Factoriser le développement du carré d'une somme ou d'une différence

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler le développement du carré d'une somme ou d'une différence dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante. Reportez-vous si nécessaire à cette vidéo qui traite de ces identités remarquables.

Pour développer le carré d'une somme ou le carré d'une différence, on utilise les identités :

Par exemple, pour développer $(x+5{)}^2$‍, on utilise la première identité avec $a=x$‍ et $b=5$‍, et on obtient :

Vous pouvez vérifier en utilisant la double distributivité pour développer $(x+5{)}^2$‍.

On peut écrire ces identités dans l'autre sens. On met alors une somme algébrique sous la forme d'un produit. C'est pourquoi ces identités permettent de factoriser les polynômes de la forme $a^2\pm 2ab+b^2$‍.

Par exemple, si $a=x$‍ et $b=5$‍, on factorise $x^2+10x+25$‍ en utilisant la première identité :

Les expressions de ce type sont des développements du carré d'une somme algébrique.

Voici quelques exemples.

$x^2=x^2$‍ et $16=4^2$‍, donc le premier et le dernier terme sont respectivement le carré de $x$‍ et le carré de $4$‍. Le terme du milieu est le double produit de $x$‍ par $4$‍ : $2\times x\times 4=8x$‍.

Donc ce polynôme est le développement du carré d'une somme et on peut utiliser l'identité

IIci, $a=x$‍ et $b=4$‍, donc :

Pour vérifier, on peut développer $(x+4{)}^2$‍ :

Le coefficient du terme du second degré peut être différent de $1$‍.

Dans le trinôme $4x^2+12x+9$‍, le premier terme est $4x^2=(2x{)}^2$‍ et le dernier terme est $9=3^2$‍, donc ces deux termes sont respectivement le carré de $2x$‍ et le carré de $3$‍. Le terme du milieu est le double produit de $2x$‍ par $3$‍ : $2\times 2x\times 3=12x$‍.

Donc $4x^2+12x+9$‍ est le développement du carré d'une somme et on peut appliquer l'identité

$a=2x$‍ et $b=3$‍, donc

Pour vérifier, on peut développer $(2x+3{)}^2$‍.