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4e année secondaire
Cours : 4e année secondaire > Chapitre 2
Leçon 5: Parité d'une fonction- Parité d'une fonction et symétrie
- Parité d'une fonction et symétrie
- La parité d'une fonction et sa courbe représentative
- La parité d'une fonction dont on connaît soit le tableau de valeurs, soit la courbe
- Lien entre la parité d'une fonction et la parité d'un nombre
- Parité d'une fonction polynôme
- Parité d'une fonction polynôme
- Fonctions paires et fonctions impaires
- Des situations concrètes modélisée par des fonctions paires
- Des situations concrètes modélisée par des fonctions paires
Parité d'une fonction polynôme
.
Prérequis :
La fonction est paire équivaut à "la courbe représentative de est symétrique par rapport à l'axe des ".
La fonction est impaire équivaut à "la courbe représentative de est symétrique par rapport à l'origine".
Le cas où le polynôme est un monôme
Une fonction monôme est de la forme où est un réel et un entier positif ou nul.
On va étudier la parité de quelques fonctions monômes et voir si on peut en tirer une règle générale.
Par définition,
- Si, pour tout
, , alors est paire. - Si, pour tout
, , alors est impaire. - Dans les autres cas, elle n'est ni paire, ni impaire.
Par exemple, la fonction définie par est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Pour tout , , donc la fonction est impaire.
Que répondez vous dans ces deux cas ?
Conclusion
Ces exemples permettent de conjecturer le résultat. On démontre que si est une fonction monôme de degré pair, alors est une fonction paire. Et si est une fonction monôme de degré impair, alors est une fonction impaire
Fonction paire | Fonction impaire | |
---|---|---|
Exemples | ||
Cas général |
La démonstration repose sur le fait que si est pair, alors pour tout , et si est impair, alors pour tout ,
C'est probablement l'origine de ces qualificatifs de "paire ou "impaire" que l'on attribue à une fonction.
La parité d'une fonction polynôme
Voici trois exemples de fonctions polynômes.
Exemple 1 :
On calcule l'expression de .
Pour tout , donc est paire.
Remarque : tous les termes sont de degré pair.
Exemple 2 :
On calcule l'expression de .
Chacun des termes de est l'opposé de chacun des termes de . Pour tout , , donc est impaire.
Remarque : tous les termes sont de degré impair.
Exemple 3 :
On calcule l'expression de .
Si , et , donc n'est ni paire, ni impaire.
Remarque : a un terme de degré pair et un terme de degré impair.
Conclusion
De façon générale, la parité d'une fonction polynôme dépend de la parité des exposants de chacun de ses termes.
Cas général | Exemple | |
---|---|---|
Paire | Une fonction polynôme est paire si chacun de ses termes est de degré pair. | |
Impaire | Une fonction polynôme est impaire si chacun de ses termes est de degré impair. | |
Ni paire, ni impaire | Une fonction polynôme n'est ni paire, ni impaire si certains de ses termes sont de degré pair et les autres de degré impait. |
À vous !
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- si on a déjà déterminé l'ordre de multiplicité , est ce que ça va nous aider a trouver la conséquence qu'on peut tirer de la parité d'un polynôme P ??(2 votes)
- Qu'appelez vous "l'ordre de multiplicité" d'un polynôme ?(2 votes)