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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4 

Leçon 2: Rappels : Factorisation et équation produit nul
Mathématiques
4e année secondaire
L'équation du second degré
Rappels : Factorisation et équation produit nul
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Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation

Google Classroom
Comment résoudre une équation produit telle (x-1)(x+3)=0. Comment utiliser les méthodes de factorisation que vous connaissez pour résoudre une équation du second degré.

Les prérequis

Le sujet traité

Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en x et des constantes.
Vous avez aussi résolu certaines équations du second degré, où la variable est au carré, en prenant la racine carrée des deux membres.
Dans cette leçon, vous allez apprendre une nouvelle façon de résoudre les équations du second degré. Plus précisément, vous apprendrez
  • comment résoudre une équation produit telle que (x−1)(x+3)=0 et
  • à utiliser des méthodes de factorisation pour résoudre d'autres équations, par exemple l'équation x2−3x−10=0.

Résoudre une équation-produit

Soit à résoudre l'équation (x−1)(x+3)=0.
C'est une équation à une inconnue où le premier membre est un produit de deux facteurs du premier degré et le second membre est 0. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc, (x−1)(x−3)=0 équivaut à (x−1)=0 ou (x+3)=0.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3
Les solutions de l'équation sont x=1 et x=−3.
À vous !
Résoudre (x+5)(x+7)=0.
Choisissez une seule réponse :

Résoudre (2x−1)(4x−3)=0.
Choisissez une seule réponse :

Une question

Peut-on appliquer cette méthode de résolution à l'équation (x−1)(x+3)=6 ?
Choisissez une seule réponse :

Remarque

Comment peut-on être sûr qu'il n'y a pas d'autres solutions ?
AB=0 si et seulement si A=0 ou B=0
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Si on remplace x par n'importe quelle autre valeur, on aura un produit de deux nombres, tous les deux différents de zéro. Donc on est sûr de ne pas obtenir zéro. Par conséquent, il n'y a pas d'autres solutions.

Résoudre à l'aide d'une factorisation

Soit à résoudre l'équation x2−3x−10=0. On peut factoriser le polynôme x2−3x−10 !
x2−3x−10=(x+2)(x−5).
La résolution de cette équation est :
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5
A vous ! N'oubliez pas que différents types d'équations appellent différentes méthodes de factorisation.

Résoudre x2+5x=0.

Étape 1. Factoriser x2+5x.

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Résoudre x2−11x+28=0.

Étape 1. Factoriser x2−11x+28 pour obtenir un produit de deux facteurs.

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Résoudre 4x2+4x+1=0.

Étape 1. Factoriser 4x2+4x+1 pour obtenir un produit de deux facteurs.

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Résoudre 3x2+11x−4=0.

Étape 1. Factoriser 3x2+11x−4 pour obtenir un produit de deux facteurs.

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Deux règles à observer

Écrire l'équation sous la forme ax2+bx+c=0.

Par exemple, voici la résolution de l'équation x2+2x=40−x :
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0on soustrait 40 et on ajoute x dans les deux membresx2+3x−40=0on réduit(x+8)(x−5)=0on factorise
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5
On écrit l'équation sous la forme ax2+bx+c=0, on factorise et on résout l'équation produit obtenue.

Simplifier éventuellement en utilisant un facteur commun.

Par exemple, voici la résolution de l'équation 2x2−12x+18=0 :
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0on divise par 2.(x−3)2=0on factorise.↓x−3=0x=3
Le facteur commun est 2, on peut donc diviser les deux membres par 2.
À vous !
Résoudre l'équation.
2x2−3x−20=x2+34
Choisissez toutes les réponses possibles :

Résoudre l'équation.
3x2+33x+30=0
Choisissez toutes les réponses possibles :

Résoudre l'équation.
3x2−9x−20=x2+5x+16
Choisissez toutes les réponses possibles :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Patrice ASTORG
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Patrice ASTORG «x+5√x-3=0 résoudre équati ... »
    x+5√x-3=0 résoudre équation
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «5√x = 3 - x avec x ⩾ 0 et ... »
      5√x = 3 - x avec x ⩾ 0 et 3 - x ⩾ 0, donc 0 ≤ x ≤ 3
      On élève au carré et on obtient
      25x =(3-x)²
      x² - 31x + 9 = 0
      Il n'est pas possible de factoriser en utilisant la méthode décrite ici.
      Pour factoriser, il faut passer par la forme canonique :
      x² - 31x + 9 = 0
      (x - 31/2)² - 961/4 + 9 = 0
      (x - 31/2)² - (961/4 - 9) = 0
      (x - 31/2)² - 925/4 = 0
      (x - 31/2)² - (5√37/2)² = 0 car 925 = 25 × 37
      (x - 31/2 + 5√37/2)(x - 31/2 - 5√37/2)= 0
      x' = (31 - 5√37)/2 et x" = (31 + 5√37)/2
      x" > 3 donc ne convient pas
      La solution est x' = (31 - 5√37)/2
      On peut aussi utiliser la formule
      Δ = 925 = 25×37
      x' = (31 - 5√37)/2 et x" = (31 + 5√37)/2
      (2 votes)
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur alexminka1
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de alexminka1 «J'arrive pas à résoudre : ... »
    J'arrive pas à résoudre : x²+6=0 et 16x²-56x+49=0 Aidez moi... svp, merci.
    (1 vote)
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