à l'exercise 2.3 pourquoi la réponse utilise des données différentes de celles données au problème? (-10, 7) la solution devient : arctan(-9/-10)

C'était une coquille ! Je l'ai corrigée. Le bon énoncé sera en ligne à la prochaine mise à jour du site. Merci à vous de l'avoir signalée.

Bonjour, dans l'exercice 3.2 les consignes nous disent de données des valeurs approchés arrondies au centième or dans la correction ils sont tronqués. Il est fort probable que je me trompe mais je crois bien que c'est cela, bonne journée !

Bonjour, Les réponses de la calculatrice donnent 4.cos(220°)=-3,064177... 4.sin(220°)=-2,57115... On arrondit vers le bas dans les deux cas, puisque dans les deux cas le chiffre des millièmes est inférieur à 5. On pourrait croire que ces nombres sont tronqués, mais c'est toujours le cas quand on arrondit vers le bas.

Contenu principal

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 10

Leçon 6: Vecteurs en coordonnées polaires

Conversion de composantes d'un vecteur : cartésiennes à polaires et vice-versa.

Google Classroom

On revoit la norme et l'angle polaire d'un vecteur et comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes et inversement.

Aide-mémoire

Norme d'un vecteur à partir de ses composantes

La norme du vecteur de composantes

\vec{u} (a; b)

est

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

Angle polaire d'un vecteur de composantes données

\vec{u} = \vec{O M}

et si

M

est dans le

1^{er}

quadrant, l'angle polaire du vecteur

\vec{u} (a; b)

est

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

. Dans les autres cas, il faut ajouter soit

180 °

, soit

360 °

, à

{tan}^{- 1} (b / a)

Quadrant	Angle polaire
Q1	$\tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Q2	$\tan^{- 1} (\frac{b}{a}) + 180 °$ ‍
Q3	$\tan^{- 1} (\frac{b}{a}) + 180 °$ ‍
Q4	$\tan^{- 1} (\frac{b}{a}) + 360 °$ ‍

Passer des composantes polaires aux composantes cartésiennes

Les composantes (cartésiennes) du vecteur de norme

| | \vec{u} | |

et d'angle polaire

θ

sont

(| | \vec{u} | | \cos (θ); | | \vec{u} | | \sin (θ))

Les composantes polaires

Rappel : Dans un repère d'origine

O

, si

M (a; b)

est le point tel que

\vec{u} = \vec{O M}

, alors le couple de composantes du vecteur

\vec{u}

est le couple

(a; b)

Le vecteur

\vec{u}

peut aussi être défini par sa

norme

et son

angle polaire

Le plan étant muni du repère

(O; \vec{i}; \vec{j})

, si

\vec{u} = \vec{O M}

, la

norme

du vecteur

\vec{u}

est la longueur

O M

, et son

angle polaire

est l'angle orienté

(\vec{i}; \vec{O M})

La norme du vecteur

\vec{u}

est notée

| | \vec{u} | |

Pour en savoir plus sur la norme d'un vecteur, voir cette vidéo.
Pour en savoir plus sur l'angle polaire, voir cette vidéo.

1 : Norme d'un vecteur de composantes données

Le théorème de Pythagore permet d'établir que si le vecteur

\vec{u}

a pour composantes

(a; b)

, alors

| | \vec{u} | | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Par exemple, la norme du vecteur

(3; 4)

est

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Exercice 1.1

Quelle est la norme du vecteur

\vec{u}

(1; 7)

| | \vec{u} | | =

On demande soit sa valeur exacte, soit sa valeur approchée arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 : Angle polaire d'un vecteur de composantes données

Pour calculer la mesure de l'angle polaire on utilise la fonction

arctangente

. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit

θ

tan (θ + k \times 180 °) = tan θ

et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre

- 90 °

90 °

(ou entre

- π / 2

π / 2

). Il faut donc parfois ajouter soit

180 °

(ou

π

), soit

360 °

(ou

2 π

) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.

θ = arctan (\frac{b}{a})

On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $I$ ‍

La mesure de l'angle polaire du vecteur de composantes

(3; 4)

est :

arctan (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Exemple 2 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $IV$ ‍

A la calculatrice, on obtient :

arctan (\frac{- 4}{3}) \approx - 53^{\circ}

Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute

360^{\circ}

- 53^{\circ} + 360^{\circ} = 307^{\circ}

Exemple 3 : $M$ ‍ est dans le Quadrant $II$ ‍

A la calculatrice, on obtient :

arctan (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute

180^{\circ}

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Exercice 2.1

Quel est l'angle polaire du vecteur

\vec{u} (5; 8)

θ =

^{\circ}

La réponse doit être comprise entre $0^{\circ}$ ‍ et $360^{\circ}$ ‍, et arrondie au centième.

Pour vous entraîner, faites ces exercices.

Passer de la norme et de l'angle aux composantes

Le couple de composantes du vecteur

\vec{u}

dont la norme est

| | \vec{u} | |

et dont une mesure de l'angle polaire est

θ

est :

(| | \vec{u} | | \cos (θ); | | \vec{u} | | \sin (θ))

On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Ainsi, le couple de composantes du vecteur de norme

2

, dont une mesure de l'angle polaire est

30^{\circ}

est :

(2 \cos (30^{\circ}); 2 \sin (30^{\circ})) = (\sqrt{3}; 1)

Exercice 3.1

\vec{u} \approx (

;

)

On demande des valeurs approchées arrondies au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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Trier par :

Andrée-Anne Lavoie
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Andrée-Anne Lavoie «à l'exercise 2.3 pourquoi ... »
à l'exercise 2.3 pourquoi la réponse utilise des données différentes de celles données au problème? (-10, 7) la solution devient : arctan(-9/-10)
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(4 votes)
Réponse
- Marie-Gabrielle Denizet
  Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Marie-Gabrielle Denizet «C'était une coquille ! Je ... »
  C'était une coquille ! Je l'ai corrigée.
  Le bon énoncé sera en ligne à la prochaine mise à jour du site.
  Merci à vous de l'avoir signalée.
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  (2 votes)
Darmstadtium_-
Posté il y a il y a 2 mois. Lien direct vers le message de Darmstadtium_- «Bonjour, dans l'exercice ... »
Bonjour,
dans l'exercice 3.2 les consignes nous disent de données des valeurs approchés arrondies au centième or dans la correction ils sont tronqués. Il est fort probable que je me trompe mais je crois bien que c'est cela, bonne journée !
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(1 vote)
Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a un mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, Les réponses de ... »
  Bonjour,
  Les réponses de la calculatrice donnent
  4.cos(220°)=-3,064177...
  4.sin(220°)=-2,57115...
  On arrondit vers le bas dans les deux cas, puisque dans les deux cas le chiffre des millièmes est inférieur à 5.
  On pourrait croire que ces nombres sont tronqués, mais c'est toujours le cas quand on arrondit vers le bas.
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ASSILEM666
Posté il y a il y a 6 mois. Lien direct vers le message de ASSILEM666 «Bonjour Je ne trouve jama ... »
Bonjour
Je ne trouve jamais les mêmes résultats avec ma calculatrice je ne comprends pas comment ça se fait si quelqu'un sait m'aide. C'est une TI 82
Par exemple pour le dernier exercice 12cos(20°) vous trouvez 11.28 et moi je trouve 4.9 et pour le sinus je trouve 10.96 au lieu de 4.1.
Pareil pour la fonction arctan je trouve des -0.7 quand vous trouvez -34
D'avance merci
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Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a 5 mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, Ta calculatrice ... »
  Bonjour,
  Ta calculatrice utilise les radians comme mesure d'angles, au lieu des degrés.
  Le radian est une unité de mesure d'angles que tu rencontreras plus tard.
  Quand on travaille avec des fonctions trigonométriques, il faut toujours vérifier ce réglage.
  Pour régler le problème, il faut utiliser la touche "mode" et sélectionner "Degrees" au lieu de "Radians"
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