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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 6

Leçon 4: Déterminer l'équation réduite d'une droite

L'équation réduite d'une droite

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ? Comment déduire de cette équation de la droite son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine ? Comment établir l'équation réduite d'une droite ?

Prérequis :

Vous connaissez les équations du premier degré à deux inconnues. Vous savez que les couples-solutions d'une telle équation sont les coordonnées des points d'une droite.
Vous savez déterminer les points d'intersection d'une droite avec les axes. Vous savez ce qu'est le coefficient directeur d'une droite.

Le sujet traité

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ?
Comment déduire de l'équation réduite d'une droite son coefficient directeur et son point d'intersection avec l'axe des $y$ ‍ ?
Comment établir l'équation réduite d'une droite dont on connaît le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ?

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite $?$ ‍

L'équation réduite d'une droite, non parallèle à l'axe des

y

, est de la forme :

y = m x + b

où

m

b

sont deux nombres réels. Voici trois exemples d'équations réduites :

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2, 7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
[Mais cette dernière équation est différente !]

Voici des équations de droite qui ne sont pas des équations réduites.

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

Une droite a autant d'équations que l'on veut... La plus simple de toutes est son équation réduite.

Les coefficients $m$ ‍ et $b$ ‍

L'équation réduite d'une droite a le mérite d'être simple, mais ce n'est pas son seul mérite, elle donne directement les caractéristiques de la droite :

$m$ ‍ est le coefficient directeur de la droite.
$b$ ‍ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. $b$ ‍ est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite.

Par exemple, pour la droite d'équation

y = 2 x + 1

, le coefficient directeur est

2

et l'ordonnée à l'origine est

1

C'est là tout l'intérêt de l'équation réduite !

À vous !

Exercice 1

Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation $y = 5 x - 7 ?$ ‍

Exercice 2

Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation $y = x + 9 ?$ ‍

Exercice 3

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation $y = - 6 x - 11$ ‍ avec l'axe des ordonnées ?

Exercice 4

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation $y = 4 x$ ‍ avec l'axe des ordonnées ?

Exercice 5

Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation $y = 1 - 8 x ?$ ‍

Exercice 6

Si une droite passe par le point de coordonnées $(0; 4)$ ‍, son équation réduite peut être :

Une question

Lequel des deux coefficients d'une équation réduite est-il le coefficient directeur ?

Défi 1

L'équation réduite de cette droite peut être :

Défi 2

L'équation réduite de la droite de coefficient directeur $10$ ‍ et d'ordonnée à l'origine $- 20$ ‍ est :

Justification

Comment justifie-t-on que le coefficient directeur est

m

et que l'ordonnée à l'origine est

b ?

Il n'y a rien de magique ! D'ailleurs en Maths, il n'y a jamais rien de magique, tout est démontrable. Voici une explication à partir de l'équation :

y = 2 x + 1

L'ordonnée à l'origine $b$ ‍

Tout point de l'axe des

y

a comme abscisse

0

. Donc pour trouver l'ordonnée du point d'intersection de la droite d'équation

y = 2 x + 1

avec l'axe des

y

, il suffit de remplacer

x

par

0

dans l'équation de droite :

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \times 0 + 1 & on remplace x p a r 0 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

Le couple de coordonnées du point d'intersection de la droite avec l'axe des

y

est donc

(0; 1)

[Démonstration dans le cas général. ]

Le coefficient directeur $m$ ‍

Le coefficient directeur d'une droite, appelé aussi sa pente, est le quotient de la différence entre deux valeurs de

y

par la différence entre les valeurs correspondantes de

x

. Si

P_{1} (x_{1}; y_{1})

P_{2} (x_{2}; y_{2})

sont deux points quelconques de la droite, alors par définition :

Coefficient directeur = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

x_{2} - x_{1} = 1

, alors

y_{2} - y_{1}

est le coefficient directeur de la droite.

Coefficient directeur = \frac{y_{2} - y_{1}}{1}

Voici un tableau de valeurs de

y = 2 x + 1

lorsque

x

prend les valeurs

0, 1, 2, 3

4

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \times 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \times 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \times 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \times 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \times 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

x

augmente de

1

, alors

y

augmente de

2

. Donc si

x

augmente de

z

, alors

y

augmente de

2

fois

z

Le coefficient directeur de la droite est

2

[Démonstration dans le cas général. ]

Défi 3

Quelle est l'équation réduite de cette droite ?

y =

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Prérequis :

Le sujet traité

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ?‍

Les coefficients m‍ et b‍

À vous !

Justification

L'ordonnée à l'origine b‍

Le coefficient directeur m‍

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Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite $?$ ‍

Les coefficients $m$ ‍ et $b$ ‍

L'ordonnée à l'origine $b$ ‍

Le coefficient directeur $m$ ‍