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Parabole, sommet et axe de symétrie

Pour trouver les coordonnées du sommet de la parabole d'équation y =-2x² + 8x + 8 et l'équation de son axe de symétrie, le plus simple est d'écrire cette équation sous forme canonique. Créés par Sal Khan et Monterey Institute for Technology and Education.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur alexandrebaumann95
    Quel intérêt par rapport au calcul de la dérivée ?
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur eslitxis
    Par contre je ne comprend pas pourquoi vous mettez le fait de trouver les formules quadratique à partir de la forme standard avant ces vidéo de la lecon 9 la tous est plus simple
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Bonjour,
      Il y a plusieurs parcours différents sur la plateforme.
      Les maths "accès par parties" ou "accès par classes". Et par classes, il y a les classes belges, et les classes françaises.
      De plus, un professeur peut créer lui-même ses propres parcours.
      Chaque parcours a ses spécificités, choisies par celui qui les a créées.
      La bonne nouvelle, c'est que l'apprenant a la possibilité d'avancer, reculer, changer de parcours... avec tout le matériel à disposition sur la plateforme !
      (1 vote)
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Transcription de la vidéo

on va chercher le sommet et l' axe de symétrie de la parabole qui est la représentation graphique de cette fonction alors juste pour rappel si une parabole ressemble à ça elle est tournée vers le haut on dit aussi qu'elle est complexe le sommet et c'est le point le plus bas ici c'est le minimum de la fonction c'est ce point là si la parabole est tourné vers le bas qu'elle ressemble à ça on dit aussi qu'elle est concave et le sommet c'est le maximum c'est ce point là et l'axé de symétrie c'est la droite qui séparent la parabole en deux de façon à ce que les deux parties soient le symétrique d'une de l'autre l' axe de symétrie d'une parabole convexe c'est cet axe là et l' axe de symétrie d'une parabole concave c'est cet axe-là et comment est ce qu'on fait pour déterminer si la parabole est tourné vers le haut ou vers le bas eh bien on regarde le signe du coefficient devant x au carré si ce coefficient est positif alors la parabole est tourné vers le haut elle est complexe si ce coefficient est négatif comme ici alors la parabole est tourné vers le bas allaient concave et il existe une formule qu'on peut directement impliqués pour déterminer les coordonnées du sommet mais on ne va pas l'utiliser ici on va plutôt essayer de comprendre d'où elle vient alors comment est ce qu'on trouve le maximum ou le minimum de la parabole de cette fonction pour ça on va appliquer la méthode de complétion du carré si on factories moins deux dans cette expression on obtient y égal moins de facteurs de x au carré - 4x et je laisse de la place exprès ici - 4 maintenant on veut ajouter un terme ici de façon à obtenir une identité remarquable à l'aide de ces deux termes plus le troisième qu'on veut a ajouté pour ça on ajoute la moitié de ce coefficient au carré c'est à dire moins de au carré c'est plus quatre mais tu sais bien maintenant que je ne peux pas me contenter de faire ça il faut soit que j'ajoute 4 de l'autre côté aussi soi que je soustrais 4 de ce même côté pour conserver mon équation de départ donc on peut maintenant facilement factoriser ce trinôme qui est une identité remarquable sans pour autant modifier l'équation puisque ce qu'on a fait c'est ajouter 4 et enlevé quatre c'est comme si on n'y avait pas touché donc ce trinôme c'est la même chose que x - 2 au carré alors le reste ça ne bouge pas on a toujours moins de ici - 4 - 4 c'est moins 8 et puis ça c'est bien toujours égale à y est maintenant on peut distribuer moins deux à nouveau ça donne y égal moins deux fois x - 2 au carré ensuite on a moins deux fois moins 8 c + 16 et tout ce qu'on a fait ici en fait c'est réarrangé une autre polinum de départ de façon à obtenir une expression qui nous permettent de mettre en évidence le minimum ou le maximum de notre parabole alors cette expression au carré ici elle sera toujours positive puisque c'est un carré sera toujours supérieure ou égale à zéro mais ici on a moins 2 devant donc toute cette expression c'est à dire un nombre négatif qui multiplie en nombre positif et bien ça sera toujours négative ce sera toujours inférieure ou égale à zéro donc plus cette expression est grande plus elle est positive + toute cette expression va d'être négative autrement dit petit on sait qu'on a une parabole tourner vers le bas qui a cette allure là puisque le coefficient ici moins 2 ou celui là ici est négatif et le maximum de notre parabole est atteint quand cette expression là ici est la plus petite possible parce qu'on vient de dire que plus à ces grands plus tout ça ces petits donc si on veut le maximum on veut que ça se tout ça ce soit le plus grand possible donc ça ça doit être le plus petit possible alors si c'est un peu confus pour toi naisy pas à mettre pause sur la vidéo pourrait réfléchir un petit peu et donc comme cette expression là sera toujours négative le maximum qu'elle peut atteindre c zéro est donc le maximum de y c'est 16 c zéro + 16 il est atteint quand x - 2 est égal à zéro autrement dit quand hicks est égale à deux camps x égal 2 ça a c'est égal à zéro moins deux fois 0 ça fait toujours zéro donc y égale 16 et voilà le sommet de notre parabole alors on va placer ce point dans leur père disons que un petit carreau ici ça corresponde à deux unités donc ici on ax égal de ensuite ici on a 2 4 6 8 10 12 14 16 et voilà le point de coordonner 2,16 c'est le sommet de notre parabole on en déduit que l' axe de symétrie de cette parabole c'est la droite d'équations x égale de ses cette droite là et pour tracer notre parabole on a besoin de quelques autres points alors par exemple qu'est-ce qu'il se passe quand x égal zéro quand on est sur l'axé des ordonnées puis quand x égal zéro c'est simple y égale 8 quand x égal zéro y égal 2 4 6 8 on est ici mais comme on a un axe de symétrie quand x égale 4 c'est à dire quand on est exactement à la même distance que ce point là mais de l'autre côté de la kz2 symétrie et bien y égale 4 aussi et si tu ne crois pas tu as qu'a essayé de vérifier en remplaçant x par quatre dans cette expression là donc la parabole va être assez étroites et ressembler à quelque chose plus ou moins comme ça s'est dessinée rapidement mais c'est juste pour te donner une idée de l'alluré générale de notre parabole alors je t'ai dit qu'il y à une formule qui permet de déterminer les coordonnées de ce sommet et maintenant que tu as compris logique qu'on vient de détailler ici eh ben je peux te donner cette formule c'est la formule x égales - b sur deux a c'est la formule qui nous permet de déterminer l'abscisse du sommet de notre parabole si on n'a plus que cette formule dans notre exemple comme on a déjà cette équation sous la forme générale d'ims polinum du second degré on a b c + 8 et à ses -2 puis cesser la constante c'est +8 nom n'a pas besoin ici on a donc x égales - b ces huit sur deux fois assez -2 -2 sas est égal à -8 sur -4 c'est égal à 2 on retrouve bien l'abc ce qu'on avait trouvé ici quand x égal 2 y y et galles 16