Le nombre d'or

alors la question que je vais me poser dans cette vidéo c'est de savoir si je peux trouver de longueur a et b tel que quand je fais le rapport entre a2a sur b donc du plus grand sur le plus petit ici à est plus grand que b eh bien ce sera par là sera égale rapport d' de la longueur totale donc a + b sur la plus grande des deux longueurs voilà ça c'est le problème que je vais me poser et bon jeu pour commencer je vais supposer que c'est possible que ce que je peux trouver a et b de sète qui vérifie cette propriété là et puis du coup le que le rapport assure b qui donc sera égal à a + b / a je veux lui donner un nom je vais l'appeler fille voit la fille de l'aca c'est là une lettre grecque fille et puis là on va comment on va continuer on va essayer d'explorer un petit peu ce que ça veut dire tout ça alors déjà ce que je peux voir c'est que ici c'est a + b / ah je peux l'écrire comme ça comme assure a + b / à la fin je pense que tu seras d'accord avec ça et puis assura basséen et b / a qu'est ce que c'est que ça b / a et bien c'est tout simplement linverse de assure ben est donc celle inverse de fille donc b / a en fait c'est un surfi un surfi voilà donc là c'est quand même quelque chose de déjà assez intéressant c'est que si on peut choisir a et b de telle manière que ça se soit vérifiée et bien ce moment là le rapport fille eh bien il sera telle que fille sera égal à 1 + linverse deux filles c'est à dire 1 / fille voilà fille doit être égal à 1 + 1 sur fibres c'est quand même quelque chose d'assez étrange parce que ça veut dire que si on a un nombre et qu'on lui retire un et bien on trouve son inverse c'est pas le cas de beaucoup de noms dont il ya très peu de nombre qui sont comme ça d'ailleurs en fait on peut démontrer qu'il y en a que deux qui ont cette propriété là alors il ya autre chose qu'on peut écrire c'est que on sait que fille c'est égal à 1 + 1 / fit donc ça on peut l'écrire comme ça aussi fils est un plus 1 / mais au lieu d'écrire fille maintenant je peux écrire un plus 1 / et là au lieu d'écrire fille je peux encore écrire un plus 1 / et tu vois ce que ça donne un jeu prolonger les traits de fractions ici là je peux continuer à 1 + 1 / et ainsi de suite et en fait j'obtiens ce qu'on appelle une fraction continue qui ne se terminent jamais avec et c'est dû au fait que cette cette formule la fille égal 1 + 1 sur fibre c'est une définition de fipar récurrence en fait on définit fille à partir de lui même donc ça donne une écriture de ce genre là qui se termine pas en infraction continue voilà ça c'est quand même quelque chose d'assez étonnant alors on n'a pas terminé de voir des choses étonnantes avec ceux nombreux fils il existe par exemple si je repars de ce que j'avais écrit tout à leur fille égale 1 1 plus 1 sur ficc je multiplie tout parti alors je vais faire ça fait donc je multiplie par filles et sam alors de ce côté à droite à gauche du signe égal pardon j'ai fui au carré kiéthéga la fille +1 voilà mais ça je peux l'écrire je vais l'écrire comme ça un plus tôt un plus fille voilà donc fi ou car est égal à 1 + fille et de ça je peux tirer une autre définition un peu du même genre que celle de tout à l'heure parce qu'en fait je peux donc écrire que fit ses racines carrées de un plus mais là au lieu d'écrire fiche peut encore écrire un plus et puis au lieu d'écrire fille je peux encore écrire un plus et voilà et comme tout à l'heure on obtient des racines carrées un briquet qui se termine jamais voilà donc ça c'est d'une deuxième chose assez étonnante assez perturbante avec ce nombre fille alors maintenant si je repars de cette écriture là je peux en fait étudier une équation du second degré alors donc maintenant je vais repartir de cette relation là et je vais l'écrire comme sa fille au carré - fille - 1 est égal à zéro donc on voit là que fils et c'est la solution d'une équation du second degré 1 l'équation du second degré qui serait celle là x carré - 6 - x - un égal 0 donc là on peut mettre en oeuvre tout ce qu'on sait sur les équations du second degré à la résolution d'équations du second degré on l'a fait dans d'autres vidéos alors ici pour bien comprendre j'ai les coefficients ca c'est le coefficient de xo caresser un ici baisser le coefficient 2 x c'est moins un et c'est alors cessé le terme 100 x est ici c'est moins 1 voilà alors il faut faire attention parce que là j'ai noté a et b les coefficients de xo carré de x mais ils n'ont rien à voir avec cc a et b là c'est simplement que traditionnellement dans le cas des équations du second degré on les appelle comme ça a et b et c voilà alors maintenant on bon ben on va calculer le discriminant le discriminant c'est delta cbo carré donc un ça fait moins au carré ça fait un moins quatre fois à fois c'est donc ça fait 1 + 4 c'est à dire 5 et donc dans ce cas lancé que les deux solutions x1 et x2 jeu les écrire comme ça ça sera moins b donc ici - bc - fois - c'est-à-dire un plus ou moins racines du discriminant c'est à dire plus - racines de 5 le tout divisé par deux à ici deux à ça fait deux voilà donc on a ici deux racines une qui sera positive et une qui sera négative et nous comme on peut parle de rapports de longueur un fils et un rapport de deux longueurs donc c'est forcément un nombre positif donc finalement on peut en déduire que fille c'est un plus racine de 5 sur deux voilà ça à ces résultats on connaît finalement la valeur de ce fille on m'a démontré que il existait du coup puisqu'on a exhibé sa valeur alors on peut pourra démontrer on verra dans d'autres vidéos on fera dans d'autres vidéos certainement pourra démontrer que ce nombre là c'est pas un nombre à sionnel donc il a un développement décimales qui se termine jamais mais là on va en calcul et une approximation je vais prendre la calculatrice alors je dois faire alors il faut que je mette les parenthèses un plus ensuite racine carrée de 5 le tout divisé par deux voilà et je trouve cette valeur-là 1,618 02 33 9 8 9 qui est bien sûr une valeur approcher donc ça je vais l'écrire ici c'est filles c 1,60 et 1,80 30 3 989 voilà et en fait elle continue bien sûr les là c'était une valeur approché donc je suis même pas sûr on n'est pas sûr de ce 9 non plus hein alors bon je l'enlève ça alors il ya quelque chose d'autre qui peut nous surprendre ici c'est que on avait vu cette relation-là infi - c'est un surfi alors ça ça veut dire quoi ça veut dire que le linverse deux filles 1 / fille je l'écrirai comme ça 1 / fille alors ça ce nombre là souvent on l'appelle comme ça fuit majuscule celle inverse deux filles eh ben ce nombre là en fait si je veux le calcul et c'est très simple puisqu'il suffit que je fasse fi -1 donc levé trouvait finalement 0,61 80,33 989 avec une valeur approché encore alors ça c'est quand même assez étonnant parce que c'est lent fait quand on fait quand on prend lé inverse du nombre fiba en fait ça correspond à isoler sa partie des six mal à se débarrasser du 1 et ne garder que la partie décimales c'est quand même assez étonnant voilà alors ce nombre fille dont on a une valeur approché ici 1,60 et 1,80 30 3 989 enfin plus exactement le nombre fille dont la valeur exacte c'est ça hein plus racine de 5 sur deux vient ce nombre là on l'appelle le nombre d'or nombre d'or et ce nombre ce nom là il est assez vérité parce qu'en fait c'est un bon compte vraiment dans pleins pleins de domaines que ce soit dans une architecture dans l'art bien même dans la nature elle même on va le voir et puis aussi dans le monde simplement des idées des idées pures alors par exemple si on a alors je vais faire un petit peu de place j'ai remonté un peu tout ça donc on va par exemple prendre une étoile une étoile or je n'ai pas d'essai je la dessine pas la main parce que je les ces signes très mal enfin on pourrait elle a dessiné à la main mais la gelée alors alors voilà par exemple cette étoile ici bourse une étoile régulière c'est une toile dont tous les côtés tout les tous les côtés ont la même longueur et bien si on regarde par exemple le rapport de entre ces deux longueurs entre sept longueurs là que je vais faire en bleu c'est cette longueur là et sept longueurs là en rose le rapport de ces deux longueurs là et bien c'est le nombre d'or cfi et puis si on regarde aussi par exemple sept longueurs lala tout sept longueurs là que je vais dessiner à sept longueurs là est bien le rapport encore une fois le rapport entre la longueur en magenta enfin là ont violé et la longueur en rose et bien c'est encore fille et puis encore une fois si je fais le rapport entre cette longueur violette et celle ci que je trace en orange là et bien c'est encore une fois ce nombre d'or fille alors dans cette figure l'âme cette étoile parfaite qu'on appelle aussi souvent un pentagramme eh bien on retrouve le nombre fille à peu près partout un autre alors si je prends un pentagone régulier par exemple comme celui qui est là au centre de notre pentagramme sastin un pentagone régulier je vais le refaire ici à peu près voilà ça disons que ça patagones régulier et pas très bien faire il y en a un qui est plus joli ici mais bon l'important c'est que tous les côtés ont la même longueur et en fait là si je prends si je fais le rapport entre la diagonale qui est ici n'importe quel diagonale celle là où celle là où celle là d'ailleurs vous voyez ce qu'on revoie si je prends si je fais le rapport entre n'importe quel diagonale et le côté et bien je trouve encore une fois le nombre de filles c'est un nombre qui est vraiment très très intéressant parce que on le retrouve dans dans plein de domaines eau qui est très utilisé un en architecture est très utilisé dans l'art en général et puis dans la nature aussi alors on va voir pourquoi on va prendre par exemple on va va dessiner un cas un rectangle on va dessiner un rectangle lors par exemple je vais prendre alors je vais le faire dans cette couleur là donc c'est un rectangle qui est une particularité c'est que ça c'est la longueur à et ça c'est la longueur b et puis je sais que le rapport de assure b et bien c'est un c'est le nombre fille voilà donc ça s'éteint c'est ce qu'on appelle un rectangle d'or c'est un recteur angle la particularité que le rapport des deux dimensions et bien c'est le nombre d'or on appelle ça un rectangle d'or alors on va voir ce qu'on peut faire avec ça alors d'abord je vais commencer par tracer un carré je vais tracer un carré ici dedans ça c'est un quart est donc en fait ce côté là cb aussi donc voilà on a un carré de qotb voilà et bien ce qu'ils restent ici alors ici on a en fait ce côté là je vais faire à côté 1 ici la longueur qui est là-bas ca - b puisqu il reste on a enlevé b ici donc ici reste à - b et puis là il reste b donc la c b 1 je notais donc si je fais le rapport entre les deux dimensions de ce rectangle est là parce qu on a du coup notre rectangle d'or de départ on l'a découpé en un carré et puis un autre rectangle ici on va regarder les les le rapport des deux dimensions de ce carré là je vais gommer ce petit bout qui dépassent ce qui me gêne voilà alors maintenant donc le rapport que je dois calculé que je dois évaluer sa cb le plus grand sur à - b qui est le plus petit alors b / à moimbé qu'est ce que c'est b / à - ben c'est finalement je peux l'écrire comme ça c'est un celle inverse de 2 ha - b / b donc c'est un sera moins b / b donc ça je peux l'écrire comme ça c'est un sur assure b - - b / br / b - 1 voilà mais assure b qu'est ce que c'est cfi donc ça c'est un sur fi - 1 mais alors rappelez vous en ce qu'on avait vu tout à l'heure on avait vu que fille - 1 c'est ce qu'on a écrit ici là ici fille - 1 c'est un surfi donc ça c'est un sur un surfi donc finalement on trouve que ce rapport b / 1 - b et bien c'est fille qui veut dire que le découpage qu'on a fait ici en fait on a on a découpé notre rectangle d'or en un carré et puis un rectangle qui lui aussi est un rectangle d'or alors du coup on peut continuer on peut faire quand on peut faire la même chose avec ce nouveau rectangle d'or qu'on va ici voilà on va le découper comme tout à l'heure en un carré et un rectangle qui lui aussi sera un rectangle d'or et après on peux continuer encore on peut découper ça en un carré ça sera un carré et puis un rectangle qui sera de nouveau un rectangle d'or et on peux continuer encore alors je vais te faire donc la voir un quart est encore bon je pense que là tu vois à peu près ce qu'il va se passer celui ci c'est encore un rectangle d'or on le découpe en un carré et reste encore un rectangle d'or et en fait on voit qu'on tourne autour d'un point et qu'on va se dessiner des carrés en se rapprochant de plus en plus d'un point ici et en faisant des carrés de plus en plus petits à l'infini voilà alors ça c'est intéressant quand même cette figure qui fait comme un plongeon autour d'un d'un point et puis alors ce qui est encore plus intéressant c'est que là ici on a un carré alors par exemple dans ce quart est je peux très bien tracer un arc de cercle un quart de cercle qui va être comme ça après joliment mais bon on pourrait le faire avec mon combat je le mets ici ce serait un quart de cercle dont le centre est ici je ferai voilà un quart de cercle comme ça à peu près et puis là je peux me mettre ici puisque j'arrive dans ce carré vert je peux mettre ici et je fais un quart de cercle et pas très joli voilà je fais un quart de cercle comme ça et puis j'arrive dans ce carré rose je me place ici je peux faire un quart de cercle comme ça là j'arrive dans le carré vert fait un quart de cercle comme ça je pense que là tu vois ce qui ce qui se passe en fait j'obtiens une figure qu'on voit très souvent c'est une sorte de spirale un petit peu au val c'est vraiment une figure très courante dans la nature on la rencontre d'entrain dans plusieurs endroits intéressants parce que on voit là une manière de la construire et on la construit grâce à ce nombre fille parce que sont les proportions qui permettent de faire des quarts de cercle qui se rejoignent parfaitement bien pour former une bonne spirale sans angle alors bon là ça c'est vraiment une figure qu'on retrouve très fréquemment où tu vas sûrement vu plusieurs fois puisque par exemple la voilà on voit la une voilà ça c'est une coupe de coquilles d'oeufs nautile et c'est vraiment exactement on retrouve exactement la forme qu'on a dessiné tout à l'air et effectivement c'est exactement la même qu'on retrouve d'ailleurs dans plein d'autres endroits dans la nature dans plein d'autres phénomènes naturels bon quand on y pense en fait c'est assez normal ça se comprend assez bien que la la la coquille de ce nom il soit construite selon ce plan là parce qu'en fait quelle que soit l'échelle à laquelle on regarde elle doit être la même c'est à chaque fois un instant donné les l'aco qui se forme de la même manière donc c'est assez normal qu'on retrouve le même motif à chaque échelle voilà donc ça c'est un exemple parmi tant d'autres en pourrait en donner encore plein d'autres c'est pareil en art en architecture ans pourrait s on pourrait passer beaucoup de temps à citer des oeuvres d'art a étudié des oeuvres d'art ou des oeuvres architecturales dans lesquels figure le nombre d'heures dans lesquels je veux dire l'auteur ou l'architecte a utilisé le nombre d'or alors par exemple la journée un ici on va regarder celui ci ça c'est le sacrement de la dernière scène de salvador dali dans lequel vraiment salvador dali a utilisé le nombre fille à plusieurs reprises alors pour commencer bain le rapport de la longueur par la largeur battu pour à le mesurer un cessez le sait le nombre d'or ici donc le tableau de salvador dali ce tableau si il a la forme d'un rectangle d'or alors ça c'est une première chose tu pourrais regarder si tu veux tout les différentes parties de la table ici elles sont toutes construites avec le nombre d'or alors il ya aussi les pentagone et plusieurs pentagone ici dans la fayette tout ça ce sont des pentagones et l'on sait que dans le pentagone il y a le nombre d'or puisque des condés qu'on fait le rapport entre une diagonale et le côté on trouve le nombre d'or on pourrait aussi regardé par exemple le rapport entre cette distance-là ici au dessus de l'homme qui est qui et qui prix là et la distance qui va jusqu'à ses pieds mais ça c'est le nombre d'or aussi de même si on regarde le rapport entre cette partie et cette partie là et bien c'est le nombre d'or encore une fois enfin voilà vraiment salvador dali a utilisé sa certainement il le savait enfin il l'utilisé de manière consciente ça devait lui semblait quelque chose d'important et effectivement je t'encourage à creuser un petit peu ça parce qu'il ya vraiment quelque chose de très étonnant qu'on retrouve dans quantité de construction ou de tableaux ou de phénomènes naturels