Contenu principal
4e année secondaire
Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4
Leçon 2: Rappels : Factorisation et équation produit nul- Factoriser une expression littérale si ses termes ont des facteurs communs
- Factoriser une différence de deux carrés
- Factoriser le développement du carré d'une somme ou d'une différence
- Factoriser un trinôme du second degré
- Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1 - deux exercices
- Factoriser un trinôme du second degré si ses coefficients ont au moins un diviseur commun
- Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x
- Factoriser un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a ≠ 1, en décomposant le terme bx
- Factoriser un trinôme du second degré
- Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation
- Résoudre une équation de la forme a(x² + bx + c) = 0 à l'aide d'une factorisation - 3 exemples
Factoriser un trinôme du second degré
Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?
Prérequis
N'hésitez pas à vous reporter si nécessaire aux précédentes leçons où sont expliquées les méthodes utilisées ici :
- Factoriser un polynôme si ses termes ont des facteurs communs
- Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1
- Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est différent de 1
- Factoriser le développement du carré d'une somme
- Factoriser une différence de deux carrés
Le sujet traité
Nous vous proposons dans cette leçon des exercices d'entraînement.
Rappel
Méthode | Exemple | Quand peut-on l'appliquer ? |
---|---|---|
Repérer un facteur commun | Si les termes du polynôme ont un facteur commun. | |
Utiliser l'identité | Si le trinôme est de la forme | |
Décomposer le terme en | Si le trinôme est de la forme | |
Utiliser l'identité | Si deux des termes du polynôme sont des carrés et si le troisième terme est le double produit de leurs racines carrées. | |
Utiliser l'identité | Si le polynôme est une différence de deux carrés |
Le choix de la méthode
Pour détecter la méthode à utiliser, il faut "ausculter" le polynôme à factoriser.
Nous vous proposons un exemple de crible de questions à se poser.
Factoriser un trinôme du second degré
La première chose à faire est de réduire et ordonner le polynôme.
Ensuite, voici une liste de questions à se poser :
Question 1 : Les termes du polynôme ont-ils des facteurs communs ?
Si non, passer à la Question 2. Si oui, mettre ces facteurs communs en facteur et passer à la Question 2.
Si non, passer à la Question 2. Si oui, mettre ces facteurs communs en facteur et passer à la Question 2.
Cette première étape est importante car elle permet d'obtenir un polynôme dont les coefficients sont moins élevés et/ou un polynôme de degré moins élevé.
Question 2 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il une différence de deux carrés (i.e. ou ) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité . si non, passer à la Question 3.
Si c'est le cas, utiliser l'identité
Question 3 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il le développement du carré d'une somme (i.e. ou ) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité . si non, passer à la Question 4.
Si c'est le cas, utiliser l'identité
Question 4 :
a.) Le trinôme ou l'un de ses facteurs est-il de la forme?
Si non, passer à la Question 5. Si oui passer au b).
b.) Existe-t-il deux entiers dont le produit estet dont la somme est ?
Si oui, utiliser l'identité. Si non le trinôme n'est pas factorisable.
Question 5 : Existe-t-il un couple d'entiers dont le produit est et dont la somme est ?
Si vous en êtes à la question , c'est que le trinôme à factoriser est de la forme avec . S'il existe deux entiers dont le produit est et la somme , utilisez-les pour décomposer le terme , sinon, le trinôme n'est pas factorisable dans l'ensemble des réels.
Si vous en êtes à la question
Ce plan d'étude permet d'être sûr de factoriser au maximum le trinôme à factoriser.
Voici quelques exemples.
Exemple 1 : Factoriser
Ce polynôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre en facteur :
Oui. On peut mettre
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Oui. . Donc,
Oui.
Il n'y a plus aucun facteur du second degré à traiter, donc la factorisation est terminée.
Exemple 2 : Factoriser
Ce polynôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Non. , et n'ont pas de facteur commun. Question suivante.
Non.
Question 2 : Est-ce une différence de deux carrés ?
Non. Il y a un terme en donc ce n'est pas une différence de deux carrés. Question suivante.
Non. Il y a un terme en
Question 3 : Est-ce le développement du carré d'une somme ?
Oui. Le premier et le troisième terme sont des carrés car et . Et .
Oui. Le premier et le troisième terme sont des carrés car
Donc,
Exemple 3 : Factoriser
On ordonne le trinôme : .
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre en facteur :
Oui. On peut mettre
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.
Non. Question suivante.
Question 3 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.
Non. Question suivante.
Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme ?
Oui. est de cette forme.
Oui.
Question 4b : Existe-t-il deux entiers dont le produit est et dont la somme est ?
Oui. Il existe deux entiers dont le produit est et dont la somme est :
Oui. Il existe deux entiers dont le produit est
Exemple 4 : Factoriser
Ce trinôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre en facteur :
Oui. On peut mettre
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.
Non. Question suivante.
Question 2 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.
Non. Question suivante.
Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme ?
Non, car dans le trinôme , le coefficient de est .
Non, car dans le trinôme
Question 5: Si l'un des facteurs est de la forme , existe-t-il deux entiers dont le produit est et dont la somme est
Ici, l'un des facteurs est , donc il faut chercher s'il existe deux entiers dont le produit est et dont la somme est .
Ici, l'un des facteurs est
La réponse est oui car et .
On décompose le terme en : , on regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et on les factorise séparément.
À vous !
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Pas encore de posts.