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Signe d'une fonction polynôme sur un intervalle

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Prérequis :

Les racines d'une fonction polynôme sont les abscisses des points communs à sa courbe représentative et à l'axe des x.
Par exemple, les racines de la fonction polynôme f définie par f(x)=(x+3)(x1)2 sont 3 et 1, donc les points d'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des x sont les points de coordonnées (3 ;0) et (1 ;0).

Le sujet traité

Un repère orthonormé avec un point de coordonnées (moins trois, zéro) et un point de coordonnées (un, zéro).
Pour tracer la courbe représentative d'une fonction, il ne suffit pas de connaître ses points d'intersection avec l'axe des x.
Il est précieux de savoir si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe des x sur tel ou tel intervalle.
C'est ce que nous allons étudier ici.

Lire sur la courbe représentative d'une fonction quel est son signe sur un intervalle donné

Une fonction polynôme a un signe constant pour toutes les valeurs de la variable comprises entre deux de ses racines consécutives. Elle est soit positive, soit négative.
Une fonction polynomiale légendée y égal f de x est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la fonction est croîssante et passe par le point de coordonnées moins un, zéro. Elle décroît en passant par le point de coordonnées un, zéro puis croît en passant par le point de coordonnées trois,zéro. De moins l'infini à x égal moins un, le domaine est colorié et légendé moins. De x égal moins un à x égal un, le domaine est colorié et légendé plus. De x égal un à x égal trois, le domaine est colorié et légendé moins. De x égal trois à l'infini, le domaine est colorié et légendé plus.
Par exemple, voici la courbe représentative de la fonction définie par f(x)=(x+1)(x1)(x3).
On lit sur le graphique que f est ...
  • ...négative si <x<1.
  • ...positive si 1<x<1.
  • ...négative si 1<x<3.
  • ...positive si 3<x<+.
Attention, il ne faut pas déduire de cet exemple que si a est une racine d'une fonction polynôme alors cette fonction change de signe en a.
Une fonction polynomiale légendée y égal g de x est représentée dans un repère orthonormé. De gauche à droite, la fonction est croîssante et passe par le point de coordonnées (moins deux, zéro). Elle décroît en passant par le point de coordonnées (zéro, zéro). De moins l'infini à x égal moins deux, le domaine est colorié et légendé moins. De x égal moins deux à x égal zéro, le domaine est colorié et légendé moins. De x égal zéro à l'infini, le domaine est colorié et légendé plus.
Voici, par exemple, la courbe représentative de la fonction g définie par g(x)=x(x+2)2.
On lit sur le graphique que g est ...
  • ...négative si <x<2.
  • ...négative si 2<x<0.
  • ...positive si 0<x<.
Mais g ne change pas de signe en 2.

Trouver le signe d'une fonction polynôme

Soit la fonction f définie par f(x)=(x+3)(x1)2. Sur quel(s) intervalle(s) est-elle positive ? Sur quel(s) intervalle(s) est-elle négative ?
La fonction f s'annule en 3 et en 1. Ces deux nombres déterminent trois intervalles.
Un repère orthonormé x y avec un point de coordonnées (moins trois , zéro) et un point de coordonnées (un, zéro). Une droite verticale en pointillés passe par le point de coordonnées (moins trois, zéro). Une droite verticale en pointillés passe par le point de coordonnées (un, zéro).
Quel est le signe de f sur ],3[ ?
On sait que f est de signe constant sur cet intervalle, donc il suffit de trouver quel est son signe pour une valeur particulière de x appartenant à cet intervalle. On prend 4 et on cherche le signe de f(4).
Il n'est pas nécessaire de calculer la valeur exacte de f(4) puisque seul son signe nous intéresse :
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2=()(+)=
f(4) est négatif, donc f est négative sur l'intervalle ],3[.
On procède de la même façon pour les deux autres intervalles.
On obtient :
IntervalleSigne de f(x) pour une valeur particulière de xSigne de f sur l'intervalleLa courbe de f est ...
],3[f(4)<0négativeen-dessous de l'axe des x
]3,1[f(0)>0positiveau-dessus de l'axe des x
]1,+[f(2)>0positiveau-dessus de l'axe des x
Voici la courbe représentative de la fonction f :
Un repère orthonormé x y avec un point de coordonnées (moins trois , zéro) et un point de coordonnées (un, zéro). Une droite verticale en pointillés passe par le point de coordonnées (moins trois, zéro). Une droite verticale en pointillés passe par le point de coordonnées (un, zéro). De moins l'infini à x égal moins trois, le domaine au-dessous de l'axe des x est colorié et légendé moins. De x égal moins trois à x égal un, le domaine au-dessus de l'axe des x est colorié et légendé plus. De x égal un à l'infini, le domaine au-dessus de l'axe des x est colorié et légendé plus.

À vous !

1) La fonction polynôme g définie par g(x)=(x+1)2(x+6) s'annule en 6 et en 1.
Quel est le signe de la fonction g sur l'intervalle ]6,1[?
Choisissez une seule réponse :

1) La fonction polynôme h définie par h(x)=(3x)(x+5)(x2) s'annule en 5, en 2 et en 3.
Quel est le signe de la fonction h sur l'intervalle ]5,2[?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

3) Laquelle de ces courbes peut-être celle de la fonction polynôme g définie par g(x)=(x2)2(x+1)3?
Choisissez une seule réponse :

Y a-t-il une autre façon de déterminer le signe d'une fonction ?

La réponse est oui ! On peut trouver quelle est allure de sa courbe représentative - et donc en déduire son signe - en étudiant son comportement à l'infini et le type de ses racines.

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  • male robot johnny style l'avatar de l’utilisateur Marc Pechaud
    Y'a pas une erreur dans l'avant-avant dernier exercice ?
    On demande l'intervalle en -5 < x < 2 et dans l'aide on fournit la solution pour l'intervalle entre -5 < x < 3 !
    (1 vote)
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