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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4

Leçon 4: Résoudre en utilisant le discriminant

Bien comprendre la formule

Cette leçon porte sur la formule des solutions d'une équation du second degré.
La forme générale d'une équation du second degré est :

a x^{2} + b x + c = 0

avec

a ≠ 0

Cette formule permet de trouver ses solutions, c'est-à-dire les valeurs de

x

qui vérifient l'égalité.

La formule des racines d'un polynôme du second degré

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Vous pouvez tout de suite vous entraîner à l'appliquer en faisant ces exercices :
Résoudre une équation du second degré en utilisant la formule

Exemple

Il faut d'abord identifier les valeurs de

a

b

c

. La première étape est de s'assurer que l'équation est sous la forme

a x^{2} + b x + c = 0

Soit l'équation

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ est le coefficient du terme du second degré, $x^{2}$ ‍. Ici $a = 1$ ‍ ( $a$ ‍ est toujours différent de $0$ ‍, sinon l'équation ne serait pas du second degré).
$b$ ‍ est le coefficient du terme du premier degré, $x$ ‍. Ici $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ est le terme constant. Ici $c = - 21$ ‍.

On remplace

a

b

c

par leurs valeurs dans la formule :

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \times 1 \times (- 21)}}{2}

On obtient :

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Donc les solutions de l'équation sont

3

- 7

Que peut-on en déduire ?

Ci-dessous la parabole représentative de la fonction

x \mapsto x^{2} + 3 x - 4

. Les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation

x^{2} + 3 x - 4 = 0

Les solutions de cette équation sont

- 4

1

Attention, ce serait du temps perdu d'utiliser la formule si le trinôme du second degré est simple à factoriser. Par exemple la formule est totalement inutile pour résoudre l'équation

x^{2} - 8 x + 16 = 0

ou l'équation

x^{2} - 121 = 0

ou même l'équation

x^{2} - 4 x + 3 = 0

Il faut réserver son utilisation aux cas où la factorisation du trinôme est difficile et fastidieuse.

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :

3 x^{2} + 6 x = - 10

On l'écrit sous la forme

a x^{2} + b x + c = 0

\underset{a}{\underset{⏟}{3}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{6}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{10}} = 0

On applique la formule :

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \times 3 \times 10}}{2 \times 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Il n'existe pas de nombre réel dont le carré est

- 84

, donc l'équation n'a pas de solution. On peut le vérifier graphiquement. Ci-dessous la parabole représentative de la fonction

x \mapsto 3 x^{2} + 6 x + 10

. Elle n'a pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Vous voyez que la formule est simple à utiliser !
Vous trouverez d'autres exemples dans les deux vidéos ci-dessous.

Conseils

Toujours commencer par mettre l'équation sous la forme: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍.
Il peut être avisé de calculer d'abord $b^{2} - 4 a c$ ‍, car s'il est négatif, il est inutile de continuer puisque qu'il est sûr que l'équation n'a pas de solution réelle.
Attention aux erreurs de signe en calculant $b^{2} - 4 a c$ ‍
Ne pas oublier le $+ / -$ ‍ afin d'obtenir les DEUX solutions
Il faut toujours donner les valeurs exactes des solutions et non des valeurs approchées, donc il ne faut pas calculer la racine carrée à la calculatrice .‍

Étape suivante :

Reprendre éventuellement ces exercices.
Regarder cette vidéo :

Conteneur de vidéo Khan Academy

Using the quadratic formulaVoir la transcription de la vidéo

ou celle-ci qui montre comment on a établi la formule :

Conteneur de vidéo Khan Academy

Proof of the quadratic formulaVoir la transcription de la vidéo

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