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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4 

Leçon 3: Résoudre en utilisant la forme canonique (compléter le carré)
Mathématiques
4e année secondaire
L'équation du second degré
Résoudre en utilisant la forme canonique (compléter le carré)
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Mettre un trinôme du second degré sous forme canonique

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Par exemple, si on met le trinôme x²+6x+2 sous forme canonique, c'est-à-dire si on montre que x²+6x+2 = (x+3)²-7, alors la résolution de l'équation x²+6x+2=0 se ramène à celle de l'équation (x+3)²-7=0

Les prérequis

  • Résoudre une équation de la forme X² = a.
  • Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation.

Le sujet traité

Jusqu'à maintenant, nous avons vu comment résoudre des équations du second degré grâce à deux méthodes, relativement simples et efficaces : prendre la racine carrée ou factoriser. Malheureusement, elles ne sont pas toujours applicables.
Cette leçon donne LA solution pour résoudre une équation du second degré quels que soient les coefficients a, comma, b et c.

Résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique

On considère l'équation x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. On ne peut ni prendre la racine carrée, ni factoriser.
Mais tout espoir n'est pas perdu ! On utilise ici la forme canonique. Voici ce dont il s'agit :
(1)x2+6x+2=0(2)on fait apparaıˆtre le carreˊ d’une sommex2+6x+9−9+2=0(3)premieˋre identiteˊ remarquable(x+3)2−7=0(4)troisieˋme identiteˊ remarquable[(x+3)−7][(x+3)+7]=0(5)x+3=±7(6)x=−3±7\begin{aligned}(1)&&x^2+6x+2&=0\\\\ \blueD{(2)}&\blueD{\text{on fait apparaître le carré d'une somme}}&\Large\blueD{x^2+6x+9-9+2}&\Large\blueD{=0}&\\\\ (3)&\text{première identité remarquable}&(x+3)^2-7&=0&\\\\ (4)&\text{troisième identité remarquable}&[(x+3)-\sqrt{7}][(x+3)+\sqrt{7}]&=0&&\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&\text{}& x&=-3\pm\sqrt{7}&\end{aligned}⁡\operatorname{}
Il y a deux solutions x, equals, minus, 3, plus, square root of, 7, end square root et x, equals, minus, 3, minus, square root of, 7, end square root.

On regarde de plus près

À la ligne start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, on a ajouté et retranché 9. Ceci permet de faire apparaître x, squared, plus, 6, x, plus, 9 qui est le développement du carré de left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis. On obtient, à la ligne left parenthesis, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, minus, 7. Or, 7 est le carré de racine de 7, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés que l'on peut factoriser. left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, minus, 7 s'appelle la forme canonique du trinôme x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Ce n'est bien sûr pas par hasard que l'on a choisi d'ajouter et de retrancher 9. C'était en vue de mettre en évidence le développement du carré d'une somme.

Le choix du nombre à ajouter et retrancher

Si on a choisi le nombre 9 c'est parce que x, squared, plus, 6, x est le début du développement du carré de x, plus, 3. En effet left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
On peut poser le problème d'une autre façon. On peut se demander quelle doit être la valeur de a pour que x, squared, plus, 6, x, plus, a, squared, equals, x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, equals, left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared. De cette égalité on déduit que :
  1. 2, a, equals, 6, donc a, equals, 3.
  2. Le nombre qu'il faut ajouter à x, squared, plus, 6, x est a, squared, c'est-à-dire 3, squared, equals, 9.
À vous !
Exercice 1
Quel nombre faut-il ajouter à x, squared, plus, 10, x pour obtenir le développement du carré d'une somme ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2
Quel nombre faut-il ajouter à x, squared, minus, 2, x pour obtenir le développement du carré d'une différence ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3
Quel nombre faut-il ajouter à x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x pour obtenir le développement du carré d'une somme ?
  • Votre réponse doit être
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5

Un dernier exercice
Quel nombre faut-il ajouter à x, squared, plus, b, times, x pour obtenir le développement du carré d'une somme ?
Choisissez une seule réponse :

Remarque. On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme x, squared, plus, b, x sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared.
Par exemple, pour mettre x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x sous forme canonique, on ajoute et on retranche left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9.

Un dernier exemple

Le voici :
Soit à résoudre l'équation x, squared, minus, 10, x, plus, 12, equals, 0.
(1)x2−10x+12=0(2)On fait apparaıˆtre le carreˊ d’une diffeˊrencex2−10x+25−25+12=0(3)deuxieˋme identiteˊ remarquable(x−5)2−13=0(4)troisieˋme identiteˊ remarquable[(x−5)−13][(x−5)+13]=0(5)x−5=±13(6)x=5±13\begin{aligned}(1)&&x^2-10x+12&=0\\\\ \blueD{(2)}&\blueD{\text{On fait apparaître le carré d'une différence}}&\Large\blueD{x^2-10x+25-25+12}&\Large\blueD{=0}&\\\\ (3)&\text{deuxième identité remarquable}&(x-5)^2-13&=0&&\text{}\\\\ (4)&\text{troisième identité remarquable}&[(x-5)-\sqrt{13}][(x-5)+\sqrt{13}]&= 0&&\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&& x&=5\pm\sqrt{13}&&\end{aligned}⁡\operatorname{}
x, squared, minus, 10, x est le début du développement du carré de x, minus, 5, donc à la ligne start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd on a ajouté et retranché 25 qui est le carré de 5.
On a obtenu left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, minus, 13. Or, 13 est le carré de racine de 13, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés, facile à factoriser.
À vous !
Exercice 4
Les solutions de l'équation x, squared, minus, 8, x, equals, 5 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Les solutions de l'équation x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction sont :
Choisissez une seule réponse :

Deux règles à observer

Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0

Par exemple, soit l'équation x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1.
(1)x2+5x−6=x+1(2)eˊquivaut aˋx2+4x−6=1(3)eˊquivaut aˋx2+4x−7=0(4)on fait apparaıˆtre le carreˊ d’une somme :(x2+4x+4)−4−7=0(5)mise sous forme canonique :(x+2)2−11=0(6)factorisation :[(x+2)+11][(x+2)−11]=0(7)x+2=±11(8)x=−2±11\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1&&\\\\ \tealD{(2)}&\tealD{\text{équivaut à}}&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&\\\\ \purpleC{(3)}&\purpleC{\text{équivaut à}}&\purpleC{x^2+4x-7}&\purpleC{=0}&&{}\\\\ (4)&\text{on fait apparaître le carré d'une somme :}&(x^2+4x+4)-4-7&=0&&\text{}\\\\ (5)&\text{mise sous forme canonique :}&(x+2)^2-11&=0&&\\\\ (6)&\text{factorisation :}&[(x+2)+\sqrt{11}][(x+2)-\sqrt{11}]&=0&&\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&& x&=-2\pm\sqrt{11}&&\text{}\end{aligned}⁡\operatorname{}
Si on entreprend de mettre en évidence un carré dans le premier membre et que dans l'autre membre il y a des termes en x, la méthode ne marchera pas.⁡\operatorname{}
Il faut toujours commencer par mettre l'équation sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.⁡\operatorname{}

Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par a pour que le coefficient de x, squared soit égal à 1.

Soit l'équation 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42.
(1)3x2−36x+42=0(2)eˊquivaut aˋ x2−12x+14=0(3)eˊquivaut aˋx2−12x+36−36+14=0(4)mise sous forme canonique(x−6)2−22=0(5)factorisation[(x−6)−22][(x−6)+22]=0(6)x−6=±22(7)x=6±22\begin{aligned}(1)&\text{}&3x^2-36x+42&=0\\\\ \maroonD{(2)}&\maroonD{\text{équivaut à }}&\maroonD{x^2-12x+14}&\maroonD{=0}&\\\\ (3)&\text{équivaut à}&x^2-12x+36-36+14&=0&\\\\ (4)&\text{mise sous forme canonique}&(x-6)^2-22&=0&\\\\ (5)&\text{factorisation}&[(x-6)-\sqrt{22}][(x-6)+\sqrt{22}]&=0&&\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&& x&=6\pm\sqrt{22}&&\text{}\end{aligned}⁡\operatorname{}
Cette méthode ne fonctionne que si le coefficient de x, squared est 1.
C’est pourquoi à la ligne start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c on a divisé par 3 qui est le coefficient de x, squared.
Bien sûr, parfois cette division par le coefficient de x, squared fait apparaître des fractions.
A vous !
Exercice 6
Les solutions de l'équation 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0 sont :
Choisissez une seule réponse :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur amaryllis.swann
    Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de amaryllis.swann «Je ne comprends pas la rè ... »
    Je ne comprends pas la règle n°2.
    (4 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • mr pants purple style l'avatar de l’utilisateur Michael
      Posté il y a il y a 3 mois. Lien direct vers le message de Michael «Avec cette méthode, on pa ... »
      Avec cette méthode, on part d'un trinôme et on cherche à obtenir une forme du type (x + a)² ou (x - a)².

      Or, si on voulait faire l'opération en sens inverse, on obtiendrait un trinôme dont le facteur de x² serait 1:

      (x + a)² = 1x² + 2ax + a²
      ou
      (x - a)² = 1x² - 2ax + a²

      Voilà pourquoi la Règle nº2 nous dit de diviser tous les termes du trinôme de façon a obtenir un facteur de 1 pour le terme au carré, tel que:

      (1) 3x² - 93x + 14 = 0
      (2) 3x²/3 - 93x/3 + 14/3 = 0
      (3) 1x² - 31x + 14/3 = 0

      Qu'on pourra ensuite factoriser avec la méthode décrite dans ce cour. Et là ou les méthodes précédentes n'auraient pas marché avec n'importe quel trinôme, là, j'ai pris des valeurs au pif, parce que ça marchera avec tous les trinômes.

      Si je ne me suis pas planté, la solution de cet exemple serait:
      (x - 31)² - 2827/12 = 0
      Donc:
      x = sqrt(2827/12) - 31 || x = -sqrt(2827/12) - 31
      (1 vote)
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