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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 4 

Leçon 1: Résoudre une équation simple, de la forme aX²=b
Mathématiques
4e année secondaire
L'équation du second degré
Résoudre une équation simple, de la forme aX²=b
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Résoudre une équation de la forme X² = a

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Comment résoudre des équations du type x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Prérequis :

Le sujet traité

Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en x et des constantes.
Cette leçon est la première d'une série de leçons sur les équations du second degré. Une équation est du second degré s'il y figure au moins un terme en x, squared.
Voici des exemples d'équations du second degré :
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
La première est de la forme x, squared, equals, a, squared, la deuxième est de la forme left parenthesis, x, minus, a, right parenthesis, squared, equals, b, squared et la troisième se ramène à une équation de la forme x, squared, equals, a, squared. La résolution de ce type d'équation du second degré est simple.

La résolution des équations du type x, squared, equals, 36

Résoudre l'équation x, squared, equals, 36 signifie trouver le ou les nombres dont le carré est 36.
On applique le théorème : x, squared, equals, a, squared équivaut à x, equals, a ou x, equals, minus, a.⁡\operatorname{}
Voici la résolution de l'équation :
x2=36   eˊquivaut aˋ   x2=62x2=62    eˊquivaut aˋ   ⁡⁡⁡⁡x=6 ou x=−6 les solutions sont     x=6 et x=−6     ou   x=±6\begin{aligned}&x^2=36~~\text{ équivaut à }~~x^2=6^2\\\\ &x^2=6^2~~~\text{ équivaut à }~~{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}x=6\text{ ou }x=-6&&\text{}\\\\ &\text{ les solutions sont }~~~~x=6\text{ et }x=-6~~~~\text{ ou }~~x=\pm 6\end{aligned}
Une recommandation et une observation :

Une recommandation⁡\operatorname{}

Pour résoudre une équation de la forme x, squared, equals, a, squared, le bon réflexe est d'écrire x, squared, equals, a, squared équivaut à x, equals, a ou x, equals, minus, a.
⁡⁡\operatorname{}\operatorname{}Une équation de ce type a deux solutions.

Il est possible d'utiliser le signe ±

Il y a deux nombres dont le carré est a, squared : a et son opposé minus, a. Dans cet exemple, les deux nombres dont le carré est 36 sont 6 et minus, 6. Ce sont les deux solutions de l'équation x, squared, equals, 36.
Le symbole ± est un raccourci commode pour noter deux nombres opposés. Par exemple, ±6 signifie 6 et minus, 6. On écrira que les solutions de l'équation x, squared, equals, 36 sont ±6.
À vous !
Exercice 1
Résoudre x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2
Résoudre x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3
Les solutions de l'équation x, squared, equals, 5 sont :
Choisissez une seule réponse :

La résolution des équations du type left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49

Voici une méthode pour résoudre l'équation left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 :
(x−2)2=49   eˊquivaut aˋ     (x−2)2=72(x−2)2=72     eˊquivaut aˋ   ⁡⁡x−2=7 ou x−2=−7x−2=7 ou x−2=−7     eˊquivaut aˋ     x=9⁡ ou x=−5⁡\begin{aligned}(x-2)^2=49~~&\text{ équivaut à }~~~~(x-2)^2=7^2\\\\ (x-2)^2=7^2~~~~&\text{ équivaut à }~~\operatorname{}\operatorname{}x-2=7\text{ ou }x-2=-7&\text{}\\\\ x-2=7\text{ ou }x-2=-7~~~~&\text{ équivaut à }~~~~x=9\operatorname{}\text{ ou }x=-5\operatorname{}\end{aligned}
Il y a donc deux solutions x, equals, 9 et x, equals, minus, 5.
Une recommandation et une observation :

Une recommmandation

Pour résoudre une équation de la forme X, squared, equals, a, squared, le bon réflexe est d'appliquer le théorème X, squared, equals, a, squared équivaut à X, equals, a ou X, equals, minus, a.

Une observation

Il y a deux équations du 1er degré à résoudre : x, minus, 2, equals, 7 et x, minus, 2, equals, minus, 7.⁡⁡\operatorname{}\operatorname{}
Il y a deux solutions x, equals, 9 et x, equals, minus, 5.
À vous !
Exercice 4
Les solutions de l'équation left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Les solutions de l'équation left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 6
Les solutions de l'équation left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7 sont :
Choisissez une seule réponse :

Pourquoi ne pas développer pour enlever les parenthèses ?

On reprend l'exemple de l'équation left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 et on développe le carré pour supprimer les parenthèses (comme on le fait d'habitude dans une équation du premier degré).
On obtient :
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Et maintenant ? On peut écrire que x, squared, minus, 4, x, equals, 45. Mais ensuite la racine carrée du premier membre est square root of, x, squared, minus, 4, x, end square root et on ne peut pas écrire autrement cette racine carrée.
On a réussi -facilement- à résoudre l'équation left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49, alors que l'on ne sait pas (pas encore) résoudre l'équation x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49. Donc ce n'était pas avisé de développer.
En règle générale, il faut toujours conserver les carrés ou les produits de facteurs dans une équation du second degré.

La résolution des équations du type 2, x, squared, plus, 3, equals, 131

Cette équation n'est pas sous la forme x, squared, equals, a, squared, mais on peut la mettre sous cette forme.
Pour cela, on isole x, squared :
2x2+3=1312x2=128x2=64x2=82x=8   ou   x=−8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{}\\\\ x^2&=64&&\text{}\\\\ x^2&=8^2&&\text{}\\\\ x&= 8~~\text{ ou }~~x=-8\end{aligned}⁡⁡⁡\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}
À vous !
Exercice 7
Les solutions de l'équation 3, x, squared, minus, 7, equals, 5 sont :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 8
Les solutions de l'équation 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38 sont :
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice
Les solutions de l'équation x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9 sont :
Choisissez une seule réponse :

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