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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4 

Leçon 2: Rappels : Factorisation et équation produit nul
Mathématiques
4e année secondaire
L'équation du second degré
Rappels : Factorisation et équation produit nul
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Factoriser un trinôme du second degré

Google Classroom
Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?

Prérequis

N'hésitez pas à vous reporter si nécessaire aux précédentes leçons où sont expliquées les méthodes utilisées ici :

Le sujet traité

Nous vous proposons dans cette leçon des exercices d'entraînement.

Rappel

MéthodeExempleQuand peut-on l'appliquer ?
Repérer un facteur commun= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Si les termes du polynôme ont un facteur commun.
Utiliser l'identité x, squared, plus, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, x, plus, a, b, equals, left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, b, right parenthesis= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Si le trinôme est de la forme x, squared, plus, b, x, plus, c et s'il existe deux entiers dont le produit est c et la somme b.
Décomposer le terme en x= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Si le trinôme est de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c et s'il existe deux entiers dont le produit est a, c et la somme b.
Utiliser l'identité a, squared, plus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, squared= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Si deux des termes du polynôme sont des carrés et si le troisième terme est le double produit de leurs racines carrées.
Utiliser l'identité a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Si le polynôme est une différence de deux carrés

Le choix de la méthode

Pour détecter la méthode à utiliser, il faut "ausculter" le polynôme à factoriser.
Nous vous proposons un exemple de crible de questions à se poser.

Factoriser un trinôme du second degré

La première chose à faire est de réduire et ordonner le polynôme.
Ensuite, voici une liste de questions à se poser :
Question 1 : Les termes du polynôme ont-ils des facteurs communs ?
Si non, passer à la Question 2. Si oui, mettre ces facteurs communs en facteur et passer à la Question 2.
Cette première étape est importante car elle permet d'obtenir un polynôme dont les coefficients sont moins élevés et/ou un polynôme de degré moins élevé.
Question 2 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il une différence de deux carrés (i.e. x, squared, minus, 16 ou 25, x, squared, minus, 9) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. si non, passer à la Question 3.
Question 3 : Le polynôme ou l'un de ses facteurs est-il le développement du carré d'une somme (i.e. x, squared, minus, 10, x, plus, 25 ou 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9) ?
Si c'est le cas, utiliser l'identité a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. si non, passer à la Question 4.
Question 4 :
a.) Le trinôme ou l'un de ses facteurs est-il de la forme x, squared, plus, b, x, plus, c ?
Si non, passer à la Question 5. Si oui passer au b).
b.) Existe-t-il deux entiers dont le produit est c et dont la somme est b ?
Si oui, utiliser l'identité x, squared, plus, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, x, plus, a, b, equals, left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, b, right parenthesis. Si non le trinôme x, squared, plus, b, x, plus, c n'est pas factorisable.
Question 5 : Existe-t-il un couple d'entiers dont le produit est a, c et dont la somme est b ?
Si vous en êtes à la question 5, c'est que le trinôme à factoriser est de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c avec a, does not equal, 1. S'il existe deux entiers dont le produit est a, c et la somme b, utilisez-les pour décomposer le terme x, sinon, le trinôme n'est pas factorisable dans l'ensemble des réels.
Ce plan d'étude permet d'être sûr de factoriser au maximum le trinôme à factoriser.
Voici quelques exemples.

Exemple 1 : Factoriser 5, x, squared, minus, 80

Ce polynôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre 5 en facteur :
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Oui. x, squared, minus, 16, equals, start color #11accd, x, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared. Donc,
5x2−80=5(x2−42)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left(\blueD {x}^2-\greenD 4^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Il n'y a plus aucun facteur du second degré à traiter, donc la factorisation est terminée.
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Exemple 2 : Factoriser 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Ce polynôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Non. 4, x, squared, 12, x et 9 n'ont pas de facteur commun. Question suivante.
Question 2 : Est-ce une différence de deux carrés ?
Non. Il y a un terme en x donc ce n'est pas une différence de deux carrés. Question suivante.
Question 3 : Est-ce le développement du carré d'une somme ?
Oui. Le premier et le troisième terme sont des carrés car 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared et 9, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, squared. Et 12, x, equals, 2, ×, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, ×, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Donc,
=4x2+12x+9=(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2×\blueD{2x}×\greenD{3}+\greenD{3}^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Exemple 3 : Factoriser 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared

On ordonne le trinôme : 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared, equals, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre 3 en facteur :
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.
Question 3 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.
Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme x, squared, plus, b, x, plus, c ?
Oui. x, squared, plus, 4, x, minus, 21 est de cette forme.
Question 4b : Existe-t-il deux entiers dont le produit est c et dont la somme est b ?
Oui. Il existe deux entiers dont le produit est minus, 21 et dont la somme est 4 :
7, times, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 et 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, donc,
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Exemple 4 : Factoriser 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10

Ce trinôme est réduit et ordonné.
Question 1 : Y a-t-il un facteur commun ?
Oui. On peut mettre 2 en facteur :
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Question 2 : L'un des facteurs est-il une différence de deux carrés ?
Non. Question suivante.
Question 2 : L'un des facteurs est-il le développement du carré d'une somme ?
Non. Question suivante.
Question 4a : L'un des facteurs est-il de la forme x, squared, plus, b, x, plus, c ?
Non, car dans le trinôme 2, x, squared, plus, 9, x, plus, 5, le coefficient de x, squared est 2.
Question 5: Si l'un des facteurs est de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, existe-t-il deux entiers dont le produit est a, c et dont la somme est b
Ici, l'un des facteurs est 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, donc il faut chercher s'il existe deux entiers dont le produit est 2, times, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 et dont la somme est 9.
La réponse est oui car minus, 1, times, 10, equals, minus, 10 et minus, 1, plus, 10, equals, 9.
On décompose le terme en x : 9, x, equals, minus, 1, x, plus, 10, x, on regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et on les factorise séparément.
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)=2[(2x2−1x)+(10x−5)]=2[x(2x−1)+5(2x−1)]=2(2x−1)(x+5)\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=2\left[(2x^2-1x)+(10x-5)\right]&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=2\left[x(2x-1)+5(2x-1)\right]&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

À vous !

1) 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

2) Factoriser 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 au maximum.
 

3) Factoriser 72, x, squared, minus, 2 au maximum.
 

4) 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

5) Factoriser 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 au maximum.
 

6) Factoriser 56, minus, 18, x, plus, x, squared au maximum.
 

7) 3, x, squared, plus, 27 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

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