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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4

Leçon 2: Rappels : Factorisation et équation produit nul

Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x

Ce préambule pour comprendre d'où vient la méthode pour factoriser un trinôme quand le coefficient du terme du second degré est différent de 1.

Prérequis

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Reportez-vous, si nécessaire, à la leçon Factoriser un polynôme si ses termes ont des facteurs communs.

Le sujet traité

Cette leçon est une introduction à une méthode qui permet de factoriser certains trinômes de la forme $a x^{2} + b x + c$ ‍ si $a \neq 1$ ‍. Le but est que vous compreniez d'où vient cette méthode.

Exemple 1 : Factoriser $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Les termes de

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

n'ont pas de facteur commun. L'idée est de regrouper d'une part les deux premiers termes, d'autre part les deux derniers termes et de les factoriser séparément. On les regroupe en utilisant des parenthèses :

\underset{}{\underset{⏟}{(2 x^{2} + 8 x)}} + \underset{}{\underset{⏟}{(3 x + 12)}}

On met

2 x

en facteur dans les deux premiers termes et on met

3

en facteur dans les deux derniers termes :

2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

[explication]

Maintenant, on peut mettre

x + 4

en facteur :

2 x (x + 4) + 3 (x + 4) = (x + 4) (2 x + 3)

On a factorisé le polynôme ! Pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreur, on peut effectuer le produit obtenu.

[détail]

Exemple 2 : Factoriser $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Voici un deuxième exemple traité.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) \\ = (x + 2) (3 x + 4) \end{aligned}

3 x^{2} + 10 x + 8 = (x + 2) (3 x + 4)

À vous !

1) Factoriser $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

2) Factoriser $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

3) Factoriser $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Exemple 3 : Factoriser $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Voici un cas où les coefficients des termes en

x

sont négatifs.

Voici les étapes de la factorisation de

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) \end{aligned}

Donc

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 = (x - 2) (3 x - 4)

. Pour vérifier, on peut effectuer le produit.

[détail]

Voici les réponses aux deux questions que vous vous posez peut-être...

Pourquoi ce signe "+" entre les deux parenthèses qui n'existe pas dans le polynôme donné ?

À l'étape

(1)

, on a mis un signe "+" entre

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

. De cette façon la deuxième parenthèse contient bien le troisième terme du polynôme qui est

(- 4 x)

et le quatrième terme.

Écrire que

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

est égal à

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

aurait été une erreur. Car

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8) = 3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, et ce polynôme n'est pas égal au polynôme donné.

[Pourquoi ?]

Pourquoi mettre $- 4$ ‍ en facteur plutôt que $4 ?$ ‍

À l'étape

(2)

, on a mis

- 4

en facteur de façon à obtenir le facteur commun

(x - 2)

. Si on avait mis $4$ ‍ en facteur, on aurait obtenu :

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Attention à ne pas faire d'erreur si le coefficient du terme en

x

est négatif !

À vous !

4) Factoriser $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

5) Factoriser $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

6) Factoriser $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Un dernier exercice

7) Factoriser $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Peut-on toujours factoriser de cette façon ?

La réponse est non, car il faut que les termes qui sont entre parenthèses aient un facteur commun.

Par exemple, on peut factoriser ainsi

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

car

3 x^{2} + 9 x

2 x + 6

ont un facteur commun :

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Mais pas

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, car

2 x^{2} + 3 x

4 x + 12

n'ont pas de facteur commun :

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Pour factoriser un trinôme du second degré on peut toujours décomposer astucieusement le terme en $x$ ‍.

Par exemple, on peut décomposer le terme en

x

du trinôme

2 x^{2} + 7 x + 3

de la façon suivante :

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Puis en déduire facilement que

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 = (x + 3) (2 x + 1)

Ceci fera l'objet d'une autre leçon.

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Prérequis

Le sujet traité

Exemple 1 : Factoriser 2x2+8x+3x+12‍

Exemple 2 : Factoriser 3x2+6x+4x+8‍

À vous !

Exemple 3 : Factoriser 3x2−6x−4x+8‍

À vous !

Un dernier exercice

Peut-on toujours factoriser de cette façon ?

Pour factoriser un trinôme du second degré on peut toujours décomposer astucieusement le terme en x‍ .

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Exemple 1 : Factoriser $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Exemple 2 : Factoriser $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Exemple 3 : Factoriser $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Pour factoriser un trinôme du second degré on peut toujours décomposer astucieusement le terme en $x$ ‍.