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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4

Leçon 2: Rappels : Factorisation et équation produit nul

Factoriser un trinôme du second degré

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Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?

Prérequis

N'hésitez pas à vous reporter si nécessaire aux précédentes leçons où sont expliquées les méthodes utilisées ici :

Le sujet traité

Nous vous proposons dans cette leçon des exercices d'entraînement.

Rappel

Méthode	Exemple	Quand peut-on l'appliquer ?
Repérer un facteur commun	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Si les termes du polynôme ont un facteur commun.
Utiliser l'identité $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ‍	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Si le trinôme est de la forme $x^{2} + b x + c$ ‍ et s'il existe deux entiers dont le produit est $c$ ‍ et la somme $b$ ‍.
Décomposer le terme en $x$ ‍	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Si le trinôme est de la forme $a x^{2} + b x + c$ ‍ et s'il existe deux entiers dont le produit est $a c$ ‍ et la somme $b$ ‍.
Utiliser l'identité $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Si deux des termes du polynôme sont des carrés et si le troisième terme est le double produit de leurs racines carrées.
Utiliser l'identité $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ‍	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Si le polynôme est une différence de deux carrés

Le choix de la méthode

Pour détecter la méthode à utiliser, il faut "ausculter" le polynôme à factoriser.

Nous vous proposons un exemple de crible de questions à se poser.

Factoriser un trinôme du second degré

La première chose à faire est de réduire et ordonner le polynôme.

[Pourquoi ?]

Ensuite, voici une liste de questions à se poser :

Question 1 : Les termes du polynôme ont-ils des facteurs communs ?
Si non, passer à la Question 2. Si oui, mettre ces facteurs communs en facteur et passer à la Question 2.

Cette première étape est importante car elle permet d'obtenir un polynôme dont les coefficients sont moins élevés et/ou un polynôme de degré moins élevé.

Question 2 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il une différence de deux carrés (i.e. $x^{2} - 16$ ‍ ou $25 x^{2} - 9$ ‍) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. si non, passer à la Question 3.

Question 3 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il le développement du carré d'une somme (i.e. $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ ou $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. si non, passer à la Question 4.

Question 4 :

a.) Le trinôme ou l'un de ses facteurs est-il de la forme $x^{2} + b x + c$ ‍ ?
Si non, passer à la Question 5. Si oui passer au b).

b.) Existe-t-il deux entiers dont le produit est $c$ ‍ et dont la somme est $b$ ‍ ?
Si oui, utiliser l'identité $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ‍. Si non le trinôme $x^{2} + b x + c$ ‍ n'est pas factorisable.

Question 5 : Existe-t-il un couple d'entiers dont le produit est $a c$ ‍ et dont la somme est $b$ ‍ ?
Si vous en êtes à la question

5

, c'est que le trinôme à factoriser est de la forme

a x^{2} + b x + c

avec

a \neq 1

. S'il existe deux entiers dont le produit est

a c

et la somme

b

, utilisez-les pour décomposer le terme

x

, sinon, le trinôme n'est pas factorisable dans l'ensemble des réels.

Ce plan d'étude permet d'être sûr de factoriser au maximum le trinôme à factoriser.

[Que signifie "factoriser au maximum" ?]

Voici quelques exemples.

Exemple 1 : Factoriser $5 x^{2} - 80$ ‍

Ce polynôme est réduit et ordonné.

Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre

5

en facteur :

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Oui.

x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2}

. Donc,

$\begin{aligned} = 5 (x^{2} - 4^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Il n'y a plus aucun facteur du second degré à traiter, donc la factorisation est terminée.

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Exemple 2 : Factoriser $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Ce polynôme est réduit et ordonné.

Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Non.

4 x^{2}

12 x

9

n'ont pas de facteur commun. Question suivante.

Question 2 : Est-ce une différence de deux carrés ?
Non. Il y a un terme en

x

donc ce n'est pas une différence de deux carrés. Question suivante.

Question 3 : Est-ce le développement du carré d'une somme ?
Oui. Le premier et le troisième terme sont des carrés car

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = 3^{2}

. Et

12 x = 2 \times 2 x \times 3

Donc,

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Exemple 3 : Factoriser $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

On ordonne le trinôme :

12 x - 63 + 3 x^{2} = 3 x^{2} + 12 x - 63

Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre

3

en facteur :

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.

Question 3 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.

Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme $x^{2} + b x + c$ ‍ ?
Oui.

x^{2} + 4 x - 21

est de cette forme.

Question 4b : Existe-t-il deux entiers dont le produit est $c$ ‍ et dont la somme est $b$ ‍ ?
Oui. Il existe deux entiers dont le produit est

- 21

et dont la somme est

4

7 \times (- 3) = - 21

7 + (- 3) = 4

, donc,

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Exemple 4 : Factoriser $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Ce trinôme est réduit et ordonné.

Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre

2

en facteur :

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.

Question 2 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.

Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme $x^{2} + b x + c$ ‍ ?
Non, car dans le trinôme

2 x^{2} + 9 x + 5

, le coefficient de

x^{2}

est

2

Question 5: Si l'un des facteurs est de la forme $a x^{2} + b x + c$ ‍, existe-t-il deux entiers dont le produit est $a c$ ‍ et dont la somme est $b$ ‍
Ici, l'un des facteurs est