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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 2 

Leçon 5: Parité d'une fonction
Mathématiques
4e année secondaire
Etude des fonctions de référence et de leurs transformées
Parité d'une fonction
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Parité d'une fonction polynôme

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Prérequis :

Une fonction polynôme qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est représentée dans un repère orthonormé. Son sommet a pour coordonnées (zéro,zéro).Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers plus l'infini et quand x tend vers plus l'infini, y tend vers plus l'infini.
La fonction f est paire équivaut à "la courbe représentative def est symétrique par rapport à l'axe des y".
f est une fonction paire équivaut à "pour tout x, f(−x)=f(x)".
La courbe représentative d'une fonction cube est représentée dans le plan cartésien. Son point d'inflesion est en (zéro, zéro). Quand x tend vers moins l'infini, y tend vers moins l'infini. Quand x tend vers plus l'infini, y tend vers plus l'infini. La courbe est concave de moins l'infini à zéro. La courbe est convexe de zéro à plus l'infini.
La fonction f est impaire équivaut à "la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine".
f est une fonction impaire équivaut à "pour tout x, f(−x)=−f(x)".

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la parité d'une fonction polynôme.

Le cas où le polynôme est un monôme

Une fonction monôme est de la forme f(x)=axn où a est un réel et n un entier positif ou nul.
On va étudier la parité de quelques fonctions monômes et voir si on peut en tirer une règle générale.
Par définition,
  • Si, pour tout x, f(−x)=f(x), alors f est paire.
  • Si, pour tout x, f(−x)=−f(x), alors f est impaire.
  • Dans les autres cas, elle n'est ni paire, ni impaire.
Par exemple, la fonction f définie par f(x)=4x3 est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)car(−x)3=−x3=−4x3=−f(x)
Pour tout x, f(−x)=−f(x), donc la fonction f est impaire.
Que répondez vous dans ces deux cas ?
1) La fonction g définie par f(x)=3x2 est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

2) La fonction h définie par h(x)=2x5 est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

Conclusion

Ces exemples permettent de conjecturer le résultat. On démontre que si f est une fonction monôme de degré pair, alors f est une fonction paire. Et si f est une fonction monôme de degré impair, alors f est une fonction impaire
Fonction paireFonction impaire
Exemples g(x)=3x2h(x)=−2x5
Cas généralf(x)=axn où n est pairf(x)=axn où n est impair
La démonstration repose sur le fait que si n est pair, alors pour tout x, (−x)n=xn et si n est impair, alors pour tout x, (−x)n=−xn
C'est probablement l'origine de ces qualificatifs de "paire ou "impaire" que l'on attribue à une fonction.

La parité d'une fonction polynôme

Voici trois exemples de fonctions polynômes.

Exemple 1 : f(x)=2x4−3x2−5

On calcule l'expression de f(−x).
f(−x)=2×(−x)4−3(−x)2−5=2×(x4)−3×(x2)−5(−x)n=xn si n est pair=2x4−3x2−5=f(x)
Pour tout x, f(−x)=f(x) donc f est paire.
Remarque : tous les termes sont de degré pair.

Exemple 2 : g(x)=5x7−3x3+x

On calcule l'expression de g(−x).
g(−x)=5×(−x)7−3×(−x)3+(−x)=5×(−x7)−3×(−x3)+(−x)(−x)n=−xn si n est impair=−5x7+3x3−x
Chacun des termes de g(−x) est l'opposé de chacun des termes de g(x). Pour tout x, g(−x)=−g(x), donc g est impaire.
Remarque : tous les termes sont de degré impair.

Exemple 3 : h(x)=2x4−7x3

On calcule l'expression de h(−x).
h(−x)=2×(−x)4−7×(−x)3=2×(x4)−7×(−x3)(−x)4=x4 et (−x)3=−x3=2x4+7x3
2x4+7x3 n'est égal ni à h(x) ni à l'opposé deh(x).
Si x≠0, h(−x)≠h(x) et h(−x)≠−h(x), donc h n'est ni paire, ni impaire.
Remarque : h(x) a un terme de degré pair et un terme de degré impair.

Conclusion

De façon générale, la parité d'une fonction polynôme dépend de la parité des exposants de chacun de ses termes.
xCas généralExemple
PaireUne fonction polynôme est paire si chacun de ses termes est de degré pair.f(x)=2x4−3x2−5
ImpaireUne fonction polynôme est impaire si chacun de ses termes est de degré impair.g(x)=5x7−3x3+x
Ni paire, ni impaireUne fonction polynôme n'est ni paire, ni impaire si certains de ses termes sont de degré pair et les autres de degré impait.h(x)=2x4−7x3

À vous !

3) La fonction f définie par f(x)=−3x4−7x2+5 est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

1) La fonction g définie par g(x)=8x7−6x3+x2 est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

1) La fonction h définie par h(x)=10x5+2x3−x est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

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