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Transcription de la vidéo

dans les vidéos précédentes on a défini ce que c'était une longueur d'un vecteur on l'a on l'a appelée aussi normes et on a noté avec deux barres comme ça ça c'est là la norme ou la longueur de à dire que ça c'est une une longueur par analogie à ce qu'on connaît à deux dimensions par exemple et ça on a dit que c'était la longueur c'est un scanner et une fois qu'on a défini cette longueur une chose qui peut être intéressant c'est maintenant de définir un angle entre deux vecteurs donc qu'elle va comment définir un angle entre entre vecteur un angle entre vecteur est l'objet de cette vidéo ça va être de définir du coup cet angle alors pour ça on va commencer on va commencer on va prendre deux vecteurs prendre deux vecteurs a et b on va dire que c'est des vecteurs qui appartiennent à r n et on va ajouter que ces deux vecteurs son nom nul pour le moment on va dire que c'est des vecteurs qui sont non nulle et du coup à partir de ces deux vecteurs je vais les tracés alors je vais être assez bien sûr en deux dimensions mais on retient qui sont dans l'arène ils peuvent être a plus que deux dimensions mais pour permettre de mieux visualiser je vais je vais faire à deux dimensions donc on va prendre notre lectorat comme ceux ci ça c'est mon vecteur à on va prendre le vecteur b comme ceux ci m'ont vecteur b et du coup je peux finir le triangle ici pas un vecteur qui est le vecteur à moimbé à - b on a bien si on parle ici si on fait le vecteur b plus le vecteur à - b ça fait bien c'est bien égal au rectorat et du coup on peut dessiner en fait à un triangle équivalent exactement le même donc je vais essayer de faire exactement le même ici comme ceux ci voient là et on va dire que ce triangle c'est exactement le même et la longueur des de chacun des côtés ça va être la longueur des vecteurs donc ici la longueur de ce côté là c'est la longueur du vecteur b où la norme du vecteur b ici on à la norme du vecteur à - b et ici on à la norme du vecteur à voilà j'ai défini exactement le même triangle et la longueur des côtés c'est la longueur des vecteurs et alors maintenant on va se poser la question pour quelle raison est-ce que je ne pourrais pas tracer ce triangle est ce que est ce qu'il ya des conditions sous lesquelles ce triangle ne pouvait pas exister donc c'est les raisons je viens de dire les raisons pour lesquelles je ne pourrais pas tracer ce triangle pour lesquelles je ne pouvais pas je ne pourrai on va essayer de définir les raisons pour lesquelles va ce triangle pourrait ne pas exister donc si je prends par exemple une des conditions pour lesquelles je ne pourrais pas tracé triangle on va commencer par exemple si j'ai là que la norme 2 à 6 7 9 la norme de rat est plus grande que la norme de b plus la note d'un mois mais si la longueur de ce côté est plus grande que la somme de 7 longueurs et de sept longueurs on est d'accord que ce triangle ne pourrait pas exister lorsque j -c cycle à si la norme ou la longueur de 1 et supérieur à la norme de b plus la norme de à - b si cette condition est vérifiée alors ce triangle ne peut pas exister je peux faire une chose par exemple si je prends que la norme de v est supérieur à la norme de a plus la norme de amandiers de la même façon je pourrais pas définir ce triangle et la dernière condition bien sûr c'est si la longueur de ce côté là est plus grande que la somme des deux autres gueules donc si la norme du vecteur à - b est supérieur à la norme de a plus la norme de b voici la une de ces trois conditions qui vérifier je ne pourrais pas tracer ce triangle et maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va servir de l'inégalité triangulaire qu'on a vu dans la vidéo précédente pour montrer qu'en fait ces trois conditions ne sont jamais respectées donc l'inégalité triangulaire elle nous dit que si j'ai deux vecteurs et xy non nul j'ai que la norme 2x plus y est inférieur ou égal à la norme 2x plus plus la norme de y voilà donc on va utiliser cette inégalité triangulaire pour démontrer qu'en fait ces conditions n'arrive jamais dans la réalité nous comment est ce qu'on va faire on va partir de la norme 2 a donc on dit que la norme du vecteur à ségalas quoi en fait on va dire que le vecteur à c'est ce qu'on a dû au début le vecteur assez le vecteur b plus le vecteur à - b donc la norme du vecteur à c'est égal à la norme 2 b plus à - b la science y ont fait leurs donc ça la norme si on fait le calcul bplus à - b ça fait bien à ce qu'on va faire c'est qu'en fait on va prendre séparément on va dire que là on va mettre des parenthèses donc on va dire que sa cb plus à - b et du coup si on développe l'inégalité triangulaire nous dit que si on prend ce vecteur là comme étant x et ce vecteur la commune y en a que la norme de ce secteur c'est inférieur ou égal à la norme 2 b qui est mon x ici plus la norme de y qui est à - b donc plus la norme de à - b donc j'ai que la norme de à et forcément inférieur ou égal à la norme 2 b plus la norme de à - b et si je retourne à mes émotions je vois bien d'après ce que je viens de dire ici que la première la première raison pour lequel je ne pourrais pas tracer le triangle n'est jamais vraie celle ci on peut la barre et c'est une seule condition qu'ils n'arrivent jamais je peux continuer je peux faire la même chose par exemple pour b si je dis que ben est le vecteur la norme du vecteur b c'est égal à la norme du vecteur a + b - za la vecteur les laits c'est la norme du vecteur a + b - na est en fait ici ce que je vais faire c'est que je vais séparés en encore une fois en a et en b - a du coup si je fais ça l'inégalité triangulaire me dis que ça c'est inférieur ou égal à la norme 2 a plus la norme de démo n'a plus la norme de des mandats et alors là tu vas me dire oui mais nous dans notre triangle on allait le vecteur à - b on n'a pas le vecteur de moins on en connaît pas la norme devait moisa mais en fait si on trace ici dans ce triangle b - za de moins à c'est ce vecteur là donc en fait on voit bien déjà graphiquement que la norme ou la longueur de ce vecteur jaune ici c'est la même que sept longueurs vichy que la norme du vecteur à - b du coup en fait ça c'est quelque chose que tu peux tu peux démontrer par toi même c'est que en fait la norme du vecteur b - 20 elle est égale à la norme du vecteur amendé ça tu peux le démontrer grâce à ce qu'on a dit sur les normes tudou l'est où les longues heures tu peut le démontrer par toi même du coup si on pense qu'on a dit ici on n'a que la norme de bay est inférieur ou égal à la norme 2 a plus la norme de à mambé si on revient dans ces conditions cette condition la deuxième condition sine condition qui n'est jamais rempli donc c'est pas une raison valable pour ne pas pouvoir tracer le triangle et si je finis je vais regarder maintenant la norme de mon vecteur amender la norme de à - b c'est égal à la norme de la norme de a + - b + - b est en fait ici je peux reprendre du coup mon inégalités triangulaire avec le vecteur à est le vecteur - b et donc ça c'est inférieur ou égal à la norme 2 a plus la norme du secteur - b et de la même façon que le vecteur des moindres la norme du vecteur d oise à celle là même que le vecteur à - b la norme de directeur - bl est égale à la norme du vecteur b et du coup ici j'ai montré que la norme du vecteur à moins bien et est inférieur ou égal à la norme 2 a plus la norme 2b est donc cette troisième condition ici n'est jamais rempli donc en fait les trois conditions qui pouvait advenir et qui ferait que je ne pourrais pas tracer ce triangle sont des conditions qui n'arrive jamais et ça on l'a démontré grâce à l'inégalité triangulaire donc maintenant on est on est certain de pouvoir tracer ce triangle et on va pouvoir passer à la définition de d'un angle entre vecteur donc pour ça je vais retracer mais triangle en un peu plus haut donc je vais dire que ici j'ai mon vecteur a ici j'ai mon vecteur b est ici pour fermer triangle j'ai le vecteur à - b donc comme tout à l'heure je peux définir un triangle équivalent comme ceux ci et la longueur des côtés c'est la longueur des vecteurs donc ici j'ai la longueur de b où la norme de b ici la norme de à est ici la norme de a moins vu juste pour que ce soit clair ici pour mieux visualiser les choses on se passe on se place dans r2 mais on retient que ces vecteurs peuvent être dans aer n quelle que soit l on illustre sa dent r2 pour que ce soit plus plus simple à visualiser donc dans un triangle comme ça qui équivalent à celui ci je connais très bien je peux définir un angle comme ceux-ci langue le thêta entre mes deux de côté est ce que je vais dire c'est que ici entre ces deux lecteurs je vais définir cet angle ici entre les deux vecteurs comme étant cet angle que j'ai ici je veux dire que je vais définir cet angle entremêlées vecteur comme l'angle dans ce triangle qui est un triangle équivalent donc pour définir cet angle cet angle là ces langues qu'on veut c'est à définir ces langues qui à définir et pour le définir en fait on s'aide de ce triangle équivalent et on va dire que cet angle là c'est le même que cet angle là et alors si on se passe maintenant dans ce triangle là on connaît la loi du caussinus donc la loi du coffee nuss on l'appelle aussi on l'appelle aussi le théorème dalle caché et ce théorème dalle cacher ou cette loi du caussinus elle nous dit que si j'ai un triangle avec un angle ichi d'état et des côtes et à b et c je sais que c'est au carré c'est égal à à au carré plus b au carré - 2 the bay cost et a donc en fait c'est une généralisation du théorème de pythagore à des clients qui ne sont pas des triangles rectangles sas et on l'a dit c'est la loi du caussinus où on l'appelle aussi le théorème dalle khashi alors comment cette loi du coffee nuss peut m'aider à définir mon angle si je me replace maintenant dans ce triangle ici je regarde la norme du vecteur à moimbé au carré sept longueurs cette norme a - b on est d'accord que c'est l'équivalent de mons est ici vu que le thêta est définie entre les deux autres côtés donc je prends cette norme au carré est ce que dit la loi du coach innus c'est qu'elle est égal elle est égale à hao carré donc ça veut dire la norme 2 à o car est plus bo carré donc c'est la norme de bep au carré - deux fois la norme de à fois la norme de b x caussinus de mon anglais teta caussinus de mon anglais est à l or on sait que si j'ai une norme au carré la norme au carré ça c'est égal au produit scalaires de du vecteur par lui-même donc cette norme de à - b au carré c'est égal au produit scolaire de à moimbé par lui-même s'ils produisent keller de à - b par à - b et ça maintenant je peux développer le premier terme ça va être le produit scalaires de havard a donc produit scalaires de à part à le deuxième terme ça va être le produit scolaire de à part - b donc c'est moins produits scolaires de à barbe et le troisième terme ça être moins b et a donc c'est le moins le produit qu'à l'ère de ben et parkas et le dernier terme c'est le produit scolaire 2 - départ - b donc en fait ça fait moins pas moins plus donc ça fait le produit scalaires 2b par b plus le produit scalaires 2b par lui-même hélas ainsi on retravaille un peu un peu ça le produit scolaire de apparat on sait que c'est égal à la norme 2 h au carré c'est la norme 2 à o car est le deuxième terme et plus le troisième terme parce que le produit scalaires et commutative donc là on a moins à moins leproux ce cadre à part b - le produit ce cas l'un d'eux a par b ça fait moins deux fois le produit canada à barbey et le dernier terme c'est la norme de bo car la norme 2b hockey et ça c'est égal à mon terme de droite ici donc c'est égal à nombre de à au carré plus normes de bo carré nombre de baies au carré - deux fois la norme de la fois le nombre de baies fois le cosinus de mon angle d'état alors maintenant je peux faire travailler un peu tout ça ici je peux soustraire de chaque côté par la norme de au carré je peux soustraire de chaque côté par la nombre de baies au carré et je peux divier de chaque côté par -2 donc il ne reste que le produit scolaire de à part b est égale à la norme 2 à fois la note de b fois cos d'état et juste pour rappel ce teta c'est bien mon angle entre les vecteurs l'angle entre les vecteurs donc par cette formule j'ai défini mon angle le tepa cette formule hi-fi me définis mon angle d'état et on va ajouter quelques quelques points particuliers donc si j'ai le cas particuliers où mon vecteur à il est égale à une constante x b donc il est co linéaire avec b si on n'a que c est strictement positif alors on va dire que mon envie d'état est égal à zéro de même si c est inférieure à 0 on va dire que mon angle d'état est égal à 180 degrés donc qu'est-ce que ça veut dire en fait si je prends mon vecteur a comme ceux ci c'est mon vecteur à hesmond vecteur b comme ceux ci est requis sont colinéaires et ils vont dans le même sens donc ça c'est le cas où c est supérieur à 0 on voit bien en fait ici on peut plus définir de triangle mais on voit bien que l'angle entre les deux sera nulle alors que si on prends mon angle b mon facteur b comme ceux ci et c'est inférieur à zéro donc ça veut dire que mon vecteur à ekom se fit alignés mais dans le temps ce est là on voit bien que en fait on peut définir un angle entre les deux et cet angle sera égal à 180 degrés alors maintenant on peut définir une autre notion qui associé à cette notion d' angles celle à la dea et on peut définir on peut définir la perpendiculaire it et la paire camp tu l'arrêter alors encore une fois si on prend deux vecteurs a et b si l'angle si l'angle entre ces deux vecteurs six langues le thêta est égal à 90 degrés qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que le produit scolaire entre a et b d'après la définition qu'on a donnée ici c'est égal à la norme 2 à fois la norme de b fouad l'angle entre ces vecteurs faut le cosinus de langlade entre ces vecteurs donc fois le cosinus de 90° fois le cosinus de 90 ça le cosinus de 90 on sait que c'est égal à zéro donc ça veut dire que le produit scolaire de à barbe et produisent keller de à part b est égal à zéro donc ça veut dire que si a et b si les deux vecteurs a et b sont perpendiculaires ci a et b sont perpendiculaires alors ça implique que le produit scalaires de la part des musiques et l'un d'eux a par b est égal à zéro maintenant la question c'est est-ce que c'est réciproque est ce que fit le produit qu'à l'ère de à part b est égal à zéro est ce qu'on peut dire que a et b sont perpendiculaires en fait non parce que si on prend le cas particulier ou alors d'abord j'ai dit au début j'ai dit que a et b étaient non nul mais si je prends que à élever cteur nul par exemple donc ça veut dire que lever le produit scolaire de à barbe et c'est pour lui qu'a l'air 2 0 par n'importe quels vecteurs b et bien ça c'est égal on l'a dit à la norme 2 1 fois la norme de belfort caussinus de l'angle mélanome de aaa ici c'est le vecteur nul donc ça fait zéro donc quel que soit le vecteur b le produit scalaires 2-0 par b ça va donner zéro donc dans ce cas là on peut pas dire que ces deux vecteurs sont perpendiculaires malgré le fait que leur produit scalaires nuls le fait que le produit scolaire soit nul n'applique pas que les deux vecteurs soit perpendiculaire par contre si on rajoute une condition si on rajoute que a et b si on rajoute que 1 et b sont deux vecteurs n'ont nulle si a et b sont nulles alors le fait que à le produit s'avère de à part b soit égal à zéro ça implique que a et b sont perpendiculaires à ce moment là c'est une ça va dans les deux sens et une équivalence le fait que a et b soit perpendiculaire ses équivalents au fait que le produit ce cas l'un d'eux à barbe à part b soit égal à zéro 6 a et b sont nuls avec ça on peut proposer une nouvelle définition on peut dire que si le produit scanner de à part le produit scolaire par b pardon le produit que l'un d'eux à barbe et est égal à zéro alors ça implique que les vecteurs sont orthogonaux or tôt go no et ça a quel que soit on ici on n'impose pas de conditions sur a et b donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que si on prend le vecteur b le vecteur 0 je vais monter un petit peu le vecteur 0 on a dit que quelle que soit b le produit scalaires 2 0 barbet savons 0 donc ça veut dire que 0 le vecteur nul et orthogonale à tous les vecteurs le vecteur nil est orthogonale à tous les vecteurs à tous les vecteurs parce que quel que soit le vecteur comprend le produit qu'à l'ère du vecteur nulle part ce vecteur va être égal à zéro donc on voit déjà qu'il ya une différence en fait ces deux termes orthogonaux est perpendiculaire sont souvent utilisés comme comme synonymes mais il ya il existe une différence et il faut faire attention quand on parle de perpendiculaire houde orthogonaux à cette condition est ce que on considère que a et b sont nulles ou pas voilà secours ce qu'on est en train de faire en fait c'est qu'on est en train de construire papa repas l'algèbre linéaire on a vu la notion de longueur ou des normes on a vu maintenant la notion d' angles on a vu la notion de perpendiculaire ite d'ortona lité et l'idée c'est de vue qu'on construit pierre par pierre 7,7 algèbre linéaire il faut qu'on fasse très attention aux définitions pour ne pas se retrouver ensuite avec eux à se tromper entre des termes qui sont perpendiculaires ou orthogonaux par exemple voilà donc j'espère que tu as bien compris dans cette dans cette nouvelle vidéo 7 cette notion d' angles et je te dis à bientôt pour la prochaine