Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction - Exemples

alors on va continuer à faire quelques exercices pour s'entraîner à déterminer le domaine de définition d'une fonction alors je vais prendre l'exemple d'une fonction je vais prendre par exemple cette fonction là que je vais appeler g2x et elle va être défini de cette manière là donc c'est là ce que je vais faire c'est de donner la définition de la fonction qui permet à partir d'une valeur x de calculer son image et cette image elle est donnée de cette manière là c'est un divisé on va dire par racine carrée de 6 - valeur absolue ii x6 racine carrée de six mois valeur absolue de x donc comme d'habitude essaye de mettre sur pause et de trouver de ton côté l'ensemble de définition de cette fonction j'ai donc c'est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles cette définition là a du sens et pour lesquelles on peut effectivement exécuté ce calcul alors bon une bonne manière de faire qui est assez efficace c'est donnons pas de chercher toutes les valeurs pour lesquelles x est définie mais de se dire je vais déjà chercher celles pour lesquelles l'image d'un nombre n'est pas défini alors en fait ça consiste à regarder les opérations qui sont impossibles il ya des opérations impossible d'affaires et dans cette définition là on va essayer de repérer ces opérations impossible enfin plus exactement les opérations indéterminée donc celle qu'on ne peut pas faire ici déjà on a 1 / quelque chose donc on peut pas / 0 2 ce qui veut dire que le dénominateur qui hélas ne doit pas être nulle il doit être différente 0 et puis si on regarde un peu plus ici on a une racine carrée alors ce qu'on sait c'est que on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif donc il faut que l'argument enfin là l'expression qui est à l'intérieur qui est sous le signe de racine carrée donne un nombre positif alors si je récapitule ce que je viens de dire je dois avoir un dénominateur qui est non nul donc la racine carrée de toute cette expression là doit être non nul et puis je dois aussi avoir une expression à l'intérieur de la racine carrée qui est qui et positive qui peut être nul parce qu'on peut très bien avoir cette valeur là qui est égal à zéro et calculer la racine carrée 2 0 ça fait zéro de la racine carrée de zéro tout à fait défini donc si je récapitule ce que je viens de dire ici ce qui est à l'intérieur de la racine caresse ça doit être ça ne peut pas être nul ou négatif nulle ou inférieure à 0 et si je prends tout la racine carrée ici tout ça hein eh bien ça ça ne peut pas être nul ça ne peut pas être nul alors ça en fait c'est toutes les opérations que je dois éviter maintenant je vais pouvoir inverser et ce il me dit ah bah j'ai est défini si je ne suis pas dans ces cas là donc en fait je écrire ça comme ça j'ai et définit la fonction j'ai est défini si je peux même dire si et seulement si que j'écris comme ça avec deux aces ça ça veut dire si et seulement si mais en fait je vais pouvoir me servir du travail que j'ai fait à verre avant en disant que j'ai défini si et seulement si 6 - valeur absolue de x est positif strictement positif puisque dans ce cas là je vais avoir un argument de la racine carey qui sera donc supérieure à zéro donc on pourra calculer et puis jean lève aussi la possibilité d'avoir cette valeur là égal à zéro donc d'avoir racine carrée 2-0 au dénominateur donc j'enlève le la division par zéro donc si je regarde l'ensemble des valeurs qui vérifie ça eh bien je vais effectivement avoir toutes les valeurs pour lesquelles j'ai est définie alors maintenant on va travailler un petit peu sur cette cette condition là donc je peux par exemple ajouté valeur absolue de x des deux côtés j'ajoute valeur absolue de x ici et ici je fais les calculs et j'obtiens ici alors là j'ai six mois valeur absolue dx plus valeur absolue de x donc les six qui doit être supérieure à zéro + valeur absolue de x donc 6 supérieur à valeur absolue de x voilà alors là j'ai une autre j'ai transformé un peu ma condition je vais la réécrire comme saïx valeur absolue de x pardon doit être plus petit que six ça ça veut dire que x doit être à une distance inférieure à 6 de l'origine donc de zéro alors je peux écrire écrire ça de cette manière là en fait ça veut dire que x doit être plus petit que six est plus grand qu'eux - 6 ces deux conditions là sont les mêmes voilà là on a déterminé le domaine de définition je peux le ré écrire différemment je vais leur écrire comme ça l'ensemble de définition l'ensemble de définition donc on souvent décrit comme ça des 2g et bien je vais l'écrire correctement enfin dans un langage mathématique rigoureux c'est l'ensemble des nombres x réel donc x appartenant à air telles que tel que x est compris entre - 6 et 6 voilà et la gelée définie de manière tout à fait rigoureuse j'aurais pu l'écrire aussi en utilisant les notations intervalles en intervalles donc ici on à l'intervalle de valeur compris entre - 6 et 6 avec les bornes exclut donc je vais l'écrire comme ça c'est l'intervalle ouvert - 6 6 voilà alors on va faire un deuxième exemple pour que ce soit plus clair alors je vais prendre un exemple un petit peu plus bizarroïde un jeu juste pour que soeur ça nous change un petit peu qu'on s'amuse un petit peu donc je vais prendre cette fonction là h2x la ph et h2x je vais l'être définir cette manière là ça va être alors faire quelque chose d'un peu intéressants ce qu'on va dire x + 10 / alors x + 10 x x - 9 par exemple est multiplié par x moins 5 par x moins cinq voix là et ça c'est la définition de hache pour enfin si x est différent de 5 et puis si x est égal à 5 on va dire que la fonction hcl vos pis donc h2x est égal à pie xi x est égal à 5 voilà alors comme tout à l'heure mais la vidéo sur pause pour essayer de trouver toi même le l'ensemble de définition de cette fonction là c'est à dire en fait pour pour faire ça peut-être que tu peux réfléchir comme on l'a fait c'est à dire en essayant de trouver les valeurs pour lesquelles h n'est pas défini alors on va le faire ensemble donc ici on a une définition de la fonction qui en deux en deux parties on va dire il ya une partie qu'on doit regarder si x est différent de 5 une autre partie qu'on doit regarder ici ainsi x est égal à 5 alors on va se concentrer déjà sur la première partie la première partie première partie on va regarder cette partie là de la définition de la fonction h et on va essayer de recenser les opérations les valeurs qui donnerait lieu à des opérations indéterminée ou impossible à faire alors ici on a une division donc ce qu'est ce qu'on ne peut pas faire c'est une division par zéro alors quelles sont les valeurs là dedans qui vont donner lieu à une division par zéro je vais l'écrire ici division par zéro alors là si on regarde cette expression là on va avoir une division par zéro ici 6 x + 10 est égal à zéro donc si x est égal à moins 10 voilà ça c'est cette partie là qui va s'annuler on peut avoir une division à 0 par 06 x6 est ce facteur là ça nul donc si x - 9 est égal à zéro c'est à dire si x est égal à 9 et puis si on continue vraiment en regardant uniquement cette expression là eh bien il ya aussi ce facteur là qui peut s'annuler x -5 peu de peut être égal à zéro donc on aura une division par zéro 6 x 5 est égal à zéro c'est à dire si x est égal à 5 mais là il ya quelque chose qu'il faut remarquer c'est que ont effectivement aussi que c'est égal à 5 on va avoir une division par zéro mais en fait cette partie là de la définition de h elle n'est pas valable ne s'est pas celle qu'on doit regarder 6 est égal à 5 ici ici que c'est égal à 5 ans on aura on va regarder cette deuxième partie de la définition donc en fait effectivement si je regarde uniquement cette expression là je vais avoir une division par zéro pour x est égal à 5 mais dans notre cas ici est bien de toute façon on va pas rencontrer le kx est égal à 5 puisque si on rencontre le kx égale à 5 et bien on sera dans la deuxième partie donc finalement les division par zéro qu'on peut rencontrer dans cette première partie de la définition de haches et bien c'est x également 10x égal à 9 et celle là on peut l'enlever puisque elle va pas on va pas la rencontre et dans ce cas là alors là on a presque terminé puisque en fait on a repéré toutes les valeurs qui donnent lieu à une division par zéro mais peut-être que tu te dis qu'il ya quelque chose là qu'on pourrait faire effectivement il ya x + 10 au numérateur et x + 10 dénominateur donc on pourrait simplifier cette expression là mais si on fait ça en fait on mar a pas on on change un petit peu la fonction puisque la fonction telle qu'elle est donnée de cette manière là et bien là n'est pas défini pour x égal moins 10 puisque ça donne lieu à une division par zéro alors que si on simplifie et bien effectivement on va lever cette division par zéro donc on n'aura pas exactement la même fonction il faut faire attention à ça la fonction qui est donnée ici elle n'est pas défini pour x égal à -10 puisqu'on a une division par zéro et donc c'est de cette fonction là qu'on parle si on simplifie par x + 10 6 6 eh bien il faudra quand même faire attention à enlever du domaine de définition cette valeur là x égal moins 10 pour avoir pour garder exactement la même fonction que qu'avant donc voilà là on peut maintenant écrire le domaine de définition de cette fonction-là l'ensemble de définition ensemble de définition eh bien ça sera je vais l'appeler dès 2h et on va l'écrire de cette manière là c'est l'ensemble des nombres réels x appartenant à air donc tels que x est différent de -10 et x est différent de 9 l'ensemble des nombres réels x qui sont différents de -10 et de mots et de neuf et effectivement si on prend n'importe quelle valeur dans cet ensemble là eh bien on va pouvoir calculer l'image de cette valeur par la fonction h même si tu prends x égale à 5 parce que ça peut paraître un peu bizarre si tu prends x égale à 5 eh bien tu ne vas pas être dans cette partie là de la définition de la fonction mais dans cette partie là ici x égale à 5 donc tu vas pouvoir définir h25 et h25 eh bien c'est dit puisqu'on est dans cette partie là de la définition donc tu vois que h et définit même pour la valeur x est égal à 5 et tu peux prendre n'importe quel autre valeur dans cet ensemble l'a donc des valeurs n'importe quelles valeurs différentes de moins dix et de neuf et tu pourras déterminé l'image par h de cette valeur