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Cours : 4e année secondaire > Chapitre 2

Leçon 5: Parité d'une fonction

Parité d'une fonction et symétrie

Qu'est-ce une fonction paire, qu'est-ce une fonction impaire et comment se caractérisent leurs courbes représentatives ?

Le sujet traité

Une droite

d

est axe de symétrie d'une figure si cette figure est globalement invariante dans la symétrie par rapport à

d

Ce pentagone admet un axe de symétrie.

La droite

l

est un axe de symétrie. Si on plie la feuille le long de cette droite alors les deux parties de la figure se superposent.

La courbe représentative d'une fonction peut avoir un axe de symétrie.

Les fonctions paires

On dit qu'une fonction est paire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction

f

représentée ici est un exemple de fonction paire.

Faites glisser le point le long de l'axe des

x

de droite à gauche.

À vous !

1) Lesquelles de ces courbes sont celles d'une fonction paire ?

La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Ces courbes admettent l'axe des

y

comme axe de symétrie, elles sont donc représentatives de fonctions paires.

Une fonction qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est représentée dans un repère orthonormé. Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers plus l'infini et quand x tend vers plus l'infini, y tend vers plus l'infini.
Une fonction qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est représentée dans un repère orthonormé. Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers plus l'infini et quand x tend vers plus l'infini, y tend vers plus l'infini.
Une fonction définie par morceaux symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est représentée dans le plan repéré. Un segment avec un point point fermé à (moins huit, deux) qui s'incline vers le haut jusqu'à un point ouvert à (moins cinq, trois). Un autre segment de droite a un point fermé à (moins cinq, cinq) jusqu'à un point ouvert à (moins trois, cinq). Un segment de droite a un point fermé à (moins trois, sept) et un point ouvert à (moins trois, sept). Un autre segment de droite a un point ouvert à (trois, cinq) à un point fermé à (cinq, cinq). Le dernier segment de droite a un point ouvert à (cinq, trois) et descend jusqu'à un point fermé à (huit, deux).

Définition

Une fonction

f

est paire si et seulement si

f (- x) = f (x)

pour tout

x

de son ensemble de définition.

La représentation graphique ci-dessous, met en évidence le lien entre l'axe des

y

, axe de symétrie, et la relation pour tout

x

f (x) = f (- x)

Les fonctions impaires

On dit qu'une fonction est une impaire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.

On peut dire aussi que la courbe est invariante par la rotation d'angle

180^{\circ}

et de centre l'origine du repère.

La symétrie centrale de centre l'origine du repère est la composée de la symétrie axiale par rapport à l'axe des

x

et de la symétrie axiale par rapport à l'axe des

y

La fonction

g

représentée ici est un exemple de fonction impaire.

Faites glisser le point le long de l'axe des

y

de haut en bas et le long de l'axe des abscisses, de droite à gauche.

À vous !

1) Lesquelles de ces courbes sont celles d'une fonction impaire ?

La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine

O

du repère. Ces courbes admettent

O

comme centre de symétrie, elles sont donc représentatives de fonctions impaires.

Une fonction qui est symétrique par rapport à l'axe y égal moins x est représentée dans un repère orthonormé. Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers plus l'infini et quand x tend vers plus l'infini, y tend vers moins l'infini.
Une fonction cubique linéaie qui est symétrique par rapport à l'axe y égal x est représentée dans un repère orthonormé. Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers moins l'infini et quand x tend vers plus l'infini, y tend vers l'infini.
Une fonction linéaire qui est symétrique par rapport à l'axe y égal moins x est représentée dans un repère orthonormé. Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers moins l'infini et quand x tend vers plus l'infini, y tend vers l'infini.

Définition

Une fonction

f

est impaire si et seulement si

f (- x) = - f (x)

pour tout

x

de son ensemble de définition.

Par exemple, la fonction représentée ci-dessous est impaire. Pour tout

x

f (- x)

est l'opposé de

f (x)

Une question

Une fonction peut-elle être ni paire, ni impaire ?

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