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Contenu principal

Bien comprendre la formule

.
Cette leçon porte sur la formule des solutions d'une équation du second degré.
La forme générale d'une équation du second degré est :
ax2+bx+c=0 avec a ≠ 0
Cette formule permet de trouver ses solutions, c'est-à-dire les valeurs de x qui vérifient l'égalité.

La formule des racines d'un polynôme du second degré

x=b±b24ac2a
Vous pouvez tout de suite vous entraîner à l'appliquer en faisant ces exercices :
Résoudre une équation du second degré en utilisant la formule

Exemple

Il faut d'abord identifier les valeurs de a, b et c. La première étape est de s'assurer que l'équation est sous la forme ax2+bx+c=0.
Soit l'équation x2+4x21=0
  • a est le coefficient du terme du second degré, x2. Ici a=1 (a est toujours différent de 0, sinon l'équation ne serait pas du second degré).
  • b est le coefficient du terme du premier degré, x. Ici b=4.
  • c est le terme constant. Ici c=21.
On remplace a, b et c par leurs valeurs dans la formule :
x=4±164×1×(21)2
On obtient :
x=4±1002=4±102=2±5
Donc les solutions de l'équation sont 3 et 7.

Que peut-on en déduire ?

Ci-dessous la parabole représentative de la fonction xx2+3x4. Les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation x2+3x4=0.
Tracer la courbe représentative de la fonction du second degré
Les solutions de cette équation sont 4 et 1.
Attention, ce serait du temps perdu d'utiliser la formule si le trinôme du second degré est simple à factoriser. Par exemple la formule est totalement inutile pour résoudre l'équation x28x+16=0 ou l'équation x2121=0 ou même l'équation x24x+3=0.
Il faut réserver son utilisation aux cas où la factorisation du trinôme est difficile et fastidieuse.

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :
3x2+6x=10
On l'écrit sous la forme ax2+bx+c=0 :
3ax2+6bx+10c=0
On applique la formule :
x=6±624×3×102×3=6±361206=6±846
Il n'existe pas de nombre réel dont le carré est 84, donc l'équation n'a pas de solution. On peut le vérifier graphiquement. Ci-dessous la parabole représentative de la fonction x3x2+6x+10. Elle n'a pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Afficher la courbe représentative sur une calculatrice
Vous voyez que la formule est simple à utiliser !
Vous trouverez d'autres exemples dans les deux vidéos ci-dessous.

Conseils

  • Toujours commencer par mettre l'équation sous la forme: ax2+bx+c=0.
  • Il peut être avisé de calculer d'abord b24ac, car s'il est négatif, il est inutile de continuer puisque qu'il est sûr que l'équation n'a pas de solution réelle.
  • Attention aux erreurs de signe en calculant b24ac
  • Ne pas oublier le +/ afin d'obtenir les DEUX solutions
  • Il faut toujours donner les valeurs exactes des solutions et non des valeurs approchées, donc il ne faut pas calculer la racine carrée à la calculatrice .

Étape suivante :

Conteneur de vidéo Khan Academy
Using the quadratic formulaVoir la transcription de la vidéo
  • ou celle-ci qui montre comment on a établi la formule :
Conteneur de vidéo Khan Academy
Proof of the quadratic formulaVoir la transcription de la vidéo

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