If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :5:40

Sommet d'une parabole et forme canonique de son équation

Transcription de la vidéo

on a ici un polynôme du second degré et on sait que sa représentation graphique est une parabole et on s'est même que c'est une parabole tourner vers le haut ou convexes peut-être que tu as déjà entendu ce terme là c'est à dire quelque chose comme ça puisque le coefficient devant x au carré et ses 5 c'est positif et on aimerait bien connaître les coordonnées du sommet de cette parabole c'est-à-dire ce point là comme on a une parabole convexe son sommet sera donc son minimum dans la vidéo précédente on a vu plusieurs façons pour déterminer les coordonnées de ce sommet on a une formule l'abscisse du sommet et cxs c'est égal à - b sur deux à qu'on peut facilement appliquer quand on a un polynôme sous la forme générale y égal à x au carré plus bx plus est et c'est ce qu'on a ici avec à ses 5 b c'est moins 20 essais c'est plus 15 donc ça c'est égal à - b - moins 20,1 donc ces vins sur deux fois à deux fois cinq dix vingt divisé par dix ces deux époux retrouver l'ordonné du sommet il suffit de remplacer x par deux dans l'équation on a donc y du sommet est égal à 5 x 2 carrés de au carré ces 4 101 x 4 ces vins moins vingt fois de -40 +15 et saas est égal à moins 5 donc notre sommet c'est le point de coordonner de -5 c'est le point de coordonner de -5 si on imagine qu'on est dans un repaire peut-être comme ceci mais c'est souvent plus intéressant de comprendre le raisonnement qu'il ya derrière ça plutôt que de bêtement appliquer une formule alors déjà si tu te rappelles les formules des racines d'un polinum du second degré on trouve cette formule quand on détermine les coordonnées du milieu du segment entre les deux racine c'est-à-dire les points d'intersection entre la parabole et l'axé des abscisses en effet le milieu du segment entre les deux racines c'est ce point là c'est sur l' axe de symétrie de la parabole est donc ce point à la même abscisse que notre sommet et l'abscisse de ce point là c'est l'abscisse de cette racine plus l'abscisse de cette racine divisé par deux et ça nous donne - b sur deux a mais une façon encore plus intuitive pour repérer ce minimum c'est de modifier cette équation de départ à l'aide de la méthode de complétion du carré alors on va commencer par factoriser ses deux premiers termes par cinq pour ne garder que ans comme coefficient devant x au carré on a y égale 5 x x au carré - 4 x + 15 et je laisse de la place ici puisqu'on va compléter l'identité remarquable du type ici est moins n o car est égal m au carré - 2 n est plus l occar et donc ici mcx et n c'est la moitié 2 - 4 o car est donc moins quatre divisé par deux ses -2 -2 au carré c4 donc on ajoute plus quatre mais tu sais bien que si on modifie l'équation comme ça il faut aussi qu'on enlève la même chose de ce même côté pour conserver notre polinum initial mais attention on n'a pas simplement ajouter 4 ici on a ajouté quatre dans la parenthèse mais il ya le 5 devant la parenthèse donc en fait on a ajouté cinq points 4 c'est à dire 20 donc on doit aussi enlever 20 de ce même côté en ajoutant +4 dans la parenthèse on a en fait ajouté va en tout aux polygames et donc comme on a soustrait 20 aussi c'est comme si on n'avait rien fait du tout maintenant on peut factoriser ce trinôme puisqu'on a une identité remarquable on a donc y égale 5 x x - 2 au carré plus 15 - 20 - 5 et tu vas tout de suite comprendre pourquoi cette formule est intéressante qu'elle est la plus petite valeur que peut prendre y est bien 5 x x - 2 au carré c'est toujours supérieure ou égale à zéro donc le minimum de cette expression c zéro est donc le minimum de y c'est 0 - 5 c'est donc moins cinq et ce minimum est atteint quand x - de égal 0 autrement dit quand x égale 2 2 - 5 ce sont bien les coordonnées de notre sommet