La forme canonique

bonjour alors on va continuer à travailler sur les équations du second degré jusqu'à maintenant on a déjà appris à résoudre des équations du second degré dans des cas assez simple en utilisant des méthodes assez simple la première méthode c'était de se dire que si on avait une équation de ce genre là x - za élevée au carré égal à b voyons de ce genre là à ce moment là c'était à faire assez facile de trouver la valeur de x les valeurs de x si elles existent qui vérifie cette équation l'art en prenant la racine carrée ou alors dans d'autres cas on avait réussi à factoriser le polynôme du second degré pour ensuite résoudre une équation voilà alors ici ce qu'on va faire c'est quelque chose de très très important puisque en fait on va voir la méthode qui permet de résoudre n'importe quelle équation du second degré dans tous les cas donc c'est vraiment une vidéo très très importante et je trouve gages à être à la suivre très attentivement alors en fait ce qu'on va faire pour pour ça c'est introduire ce qu'on appelle la forme canonique d'un polynôme formes canoniques canonique d'un pot ni l'homme polynôme de degré de évidemment donc cette forme canonique on l'appelle comme ça parce que finalement c'est une forme qui va mettre en avant les caractéristiques principales du polynôme dont on parle donc c'est pour ça qu'on dit canonique et finalement ce qu'on peut faire c'est regarder un petit peu à partir de 7 ce type d'équations là qu'on sait résoudre à quoi ça va correspondre finalement quand on a une équation de ce genre là ce qu'on peut faire c'est l'écrire comme ça c'est x - za élevée au carré moimbé égal à zéro donc peu sera menée une équation de ce genre là avec un polynôme du second degré qui est ici celui ci un x monza élevée au carré - b que tu peux développer exprimé comme tu veux ça reste un polynôme du second degré alors évidemment si b est négatif cette équation là n'a pas de solution réelle aura des solutions complexes mais mais pas de co2 solution réelle par contre si b est positif ce qu'on a ici c'est une différence de carré on peut prendre la racine carrée de b et donc on va pouvoir factoriser cette différence de carrés et ça va nous donner une factorisation de ce genre là enfin 7,7 factorisation la xe - à - racine carrée 2b facteur 2 x - n'a plus racine carrée de paix voilà j'ai des parenthèses ici que je peux enlever si je veux voilà donc ça c'est une factorisation de ce polynôme qui est là et du coup mon équation je peux l'écrire comme ça et je trouve très facilement sa solution puisque j'ai eu une forme factoriser alors évidemment là c'est très facile puisque le polynôme que j'avais ici était un quart est donc finalement j'obtiens tout de suite une différence de carré alors dans le cas général bien sûr c'est pas aussi simple puisque dans le cas général je vais avoir une je vais prendre un exemple pour fixer les idées et tu viens on va travailler sur cet exemple je vais prendre cette se polit nommé la xe au carré - 4x et cette équation la xe au carré - 4x égal 5 je laisse exprès ici de la place tu vas voir pourquoi et donc là comme tu peux le voir cette partie là n'est pas un carré donc si je passe le 5 de l'autre côté pour faire ce travail là eh bien je vais pas obtenir une différence de carré donc ça va pas être facile à faire mais quand même l'idée qui va nous guider c'est que si on arrivait à transformer cette partie là en mains carrées et bien on se retrouverait exactement dans cette situation là donc on arriverait à résoudre notre équation donc l'idée c'est ça comment est-ce qu'on peut manipuler cette partie là pour la transformer en un carré d'ailleurs nous en france on m'appelle sa forme canonique mais par exemple les anglais disent qu'ils utilisent la méthode de complétion du carré completing de square ce qui est assez imagé pas ce que ça veut dire qu'ils essaient de compléter ce polynôme qui est là pour en faire un carré voilà enfin ça c'est juste pour l'anecdote nous on s'en fiche ce qu'on va faire c'est essayer de trouver qu est ce qu il faudrait ajouter ici la plus quelque chose pour faire en sorte que cette partie là soit un carré alors ça on l'a déjà fait plusieurs fois dans d'autres vidéos que tu as peut-être vu il ya longtemps sur la khan academy mais on va revoir ça un petit peu rapidement donc si je ce que je voudrais en fait c'est pouvoir écrire x au carré - 4x plus quelque chose comme le carré d'un binôme de ce genre là x - za élevée au carré avec évidemment cela que je connais pas encore alors on va prendre les choses à l'envers si je développe cette partie là donc ça c'est une identité remarquable ça me donne x au carré - 2 the xx plus à au carré plus à au carré voilà et maintenant je peux procéder par identification des termes du même degré l'ag se hisse au carré que je retrouve là donc ça c'est bon ensuite j'ai ce - 4 x - 4 c'est le coefficient des termes de degré 1 et de ce côté là de l'autre côté du signe égal le coefficient des termes de degré 1 c'est moins d'eux a alors ces deux coefficient doivent être égaux donc ce que je dois avoir ses -2 à qui doit être égale à moins 4 voilà donc si - 2 1 est égal à -4 ça ça veut dire que a est égal à 2 à est égal à 2 donc ce qu'il faudrait que j'ajoute ici là cette partie là et bien c4 qui est égale à o car est le carré de mon petit tacle je viens déterminer voilà alors là ça c'est un travail détaillé on peut aller beaucoup plus rapidement à partir d'ici alors je vais effacer ça pour ce soit plus clair est ce qu'on peut faire ici c'est reconnaître que ce coefficient la moins 4 eh bien ça doit être le double produit donc moins deux ax donc si je veux trouver à j'avais tout simplement de reprendre la moitié de ce mois 4 c'est-à-dire moins 2 et du coup ce qu'il faut que j'ajoute ici c'est le carré de 2 c'était carré de -2 si tu préfères c'est à dire 4 voilà alors évidemment quelque chose d'autre que tu sais depuis très longtemps c'est que quand j'ai une équation si j'ajoute quelque chose d'un côté pour maintenir le signe égal maintenir l'égalité il faut que je fasse exactement la même chose de l'autre côté donc à droite ici d' du signe égal je vais devoir ajouter 4 aussi et là tu vois j'ai ajouté 4 2 membres du signe égal donc j'ai obtenu une autre équation qui exactement équivalente à celle que j'avais avant donc il ya aucun problème et l' avantage c'est que maintenant ici je sais que x au carré - 4 x + 4 et bien ça c'est x -2 élevée au carré ça c'est ce que j'obtiens au nombre de gauche de mon équation et aux membres de droite g5 + 4 c'est à dire neuf et là tu vois je peut procéder comme tout à l'heure c'est à dire écrire ça de cette manière-là x -2 élevée au carré -9 égal à zéro là ce que j'obtiens ce exactement une différence de carhaix donc je peux factoriser de cette manière là 6 - 2 - la racine carrée de neuf qui est égale à trois facteurs 2x moins deux plus la racine carrée de neuf c'est à dire plus 3 voilà et ça ça doit être égale à zéro alors je peux évidemment simplifier un peu cette équation qui est équivalente à celle là x - 2 - 3 ça fait x - cinq facteurs de x - 2 + 3 c'est à dire x + 1 ça ça doit être égale à zéro et donc là tu vois qu'on trouve que x va être égale à 5 ou x peut être égal à -1 puisqu'on a une forme factoriser voilà donc tu vois qu'on arrive à résoudre notre équation de cette de cette manière là alors je veux être très clair évidemment il ya d'autres manières de résoudre cette équation là par exemple qui aurait très bien pu l'écrire de cette manière là x au carré - 4x -5 égal à zéro ça c'est tout à fait possible en partant de l'équation qu'on avait au départ et puis ici tu aurais pu travailler en cherchant deux nombres dont le produit est égal à -5 et la somme égale à -4 et de cette manière là tu aurais pu trouver exactement les mêmes solutions donc résoudre aussi cette équation là mêmes dans ce cas là peut-être que cette méthode là aurait été beaucoup plus rapide que celle qu'on vient de faire avec la forme canonique mais ce qui est vraiment important c'est que c'est très très utile c'est que la forme canonique elle va toujours te permettre de résoudre une équation du second degré ce n'est pas forcément le cas en utilisant cette méthode par som et produit 2,2 terme alors pour te convaincre de ça on va faire un autre exemple concret et puis après tu verras que dans les vidéos qui suivent on trouvera complètement cette ce que je viens de te dire c'est à dire qu'on va réussir à trouver une formule qui donne laisse les solutions d'une équation du second degré c'est-à-dire les racines d'un polynôme du second degré alors pour l'instant on va continuer à faire un exemple j'espère que ça aidera convaincre je prends par exemple ce polynôme la 10x au carré - 30 x - 30 x - 8 voilà est ce que je vais chercher c'est les racines de ce polynôme c'est à dire quand on va essayer de résoudre cette équation la 10x au carré - 30x -8 égal zéro alors déjà un premier réflexe vraiment très très utile c'est de regarder si on peut pas simplifier le polynôme combat ici alors là j'ai indices ici c'est à -30 et l'aja -8 ce sont tous des nombres pairs dans probablement en tout cas ce qui est sûr c'est que je peut diviser tout les coefficients par deux ce qui veut dire que je vais diviser sa ce terme la part de ce terme la part de ce terme là par deux jeux tout divisé par deux membres de gauche donc je vais aussi divisé par deux le membre de droite alors l'âge obtient 5 x au carré moins la moitié de 30 c'est à dire 15 x moins la moitié de 4 et 2 8 pardon c'est à dire 4 et j'obtiens cette nouvelle équation la 5x au carré -15 6 - 4 égal zéro alors là on va déjà quand même pas mal simplifier notre expression on peut aller encore un petit peu plus loin et par exemple ce qu'on peut faire c'est factoriser 5 pour ceux ramenés un polynôme 2° 1 donc j'aime est de 5 ans facteur j'obtiens 5 x x au carré x au carré je n'arrive pas très bien à écrire ce matin -15 6 / 5 c'est à dire moins 3 x - 4 / 5 je vais l'écrire comme ça c'est moins moins 4/5 et tout ça ça doit être égale à zéro alors maintenant je peux diviser les deux membres par cinq et j'obtiens finalement ce polynôme la xe au carré - 3 x moins 4/5 doit être égale à zéro donc tu vois que ici le polynôme caylar je répète ainsi tu veux chercher al factoriser en utilisant la somme et le produit il va falloir que tu trouves deux nombres dont le produit soit égal à moins 4/5 et la somme à -3 c'est vraiment pas très facile donc effectivement ça va être vraiment bien de pouvoir faire autrement que comme ça alors ce qu'on va faire c'est essayer de trouver dans cette expression là le début d'un carré alors on va aller vite comme tout à l'heure ce coefficient la moins trois en fait c'est le double produits donc si je veux trouver le petit a que je cherche eh bien je vais diviser sa part 2 donc ça veut dire que le mon petit a et bien c'est moins 3 / de -3 2 me et du coup à au carré je vais l'écrire comme ça c'est le carré de -3 demi c'est à dire neuf car donc ce que je vais faire maintenant c'est écrire x au carré - 3 x ça c'est ce que j'avais avant plus neuf cars et puis -9 car j'ajoute neuf carrés jaunes enlève tout de suite finalement j'ai rien ajouté et puis j'ai le moins 4/5 qui est là encore et ça ça doit être égale à zéro alors l'intérêt c'est que ici cette partie là ça assez x - 3/2 élevée au carré voilà et puis du coup ensuite ce que j'ai c'est moins neuf car moins 4/5 -9 car moins 4/5 mais ça ça doit être égale à zéro alors moins neuf car moins 4/5 je vais le faire à côté - neuf car moins 4/5 le dénominateur commun c'est fin donc ici j'ai 9 - 9 x 5 ça fait moins 45 - 4 x 4 donc c'est moins 16 sur 20 et ça alors -45 me disent ça fait moins 55 donc j'ai ici -61 -61 20e donc finalement mon équation je vais remonter un petit peu mon équation ici c'est x - 3/2 élevée au carré -61 20e -61 20e égal à zéro et là on a une différence de carhaix donc on peut factoriser je vais l'écrire comme ça c'est x - 3/2 - racine carrée de 61 20e facteur 2 x - 3/2 plus racine carrée de 61 surface 61 20e qui doit être égale à zéro et donc finalement ce qu'on trouve ces deux solutions la gelée écrire sous forme condensée x égal alors si je prends ce facteur là il faut qu'il soit égal à zéro donc il faut que x ou égale à trois demis plus racine de 61 sur 20 et si je prends ce deuxième facteur il faut qu'il soit égal à zéro aussi et ça ce sera vrai 6 x est égal à trois demis - racines de 61 sur 20 donc finalement ce que j'ai ces deux solutions qui sont x égale trois demis plus ou moins racines de 61 sur fin voilà alors j'espère que ça suffit à te convaincre parce que finalement les valeurs on trouve sont suffisamment compliqué pour que tu vois que ça c'était vraiment très très presque impossible de les trouver autrement que par cette manière là voilà j'espère que tu as bien compris tout ce que j'ai dit dans cette vidéo la est dans la suite on ira un peu plus loin des faits en trouvant une formule générale pour résoudre les équations du second degré