre et donc on vient juste de réécrire notre fonction de départ c'est toujours f 2 x mais en quoi est ce que ça nous intéresse pour déterminer le sommet et bien ce binôme là ne sera jamais négatif la valeur minimum de ce binôme c zéro puisque cette expression est tous car et donc ça ne va jamais être négatif si on est dans le cas de réel bien sûr alors quand est ce que cette expression atteint son minimum c'est-à-dire 0 et bien quand x moins 5 sur deux égal zéro autrement dit quand x égale 5/2 et qu'est ce que f 2 x quand x égale 5/2 f25 demi c'est égal à est bien quand x égale 5 2 me ce terme ça devient 00 au carré c'est zéro il nous reste donc moins un sur quatre donc le sommet de cette parabole c'est le point 5 2 me -1 sur 4 x égale 5 demi c'est comme x égale 2,5 c'est ici ensuite y égales - sur quatre - 1 c'est ici moins un sur quatre c'est à peu près par là donc le point 5/2 2.5 demie moins un sur quatre c'est ce point là donc voilà notre sommet et notre parabole aura donc à peu près cette allure là ce qui est intéressant dans cet exercice c'est qu'on peut utiliser différentes formes d'un même polinum pour comprendre différents aspects d'une fonction