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Segments et droites dans le plan cartésien

Foire aux questions sur les segments et les droites en géométrie analytique

Comment placer un point qui divise un segment d'origine le point O(0 ;0), selon un rapport donné, dans le repère orthonormé ?

Il existe différentes méthodes pour placer un tel point. L'une d'entre elles consiste à raisonner sur les coordonnées.
Par exemple, on donne le point A de coordonnées (0 ;0) et le point C de coordonnées (8 ;4). On veut placer le point B tel que AB=34×AC. On peut alors procéder ainsi :
  • L'abscisse de B est égale à 34 de l'abscisse de C. xB=(3×8)/4=6.
  • L'ordonnée de B est égale à 34 de l'ordonnée de C. yB=(3×4)/4=3.

Comment placer un point qui divise un segment selon un rapport donné, connaissant les coordonnées des extrémités du segment ?

On considère le segment [AB], les coordonnées de A et de B étant connues.
On veut à présent placer le point P sur le segment [AB] qui partage le segment selon un rapport donné, soit AP=kAB, avec 0<k<1.
Les coordonnées du point P sont données par la formule :
[P=A+k(BA)]
Cette formule, comme toutes les règles de la géométrie plane, s'applique dans tout plan de l'espace.
Pour résumer, connaissant les coordonnées de A et de B, extrémités du segment [AB], connaissant le rapport de partage d’une partie au tout, k, pour trouver les coordonées du point de partage P, on remplace les coordonnées des points A et B dans la formule.

Quelle est la différence entre des droites parallèles et des droites perpendiculaires ?

Deux droites distinctes sont parallèles si elles n’ont aucun point commun même si on les prolonge. Elles ont le même coefficient directeur (et des ordonnées à l'origine différentes, car sinon, elles sont confondues). Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle de 90 degrés, c'est-dire un angle droit. Le produit de leurs coeffifients directeurs est alors égal à 1. Par exemple, si le coefficient directeur d'une droite est 23, alors une droite perpendiculaire à celle-ci aura pour coefficient directeur 32.

Comment déterminer l'équation d'une droite parallèle, ou perpendiculaire à une droite d'équation donnée ?

Pour déterminer une équation d'une droite parallèle à une droite donnée, on sait qu'elle a le même coefficient directeur m, mais une ordonnée à l'origine p différente. Si on connaît les coordonnées (xB ;yB) d'un point B appartenant à la droite parallèle, on remplace x et y par xB et yB dans l'équation réduite de la droite pour déterminer p :
yB=mxB+p
Pour déterminer une équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée, on sait que son coefficient directeur est égal à l'opposé de l'inverse du coefficient directeur de la droite. On détermine ensuite l'ordonnée à l'origine comme précédemment.

Où utilise-t-on ces notions dans la vie courante ?

Les cartographes utilisent souvent la géométrie analytique pour dessiner des cartes précises. Les architectes et les ingénieurs utilisent ces concepts pour concevoir des bâtiments et des ponts et les infographistes, notamment les concepteurs de jeux vidéo, pour créer des images 3D réalistes.

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