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Cours : 4e année secondaire > Chapitre 2 

Leçon 5: Parité d'une fonction
Mathématiques
4e année secondaire
Etude des fonctions de référence et de leurs transformées
Parité d'une fonction
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Des situations concrètes modélisée par des fonctions paires

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Comment se traduit en termes concrets la parité d'une fonction qui modélise une situation ?

Introduction

La question traitée ici est "Comment traduire en termes concrets la parité d'une fonction qui modélise une situation ?"
D'abord un rappel sur la parité d'une fonction.

Parité d'une fonction

Compléter les phrases ci-dessous.
Si l'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0 et si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, alors la fonction f est
. Ce qui signifie que, pour tout x, f(−x)=
.
Si l'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0 et si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère, alors la fonction f est
. Ce qui signifie que, pour tout x, f(−x)=
.
Il est
qu'une fonction ne soit ni paire, ni impaire.

Voici un premier exemple.

Exemple 1

Quand on étire ou comprime un ressort, à chacune des valeurs de la différence x, en mètres, entre sa nouvelle longueur et sa longueur initiale correspond une certaine valeur de l'énergie E(x), en joules, qu'il emmagasine. Si on étire le ressort, x est positif, et si on le comprime, x est négatif. On donne la courbe représentative de la fonction E.
Une parabole convexe dans un repère x y cartésien qui est graduée par deux sur l'axe x et par un sur l'axe y. Elle est décroissante de l'intervalle moins l'infini jusqu'à zéro et croissante de zéro jusqu'à l'infini. Le sommet est situé à (zéro, zéro). Elle passe par les points situés autour de (moins sept , deux et demi) et (sept, deux et demi).
Que peut-on en déduire ?

La parité de la fonction E

La fonction E est-elle paire, impaire, ou ni paire, ni impaire ?
La courbe représentative de la fonction E est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc E est une fonction paire. Ce qui signifie que, pour tout x, E(−x)=E(x).

Que peut-on en déduire ?

Comment interpréter le fait que “Pour tout x, E(−x)=E(x)” ?
Pour tout x, E(−x)=E(x) donc cette égalité est vraie si x=2, x=4, x=10, etc.
Si on remplace x par 2 on obtient l'égalité E(−2)=E(2). Et alors ?
On se reporte à la définition de la fonction E. E(x) représente l'énergie emmagasinée par un certain ressort quand on l'étire ou quand on le comprime. Si x est positif c'est qu'on l'a étiré et si x est négatif c'est qu'on l'a comprimé.
Donc E(−2)=E(2) signifie que si ce ressort est comprimé de 2 m, il emmagasine la même  énergie que s'il est étiré de 2 m.
Comment traduire l'égalité E(−4)=E(4) ?
Choisissez une seule réponse :

De façon générale, que peut-on déduire de la proposition "Pour tout x, E(−x)=E(x)" ?
Pour tout x, E(−x)=E(x), donc l'énergie emmagasinée par le ressort quand on le comprime de x mètres est la même que l'énergie emmagasinée quand on l'étire de x mètres.
Ou encore : Quand on comprime ce ressort d'une certaine longueur, il emmagasine la même quantité d'énergie que quand on l'étire de la même longueur.

Une question

Si une fonction est paire, alors on peut en déduire que :
Choisissez une seule réponse :

On étudie un autre exemple.

Exemple 2

Paloma a une chaudière à bois. La consommation quotidienne de la chaudière correspondant à la température de 25 degrés dans la maison est de 20 kg de bois. Elle a expérimenté comment la diminution ou l'augmentation de cette quantité de bois influait sur la température de la maison. T est la fonction qui à la variation w de la quantité de bois utilisée fait correspondre la variation de la température dans la maison. w est positif si elle augmente la quantité de bois, et w est négatif si elle la diminue. On donne la courbe représentative de la fonction T.
Une fonction racine cubique est représentée dans un repère x y cartésien qui est gradué par un sur l'axe x et sur l'axe y. L'axe des x est légendé w. Le point (zéro, zéro) est centre de symétrie. Elle passe par les points situés autour de (moins neuf, moins sept), (moins un, moins deux), (un, deux), et (neuf, sept).

La parité de la fonction T

La courbe représentative de la fonction T est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Donc T est une fonction impaire. Ce qui signifie que, pour tout p, T(−w)=−T(w).

Que peut-on en déduire ?

Il faut traduire en termes concrets la proposition “Pour tout w, T(−w)=−T(w)”.
Comme dans l'exemple précédent on donne une valeur particulière à w. Par exemple w=1
A la variation w de la quantité de bois utilisée correspond par cette fonction la variation T de la température de la maison. Si w est positif, cette variation est une augmentation et s'il est négatif, c'est une diminution.
Donc, T(−1)=−T(1) signifie que la variation de température  qui résulte de l'utilisation de 1 kg de bois de moins est l'opposée de celle qui résulte de l'utilisation de 1 kg de bois de plus.
Maintenant on généralise.
Comment se traduit la proposition "Pour tout w, T(−w)=T(w) ?"
Choisissez une seule réponse :

Ou encore : Augmenter ou diminuer d'une certaine valeur la quantité de bois utilisée aura des effets exactement opposés sur la température de la maison.

Une question

Si une fonction est impaire, alors on peut en déduire que :
Choisissez une seule réponse :

Conclusion

De façon générale pour étudier comment traduire concrètement la parité d'une fonction qui modélise une situation, il faut :
1 - Regarder si elle est paire ou impaire.
2 - Préciser ce que représentent concrètement la variable et son image par la fonction.
3 - En déduire une proposition qui met concrètement en regard les valeurs de la fonction correspondant à deux valeurs opposées de la variable.

A vous !

Fabien apprend à conduire un nouveau type de véhicule. Dans ce véhicule c'est une poignée rotative qui permet d'augmenter la vitesse V, en km/h. x est positif si la poignée a été tournée dans le sens des aiguilles d'une montre, et x est négatif si elle a été tournée dans le sens inverse.
On donne la courbe représentative de la fonction V :
Une fonction valeur absolue est représentée dans un repère x y cartésien qui est gradué par un sur l'axe x et sur l'axe y. L'axe des y est légendé V. Le minimum est en (zéro, zéro). Elleest décroissante de moins l'infini à zéro et croissante de zéro à plus l'infini. Elle passe par les points (moins huit, quatre), (moins deux, un), (deux,un ), et (huit, quatre).
Cette fonction est paire. Laquelle de ces propositions traduit le fait que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ?
Choisissez une seule réponse :

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