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Problèmes concrets mettant en jeu une fonction du second degré sous forme canonique

Transcription de la vidéo

on lance un objet depuis un pont la hauteur de l'objet en m x secondes après le lancer est modélisé par la fonction h2x égal moins 5 x x -4 élevée au carré +180 alors on nous pose ces trois questions là d'abord dont on va essayer de trouver la hauteur du pont ensuite après combien de temps l'objet atteint-il sa hauteur maximale et puis enfin au bout de combien de temps l'objet atterit il au sol alors il faut déjà bien se représenter la situation lorsque je vais faire pour ça c'est faire un petit dessin en fait dans un repaire ici verticalement je vais mètres l'altitude à laquelle on est la hauteur de l'objet l'auteur h et puis en abscisse puisque la fonction qui est ici h2x elle me donne la hauteur de l'objet h x secondes après le lancer au cloud c'est la hauteur en fonction du temps écoulé et donc en abscisse je vais mettre le temps écoulé alors habituellement le temps note avec la lettre t mais ici c'est x on l'appelle x donc ici c'est l'origine alors j'ai la hauteur ici en maître de la cde le temps écoulé en seconde alors à l'instant initiale je suis une certaine hauteur qui est cette hauteur là on va le dire ça c'est l'endroit où je suis instant initiale c'est à dire au moment où je vais lancer l'objet et puis mon objet je lance en fait je vais le lancer un petit peu en eau en hauteur est ce qu'il va faire c'est monté un peu atteindre une certaine hauteur et puis commencer à redescendre alors je vais le faire comme ça ça va faire quelque chose comme ça donc c'est une parabole et c'est une parabole qui orienté vers le bas alors comment est ce que je peux être sûr de ça ça c'est moi qui te dis ça pour l'instant mais ce qui est important c'est qu'on nous donne une fonction qui modélise 7,7 hauteur donc la chute de mon objet est ce qui nous assure que ça va être une parabole est bien c'est que cette expression là c'est une expression du second degré si tu développes ce terme là x -4 élevée au carré tu veux avoir des xo carrés et plus d'autres termes plus ou moins d'autres termes derrière que tu vas ensuite x -5 donc le terme dominant ça va être moins 5 x x au carré donc c'est effectivement une fonction du second degré donc qui va représenter une parabole ça c'est certain et puis comme le terme dominant à un coefficient qui est négatif et bien c'est une parabole qui va être orientés vers le bas et ça correspond tout à fait à ce qu'on imagine quand on lance un objet dans une certaine direction ici plutôt vers le haut je lance l'objet dans cette direction là comme ça eh bien ils montent jusqu'à atteindre une certaine hauteur et puis ensuite il redescend jusqu'à atteindre le sol voilà donc cette modélisation correspond bien la situation est maintenant on va essayer de répondre à la première question quelle est la hauteur du pont le rapport entre le pont et la situation c'est-à-dire que quand je lance l'objet je suis en fait sur le pont donc je suis je lance l'objet depuis la hauteur du pont donc si je me trouvais la hauteur du pont en fête ch20 tout simplement puisque c'est la hauteur de l'objet à l'instant où je lance donc un instant initial x égal 0 donc je vais pouvoir calculer ça la hauteur du pont h20 tout simplement à partir de cette expression la remplaçant x par zéro alors ça me donne moins cinq fois moins x 0 - 4 ça fait moins quatre élevée au carré +180 -4 élevée au carré ça fait seize 16 fois moins 5 alors dix fois sain et que ça fait 50 et 6 x 5 ça fait trente donc seize fois moins 5 ça fait moins 80 ce qui veut dire que la hauteur du pont c'est 180 moins 80 c'est à dire 100 m voilà je te laisse reprendre le calcul un peu plus doucement si tu veux à l'instant initial à l'instant où on lance l'objet eh bien on est à une hauteur de 100 m quelle hauteur du pont alors on va passer à la question 2 après combien de temps l'objet atteint-il sa hauteur maximale alors la hauteur maximale en fait tu vois ce qui se passait c'est le moment où l'objet va commencer à redescendre il commence par monter jusqu'à ce point ici là et puis à partir d'ici se remet à descendre vers le sol donc ce qu'on cherche ici c'est après combien de temps c'est une nombre de secondes l'objet acheté at il atteint sa hauteur maximale donc en cherche bout de combien de temps il est arrivé ici dans ce point là et pour ça et bien je vais trouver donc je trouve l'abscisse de ce point alors ce point ici c'est le sommet de la parabole et comment est ce qu'on peut faire pour déterminer sommet alors ici la fonction h en a de la chance elle est donnée sous la forme canonique cette forme là c'est la forme canonique c'est à dire qu'elle fait apparaître en fait directement les coordonnées du sommet alors pourquoi est ce que je dis ça bien tout simplement parce que si je regarde un peu cette la structure de cette fonction là en fait j'ai ici ce terme-là x -4 élevée au carré ça c'est toujours positif toujours supérieure ou égale à zéro et puis si je multiplie par moins cinq ans fait ça veut dire que toute cette partie là elle est négative négatives où nulles toute cette partie là donc signalement ce qui se passe c'est que je j'ai 180 et que je vais enlever quelque chose donc je peux de toute façon pas aller au dessus de 180 ce qui veut dire que cette hauteur là là ici ça c'est le maximum de la fonction donc ses 180 puisque la valeur maximale on voit ici c'est 180 m alors ce qu'on cherche à nous et pas la hauteur maximale c'est malheureusement c'est au bout de combien de temps on m'a atteint cette hauteur maximale et pour trouver ça en fait ce qu'il faut se dire c'est que cette hauteur maximale elle est atteinte quand cette partie là est égal à zéro quand ça c'est égal à zéro donc en cherche quand est-ce que moins 5 x x -4 eelv et au carré est égal à zéro alors ça évidemment c'est vrai si x - 4 est égal à zéro c'est à dire si x est égal à 4 voilà donc ce point là ici c'est le point d'apsys x égale 4 et en fait ça veut dire que l'objet atteint sa hauteur maximale au bout de x égale 4 secondes x égale 4 secondes voilà alors il nous reste sept dernières questions au bout de combien de temps l'objet atterit il au sol ça c'est une question intéressante en fait on nous ment banquet à quel instant ou de combien de secondes on arrive ici le donc l'objet s'écrase au sol dire comme ça et si s'écrase au sol c'est que sa hauteur elle est égale à zéro voilà donc finalement une manière de traduire cette question là est bien c'est qu'on cherche l'instant la valeur de x l'instant x à laquelle la hauteur est égal à zéro ça va être ça corresponde à cette apsys ici h2x égal zéro alors je vais écrire l'équation telle qu'elle est donc j'ai h2x qui est égal à - 5 x x -4 élevée au carré +180 qui doit être égale à zéro je cherche les valeurs de x qui font que cette expression là est égal à zéro alors je vais passer moins 180 de l'autre côté donc ça veut dire que je soustrais 180 aux deux membres de ce côté là à droite du signe égal il me reste ça - 5 poids x -4 élevée au carré qui va être égal à zéro moins 180 c'est à dire moins 180 là je vais divisé des deux côtés par -5 donc gx -4 élevée au carré qui va être égal à 180 / 580 divisé par cinq ça fait 36 donc là d'un point de vue mathématique g2 solution de cette équation là il ya la solution x -4 égal à racine carrée de 36 c'est à dire 6 ou bien x -4 égal à jacinta à - racine carrée de 36 c'est à dire moins 6 alors je vais monter un petit peu ici ça cet équivalent à dire que x est égal à 10 et puis j'ai une autre solution qui peut être x égal moins 6 + 4 c'est à dire x égal à moins 2 alors évidemment on peut ignorer une de ces deux solutions qui est mathématiquement vrai mais qui correspond pas à la réalité puisque sept valeurs laïques segal -2 et bien je peux la supprimer ça correspond à des instants négatif donc qu'ils sont avant le lancer c'est pas du tout ce qu'on peut considérer et du coup la solution c'est celle ci x égale 10 donc ici c'est le point d'abc this ça veut dire que 10 secondes après le lancer l'objet atterri au sol voilà on a terminé l'exercice je pense que c'est assez intéressant de remarquer qu'on a réussi à résoudre assez facilement cet exercice parce que la fonction achat était donné sous sa forme canonique ce qui était bien pratique ici