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4e année secondaire

Cours : 4e année secondaire > Chapitre 10

Leçon 8: Échantillon vs. population : Moyenne et variance

Résumé : écart-type de la population et écart-type de l'échantillon

Écart-type de la population et écart-type de l'échantillon

L'écart-type est une mesure de la dispersion d’une série statistique autour de sa moyenne.

La formule pour calculer la variance et donc l'écart-type n'est pas la même selon qu'il s'agit des données relatives à une population ou des données relatives à un échantillon.

Si les données ont été collectées auprès de la population, on divise la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre d'individus de la population $N$ ‍.
Si les données ont été collectées auprès d'un échantillon représentatif de la population constitué de $n$ ‍ individus, on doit diviser par $n - 1$ ‍.

Écart-type de la population :

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Écart-type de l'échantillon :

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Les différentes étapes de calcul sont les mêmes sauf la dernière où l'on divise par

n - 1

dans le cas d'un écart-type de l'échantillon.

Nous aborderons chaque formule étape par étape dans les exemples ci-dessous.

On divise par $n - 1$ ‍ pour que l'écart-type de l'échantillon soit un bon estimateur de l'écart-type de la population. Pour en savoir plus, la vidéo.

Écart-type de la population

La formule de l’écart-type de la population est :

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Voici comment calculer l’écart-type de la population :

Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de la population —

μ

Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.

Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.

Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.

Étape 5 : On divise par l'effectif de la population. On obtient la variance de la population.

Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.

Exemple : Écart-type de la population

Soit la série statistique des notes obtenues (sur 10) par quatre élèves au dernier contrôle de flûte :

Calculer l'écart-type de la série statistique :

6

2

3

1

1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.

μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

La note moyenne est

3

2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.

Note : $x_{i}$ ‍	Écart : $(x_{i} - μ)$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍

3 - On calcule le carré de chaque écart.

Note : $x_{i}$ ‍	Écart : $(x_{i} - μ)$ ‍	Écart au carré : $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍	$3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍	$(- 1)^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍	$0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍

4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.

9 + 1 + 0 + 4 = 14

5 - On divise cette somme par l'effectif de la population.

\frac{14}{4} = 3, 5

6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.

\sqrt{3, 5} \approx 1, 87

L'écart-type est environ égal à

1, 87

La vidéo.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices Écart-type d'une série statistique.

Écart-type de l'échantillon

La formule de l’écart-type de l'échantillon est :

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Voici comment calculer l’écart-type de l'échantillon :

Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de l'échantillon—

\bar{x}

Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.

Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.

Étape 5 : On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1. On obtient la variance de l'échantillon.

Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.

Exemple : Écart-type de l'échantillon

On a interrogé un échantillon de

4

élèves sur le nombre de stylos qu'ils possèdent sur eux.

Calculer l'écart-type de la série statistique des nombres de stylos :

2

2

5

7

1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.

\bar{x} = \frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4

Le nombre moyen de crayons dans l'échantillon est de

4

2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.

Nombre de stylos : $x_{i}$ ‍	Écart : $(x_{i} - μ)$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍

3 - On calcule le carré de chaque écart.

Stylos : $x_{i}$ ‍	Écart : $(x_{i} - \bar{x})$ ‍	Écart au carré : $(x_{i} - \bar{x})^{2}$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍	$1^{2} = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍	$3^{2} = 9$ ‍

4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.

4 + 4 + 1 + 9 = 18

5 - On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1.

\frac{18}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6

6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.

\sqrt{6} \approx 2, 45

L'écart-type est environ égal à

2, 45

La vidéo.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices écart type d'un échantillon et d'une population.

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