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Transcription de la vidéo

donc aujourd'hui on va parler des médianes d'un triangle et des propriétés des médianes dans les triangles qui vont être utiles en fait dans beaucoup de problèmes par la suite alors je vais commencer en fait par dessiner un triangle donc voila mon triangle voilà donc ça c'est un triangle que je vais appeler à b et c et on va tracer les médianes de ce triangle là alors les médianes du triangle et bien ce sont les droites qui partent du sommet et qui vont jusqu'à la moitié du côté opposé donc ici on a la moitié de ça c'est donc la médiane ici issus de b va passer par le milieu de assez ici et donc je vais faire la même chose pour les deux autres sommets donc ici la médiane qui va passer par le sommet de à va couper baissé au milieu donc ici donc je trace la médiane partant de a jusqu au milieu de baisser voilà ma deuxième médiane et la troisième médiane et bien séparé elle va partir de baies et coupé bea ici au milieu voilà et ce qui frappe ici c'est que et bien les médianes se coupe en un point unique ce point ici qu'on va appeler g et que ce point là eh bien on l'appelle le centre de gravité donc j'ai centre de gravité centre de gravité vitae tu reverras pourquoi en physique on appelle ça le centre de gravité mais l'idée c'est que si j'ai un petit triangle en acier par exemple et que j'ai son centre de gravité ici si je lance ce triangle donc il va tourner et tourner tourner et en fait il va tourner il va tourner autour de ce centre de gravité là donc c'est le point ici qui ne qui ne bougera pas ces centres de masse mais tu verras ça en physique ici on voit pas faire de physique tout de suite bon je vais effacer mon petit triangle ici donc ça c'est la première propriété intéressante des médianes c'est que les médianes se coupe en un point unique qui est le centre de gravité donc ici c'est le point d'intersection point d'intersection d'inter section des médianes des mets indienne voilà donc ça c'est le point d'intersection des médias et la deuxième propriété qui est intéressante c'est que si tu prends une des médias et bien la distance entre le sommet donc je prends ici cette médiane ici issus de a donc la distance entre eux et le point g le point d'intersection des médias ça va être en fait deux fois la distance entre le point d'intersection des médianes g et le milieu du segment opposé donc je vais t'expliquer ça un peu plus clairement si j'appelle cette distance là à eh bien ça veut dire que la distance ici à j'ai donc cette distance ici en rouge fera de ah d'accord donc la deuxième propriété importante ici donc si j'appelle ce point là ici des ag as.g va être égale à deux fois moi j'étais donc autrement dit qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que le point g est situé à deux tiers de la médiane à des donc vu que la longueur a défait 3 à et que à j'ai fait 2 a donc âgées et bien ces deux tiers en fait de à des ag est égale à deux tiers 2 a à d voilà et donc ça c'est la deuxième propriété intéressante des médianes et on va on va tout de suite des monstres et ça en fait donc on va le prouver et on va en fait passer en trois dimensions parce que ce sera plus facile en fait pour démontrer sa donc je vais dessiner un repère en trois dimensions donc voilà la première voilà la coordonnées y la coordonnées x ici voir donc je vais faire mon repère donc ça c'est l'accord donné y la coordonnées x et l'accord des néo z ici et je vais prendre trois points sur ces trois dimensions donc ici je vais prendre le point b ici je vais prendre le point art est ici mon point c est ces points là je les choisis tels que et bien grand c'est ce soin de coordonner 00 petit c'est d'accord grand art ce sera la coordonnée ici petit à 0 0 et grand baie ce sera la coordonnée 0 b 0 et donc on va tracer un triangle à partir de ces trois points voilà mon triangle ici très bien et on va tracer le centre de gravité de ce triangle là et je vais dire que le centre de gravité est à peu près ici et quels sont les coordonnées en fait du point g est bien le point g c'est tout simplement on l'a pas démontrée mais en fait ici le point g et bien c'est la moyenne des coordonnées des trois sommets autrement dit c'est les coordonnées de a + c + b / 3 je ne trouve pas ici mais on le trouvera un peu plus tard si tu appliques ce que je viens de te dire c'est à dire que le point g c'est la moyenne des coordonnées des trois sommets et bien ce que tu vas avoir c'est que on va faire la moyenne des coordonnées x d'abord donc on a zéro plus zéro + a divisé par trois donc ça nous fait à diviser par 3 jeux prendre une autre couleur pour bien montrer après pour la moyenne de l'accord donné y on a b + 0 + 0 ça nous fait b / 3 et la moyenne de la coordonnée c'est ça va être zéro + c + 0 / 3 donc s'est divisée par 3 ici donc les coordonnées de mon point g ca / 3 b / 3 et s'est divisé par trois donc maintenant on va juste tracé la médiane issue de ces et donc passant par ge donc ici je trace ma médiane donc je vais à tracer de deux couleurs différentes comme au dessus dans le comme dans le triangle au dessus donc la médiane va passer par le milieu en fait du segment ici à b et je vais appeler le point d'intersection de la médiane avec le segment ab je vais l'appeler d ici voilà et donc ce qu'on va chercher à savoir c'est si effectivement on peut trouver ici que cg est égale à deux tiers de céder donc exactement la même situation qu on avait ici est donc la première chose qu'on va essayer d'avoir c'est les coordonnées du point d alors c'est quoi les coordonnées du plan d'aidé et bien je sais que des est en fête au milieu du segment ab donc les coordonnées de dés et bien c'est la moyenne des deux coordonnée a et b donc c'est zéro plus à diviser par deux a divisé par deux d'accord b + 0 / 2 b / 2 et zéro plus zéro divisé par deux donc zéro donc voilà les coordonnées de mon point d ici et maintenant pour démontrer ça il faut que je connaisse eh bien les longues heures de cg et 2gd ou de cd eh bien je vais commencer par calcul est ici ma longueur en rouge ma longueur cg donc cg c'est gcg qu'est ce que c'est donc pour calculer la distance cg bien ce que je fais c'est que je prends les coordonnées du point g - les coordonnées du point c je les mets au carré je les sommes et je prends la racine carrée donc on va faire ça ensemble donc ça va être en fête racine carrée ici 2 qu'est ce que c'est que la coordonnée du point g ca / 3 donc ça va être à diviser par 3 - 0 d'accord donc je vais le marquer en j'ai marqué en toutes lettres comme ça tu l'auras ici donc à diviser par 3 - 0 au carré plus b / 3 - 0 au quart et donc b / 3 - 0 le tout aux quarts et plus s'est divisée par 3 - c'est s'est divisée par 3 - c'est le tout au carré ici et ça c'est toujours sous la racine carrée et ça donc ça ça nous donne notre distance donc ça ça nous donne la distance et j'ai donc on va simplifier un petit peu cette écriture ici puisqu'on voit que à diviser par 3 - 0 ça va nous faire à diviser par trois le tout au carré donc si je ré crise qui a sous la racine carrée donc j'ai à diviser par 3 - 0 au carré ça fait à carey sur neuf d'accord 9 c3 au carré plus b carré sur neuf la même chose que pour un quart est ici et s'est divisé par 3 - c est bien si je mets au même dénominateur ça me fait donc ici c'est sur 3 - 3 c sur trois donc c'est moins 3 c'est ça fait moins de ces au carré ce qui nous fait donc quatre ces carrés sur neuf voilà et je peux encore simplifiée un petit peu ici puisque je vois que tous les dénominateurs sont identiques ici donc c'est neuf et racines de neuf je sais que ça fait 3 donc en fait ici je garde ici à carrer plus becquart et +4 c'est carré et je simplifie le dénominateur par trois voilà donc ça eh bien c'est ma distance cg et maintenant si j'essaye d'avoir ma distance gd et bien je vais procéder de la même manière je vais juste effacés me faire un petit peu de place ici pour qu'on y voit plus clair voilà donc je fasse ici je vais fêter ça aussi voilà donc maintenant ce que je vais faire c'est que je vais calculé gd donc j'ai d&g des caisses que c'est bien je vais procéder exactement de la même manière c'est à dire que je vais prendre racine de donc les coordonnées du point d ici c'est à diviser par deux donc à diviser par 2 - a divisé par trois au carré plus l'accord donné y de dcb sur deux - b sur trois au carré plus l'accord aux données z donc c'est zéro pour des moins c'est sur trois pour pour g donc voilà j'ai aidé donc maintenant je vais simplifier un petit peu gd est en fait ici je vois que je dois mettre sur un dénominateur commun donc je vais m sur 6 d'accord donc ça nous fait ici 3 à -2 à ça nous fait a donc à caa sur 6o le tout au carré ça nous fait à sur 36 donc à carey sur 36 ici plus alors ici et bien c'est pareil je mets au dénominateur sûr si je me retrouve donc avec b sur six le tout au carré donc ça nous fait b carrés sur 36 est ici et bien j'aurai donc c'est carré cé carré sur neuf donc là je vais effacer un petit peu ma racine ici qu'un peu trop longue voilà donc je peux simplifier encore une fois cette écriture et je peux mettre ici à carrer b carré cé carré sur le même dénominateur c'est à dire que je vais les mettre sur 36 et pour ça et bien je dois multiplier ici par quatre de chaque côté donc 9 x 4 ça nous donnera 36e' j'aurai quatre ces carrés au nominatif donc ici je vais avoir à carrer plus becquart et +4 c'est carré d'accord et donc sur et bien ce sera racines de 36 ce qui nous fait six ici donc qu'est ce que j'ai ici et bien je vois que j'ai des dégâts la racine de akkar et plus becquart et +4 ces carrés sur 6 et gcg kiéthéga la racine de akkar et plus becquart et +4 ces carrés sur trois donc ce que je vois c'est qu'en fait tu es bien gdg d c'est égal à 1,2 me de cg autrement dit donc autrement dit cg c'est égal à deux fois gd et donc j'ai exactement montrer ce que je voulais c'est à dire que j'ai montré que le point g était situé à deux tiers de la médiane en partant du sommet dont elle est issue donc dans cette vidéo ce qu'on a vu ces deux propriétés intéressantes de la médiane la première des propriétés c'est que les médianes d'un triangle se coupe en un point unique le point g qui est le centre de gravité du triangle et la deuxième propriété c'est que ce point g est situé à deux tiers de la médiane de n'importe quel médiane en partant de son sommet