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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4 

Leçon 2: Rappels : Factorisation et équation produit nul
Mathématiques
4e année secondaire
L'équation du second degré
Rappels : Factorisation et équation produit nul
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Factoriser une différence de deux carrés

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Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler une différence de deux carrés dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante.

Factoriser une différence de deux carrés

L'identité remarquable est :
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Par exemple si a, equals, x et b, equals, 2, on obtient :
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Donc x, squared, minus, 4, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Pour vérifier on peut développer le deuxième membre :
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Voici d'autres exemples.

Exemple 1 : La factorisation de x, squared, minus, 16

x, squared et 16 sont des carrés car x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared and 16, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared :
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Ce polynôme est une différence de deux carrés. Pour le factoriser on utilise l'identité remarquable :
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd et start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, donc
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

À vous !

1) x, squared, minus, 25 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

2) Factoriser x, squared, minus, 100.
 

Une question

3) Peut-on utiliser cette identité remarquable pour factoriser x, squared, plus, 25, space, question mark
Choisissez une seule réponse :

Exemple 2 : La factorisation de 4, x, squared, minus, 9

Là aussi on a affaire à une différence de deux carrés.
4, x, squared et 9 sont des carrés car 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared et 9, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, squared. Donc :
4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-\greenD{3}^2=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis.

À vous !

4) 25, x, squared, minus, 4 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

5) Factoriser 64, x, squared, minus, 81.
 

6) Factoriser 36, x, squared, minus, 1.
 

Un dernier exercice

7*) Factoriser x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.
 

8*) Factoriser 4, x, squared, minus, 49, y, squared.
 

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